1

De hoeken $1$ en $2$ zijn samen $180 °$ evenals de hoeken $2$ en $3$ . Dus zijn de hoeken $1$ en $3$ even groot.

2

$α + γ_{1} + δ_{1} = s$ ;
$β + γ_{2} + δ_{2} = s$ ;
Dus: $α + γ_{1} + γ_{2} + β + δ_{1} + δ_{2} = 2 s$ .
Omdat $α + γ_{1} + γ_{2} + β = s$ en $δ_{1} + δ_{2} = 180$ volgt dat $s = 180$ .

3

a

$| A P | = | P C |$ , want $P$ is het midden van lijnstuk $A C$ .
$| P C | = | P D |$ , want $D$ is het spiegelbeeld van $C$ . Dus $| A P | = | D P |$ .
Op dezelfde manier vind je $| B Q | = | Q D |$ .

b

$∠ P D Q = γ$ , want $D$ is het spiegelbeeld van $C$ ,
$∠ P D A = α$ , want $| A P | = | D P |$ ,
$∠ Q D B = β$ , want $| B Q | = | D Q |$ .
Dus $α + β + γ = ∠ P D A + ∠ Q D B + ∠ P D Q = 180 °$ .

4

Noem de hoekpunten $A$ , $B$ en $C$ .
Omdat $| A B | = | B C |$ , is $α = β$ .
Net zo is $γ = β$ .
Dus $α = β = γ$ .
Omdat de hoekensom in een driehoek $180 °$ is, geldt: $α = β = γ = 60 °$ .

5

De buitenhoek bij $B$ $= 180 ° - β$ (gestrekte hoek) en $α + γ = 180 ° - β$ (hoekensom driehoek). Dus: de buitenhoek bij $B = α + γ$ .

6

Als de lijnen niet evenwijdig zouden zijn, dan zouden ze elkaar snijden. Dan zou $= γ + α = β$ , dus $α \neq β$ .

7

Uit opgave 1 volgt: $β = γ$ ;
Uit het gegeven volgt dan: $α = β$ .
Uit opgave 6 volgt dan dat de twee lijnen evenwijdig zijn.

8

Verdeel de vierhoek in twee driehoeken.
Er geldt: $α + β_{1} + δ_{1} = 180 °$ en
$γ + β_{2} + δ_{2} = 180 °$ , dus:
$α + (β_{1} + β_{2}) + γ + (δ_{1} + δ_{2}) = 360 °$ .

9

a

Je kunt de veelhoek vanuit een hoekpunt verdelen is $n - 2$ driehoeken. (In de figuur is dat gedaan voor een zeshoek). Dus de hoekensom is $(n - 2) \cdot 180$ graden.

b

$\frac{n - 2}{n} \cdot 180 °$

10

a

De twee stompe hoeken noemen we $α$ en de twee scherpe $β$ .
Zie figuur 1, $α = α_{1} + α_{2}$ en $γ = γ_{1} + γ_{2}$ Er geldt: $α_{1} = γ_{2}$ (overstaande hoeken).
Dus $α_{2} + β + γ_{2} = α_{1} + α_{2} + β = 180 °$ (dat laatste vanwege gestrekte hoek).

figuur 1

figuur 2

b

Zie figuur 2. $α_{1} = α_{2} = \frac{1}{2} α$ en $β_{1} = β_{2} = \frac{1}{2} β$ .
Dus: $α_{2} + β_{1} = \frac{1}{2} α + \frac{1}{2} β = \frac{1}{2} (α + β) = 90 °$ .

11

Driehoek $M A B$ is gelijkbenig, dus de hoeken $M A B$ en $M B A$ zijn even groot.
Dus $∠ M A B = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A M B) < 90 °$ .

12

a

Stel dat de lijn geen raaklijn is. Dan heeft de lijn nog een tweede punt met de cirkel gemeen, zeg punt $B$ . Maar dan staat $M A$ niet loodrecht op de lijn, volgens opgave 11. Dit is in tegenspraak met het gegeven.
Dus is de lijn wel een raaklijn.

b

Stel dat $M A$ niet loodrecht staat op de lijn. De loodrechte projectie van $M$ op de lijn is dan een ander punt dan $A$ ; noem dat $B$ .
Spiegel punt $A$ in de lijn $M B$ . Het beeldpunt $C$ ligt op de raaklijn en $| M A | = | M C |$ . Dus $C$ ligt ook op de cirkel. Dus raaklijn gaat door twee punten van de cirkel en dat kan niet. Dus staat $M A$ wel loodrecht op de lijn.

13

De drie driehoeken hebben alle een rechte hoek.
De drie driehoeken hebben alle een hoek α. Van de driehoeken $A BD C$ en $A B C$ is dat duidelijk.
In driehoek $B C D$ geldt: $∠ B C D = 90 ° - ∠ A C D = 90 - (90 ° - α) = α$ .
De overgebleven hoeken van de drie driehoeken zijn dan automatisch ook gelijk. De driehoeken hebben gelijke hoeken en zijn dus gelijkvormig.

14

$∠ A S B = ∠ C S D$ en $∠ A B S = ∠ C D S$ . (allebei $90 °$ ) (en dus automatisch ook $∠ B A S = ∠ D C S$ ).
De driehoeken hebben gelijke hoeken en zijn dus gelijkvormig.

15

De twee driehoeken hebben beide een rechte hoek en de hoeken $A S B$ en $C S D$ zijn even groot.

16

Nee, bijvoorbeeld het vierkant met zijden $1$ is niet gelijkvormig met de rechthoek met zijden $1$ en $2$ . Beide hebben wel vier rechte hoeken.