Bij $X$ en $X_N$ geldt: $\text{μ}=np=\mathrm{4,5}$ en $\text{σ}=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\mathrm{1,5}$.

$\text{P}\left(X=\mathrm{3,}n=\mathrm{9,}p=\frac{1}{2}\right)\approx \mathrm{0,164}$

$\text{P}\left(\mathrm{2,5}<X_N<\mathrm{3,5}|\mu =\mathrm{4,5};\sigma =\mathrm{1,5}\right)\approx \mathrm{0,161}$

$\text{P}\left(X=5\right)\approx \text{P}\left(\mathrm{4,5}\le X_N\le \mathrm{5,5}\right)$ en $\text{P}\left(4\le X\le 7\right)\approx \text{P}\left(\mathrm{3,5}\le X_N\le \mathrm{7,5}\right)$

-

$\text{μ}=np=3$ en $\text{σ}=\sqrt{np\left(1-p\right)}\approx \mathrm{1,58}$

$\text{P}\left(Y=2\right)=\text{P}\left(X=\mathrm{2,}n=\mathrm{18,}p=\frac{1}{6}\right)$ $\approx \mathrm{0,230}$;
$\text{P}\left(\mathrm{1,5}<X<\mathrm{2,5}|\mu =3;\sigma =\mathrm{1,58}\right)\approx \mathrm{0,205}$. Ze verschillen nogal.

$\text{μ}=np=30$ en $\text{σ}=\sqrt{np\left(1-p\right)}=5$;
$\text{P}\left(Y=20\right)=\text{P}\left(Y=\mathrm{20,}n=\mathrm{180,}p=\frac{1}{6}\right)$ $\approx \mathrm{0,0103}$;
$\text{P}\left(\mathrm{19,5}<Y_N<\mathrm{20,5}|\mu =30;\sigma =5\right)\approx \mathrm{0,0109}$. Ze verschillen nauwelijks.

-

Als je alle waarden van $X$ met $a$ vermeerderd, verschuift de verdelingskromme $a$ naar rechts en wordt de verwachtingswaarde ook $a$ groter.
Dan veranderen de onderlinge verschillen van de verdeling niet, dus de variantie blijft gelijk.

$\text{sd}\left(2\cdot X\right)=\sqrt{\text{Var}\left(2\cdot X\right)}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{\text{Var}\left(X\right)}=2\cdot \text{sd}\left(X\right)$.

$\text{E}\left(X\right)=100$. $\text{E}\left(Y\right)=200$, $\text{E}\left(X+Y\right)=300$

$\text{Var}\left(X\right)=20\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(5\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot {\left(\mathrm{‐}5\right)}^2\right)=500$,
$\text{Var}\left(Y\right)=20\left(\frac{1}{2}\cdot {\left(10\right)}^2+\frac{1}{2}\cdot {\left(\mathrm{‐}10\right)}^2\right)=2000$,
dus $\text{Var}\left(X+Y\right)=2500$.

Spiegel de kromme bij $X$ in de verticale lijn door $0$.

$\text{E}\left(T\right)=\mathrm{‐}\mathrm{0,2}$ en $\text{sd}\left(T\right)=\mathrm{0,6}$

$L$ is de som van twee normaal verdeelde stochasten, $X$ en $\mathrm{‐}Y$, die onafhankelijk zijn.

$\text{E}\left(L\right)=\text{E}\left(X\right)+\text{E}\left(\mathrm{‐}Y\right)=\text{E}\left(X\right)+\mathrm{‐}\text{E}\left(Y\right)=10$; $\text{Var}\left(L\right)=\text{Var}\left(X\right)+\text{Var}\left(\mathrm{‐}Y\right)=\text{Var}\left(X\right)+{\left(\mathrm{‐}1\right)}^2\text{Var}\left(Y\right)$ $=7^2+6^2=85$, dus $\text{sd}\left(L\right)=\sqrt{7^2+6^2}=\sqrt{85}$

Als we bijvoorbeeld twee spelers uit een basketbalteam kiezen.

Nee, zie antwoord c

$\text{E}\left(D\right)=2\cdot 180=360$ en $\text{E}\left(S\right)=2\cdot 180=360$;
$\text{sd}\left(D\right)=2\cdot 7=14$, $\text{sd}\left(S\right)=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2}$.

$\text{E}\left(G\right)=\frac{1}{2}\text{E}\left(X+Y\right)=180$ en $\text{Var}\left(G\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \text{Var}\left(X+Y\right)=\frac{1}{4}\left(7^2+7^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 7^2$. dus $\text{sd}\left(G\right)=\frac{7}{\sqrt{2}}$.

Het gemiddelde is $180$ en de standaardafwijking is $\frac{1}{9}\left(\sqrt{7^2+\dots +7^2}\right)=\frac{7}{3}$.

Een lekkerbekje weegt dus ongeveer $100$ gram. Als het gewicht $480$ gram is, kun je niet dichter bij $500$ gram komen door een extra lekkerbekje erbij te doen. Bij suiker kun je wel vrij precies op $500$ gram komen.

Dus het gewicht moet onder de $450$ of boven de $550$ gram zijn.
$1-\text{P}\left(450<X<550|\mu =500;\sigma =15\right)\approx \mathrm{0,0009}$.

Dus het moet gewicht onder de $1350$ of boven de $1650$ zijn.
Het gewicht van de drie pakken samen noemen we $S$, dan $\text{E}\left(S\right)=1500$ en $\text{sd}\left(S\right)=15\sqrt{3}$.
$1-\text{P}\left(1350<X<1650|\mu =1500;\sigma =15\sqrt{3}\right)\approx \mathrm{0,000...}$.

Bij onderdeel b zoek je meer dan $\mathrm{3,33}\text{sd}$ vanaf het gemiddelde, bij onderdeel c zoek je wel meer dan $\mathrm{5,77}\text{sd}$ vanaf het gemiddelde.
Gevoelsmatig: als je er drie bij elkaar neemt, middelen de gewichten elkaar uit.

Dus $\text{E}\left(X\right)=0$ en $\text{Var}\left(X\right)=\frac{1}{5}\left(0+2\cdot 1^2+2\cdot 2^2\right)=2$.

Dat elke waarde van $X$ even vaak voorkomt.

Op grond van de centrale limietstelling

$\text{E}\left(T\right)=200\cdot 0=0$, $\text{Var}\left(T\right)=200\cdot 2$, dus $\text{sd}\left(T\right)=\sqrt{400}=20$.
$\text{P}\left(X>\mathrm{50,5}|\mu =0;\sigma =20\right)\approx \mathrm{0,006}$.

$\mathrm{2,5}$% links en $\mathrm{2,5}$% rechts
De rechtergrens bepaal je met de GR. Zoek het getal $a$, zó, dat $\text{P}\left(X>a|0;20\right)$ $=\mathrm{0,025}$. Je vindt: $a=\mathrm{39,199}\dots$, dus de rechter grens is $40$ cent en de linker grens is dan $\mathrm{‐}40$ cent.

Alleen links: $\text{P}\left(X<2100|\text{μ}=2500;\text{σ}=450\right)$ $=\mathrm{0,187}\dots$.
Links en rechts heeft dus de kans ${\left(\mathrm{0,187}\dots \right)}^2\approx \mathrm{0,035}$.

$E\left(V\right)=0$ en $\text{sd}\left(V\right)=\sqrt{2}\cdot 450=\mathrm{636,4}\dots$

$\text{P}\left(\mathrm{‐}20<X<20|\text{μ}=0;\text{σ}=450\sqrt{2}\right)$ $\approx \mathrm{0,025}$.

$\text{P}\left(X=\mathrm{2,}n=\mathrm{154,}p=\mathrm{0,05}\right)\approx \mathrm{0,015}$

Bekijk een tabel of grafiek met $\text{P}\left(X=\mathrm{2,}n=\mathrm{154,}p=x\right)=\mathrm{0,1}$; je vindt $p\approx \mathrm{0,034}$.

Noem de gemiddelde pleegduur $Y$, dan $\text{E}\left(Y\right)=\mathrm{4,5}$ en $\text{sd}\left(Y\right)=\frac{\mathrm{1,8}}{\sqrt{100}}=\mathrm{0,18}$. Dus $\text{P}\left(Y>5|\text{μ}=\mathrm{4,5};\text{σ}=\mathrm{0,18}\right)$ $\approx \mathrm{0,0027}$.

Normaal verdeeld

$M-B<0$

$\text{E}\left(M-B\right)=\mathrm{6,5}-\mathrm{6,0}=\mathrm{0,5}$, $\text{sd}\left(M-B\right)=\sqrt{{\mathrm{0,2}}^2+{\mathrm{0,2}}^2}=\mathrm{0,2}\sqrt{2}$; de gevraagde kans is $\text{P}\left(X<0|\text{μ}=\mathrm{0,5};\text{σ}=\mathrm{0,2}\sqrt{2}\right)$ $\approx \mathrm{0,0385}$.