Definitie
Twee figuren heten congruent als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden.

1

Gegeven zijn de volgende paren figuren:

  1. twee cirkels met dezelfde straal,

  2. twee rechthoeken met dezelfde oppervlakte

  3. twee gelijkbenige driehoeken met dezelfde omtrek,

  4. twee lijnstukken van dezelfde lengte,

  5. twee rechte hoeken.

Welke paren zijn congruent?

Opmerking:

In plaats van congruent wordt ook wel de term gelijk gebruikt. Twee congruente figuren zijn weliswaar verschillend (het zijn tenslotte twee figuren), maar de figuren zijn verder in alle opzichten gelijk: dezelfde zijden, dezelfde hoeken, dus ook gelijke oppervlakte, enzovoort.
Van Dale: [Fr. of Lat. congruens] 1 overeenstemmend; 2 (wisk.) (van figuren) gelijk en gelijkvormig.

2

Waar of niet waar?

a
  1. ZZZ Twee driehoeken met gelijke zijden zijn congruent.

  2. H Z H Twee driehoeken met twee gelijke hoeken en gelijke ingesloten zijde zijn congruent (de ingesloten zijde ligt tussen de hoeken).

  3. HHZ Twee driehoeken met twee gelijke hoeken en een gelijke niet-ingesloten zijde zijn congruent.

  4. ZHZ Twee driehoeken met twee gelijke zijden en gelijke ingesloten hoek zijn congruent (de ingesloten hoek ligt tussen de gelijke zijden).

  5. ZZH Twee driehoeken met twee gelijke zijden en een gelijke niet-ingesloten hoek zijn congruent

  6. HHH Twee driehoeken met drie gelijke hoeken zijn congruent.

In vier van de zes gevallen bij vraag a was er sprake van congruentie.

b

Geval HHH is eigenlijk HH. Waarom?
En dat is een kenmerk voor gelijkvormigheid.

Geval HHZ en HZH komen eigenlijk op hetzelfde neer.

c

Waarom?

Geval ZZH is verraderlijk!

d

Teken - als je dat nog niet gedaan hebt - een voorbeeld van twee niet-congruente driehoeken. Bijvoorbeeld beide met een hoek van 0 ° , een zijde van 5 cm grenzend aan deze hoek en een zijde van 3 cm tegenover deze hoek.

e

Ga na dat wel geldt:

  1. ZZR Twee driehoeken met twee gelijke zijden een niet ingesloten rechte hoek zijn congruent.

Congruentiekenmerken
Er zijn vier echt verschillende congruentiekenmerken:
ZZZ , ZHZ , HZH en ZZR.

Definitie
De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat.

3

Toon met congruentie aan dat punten op de middelloodlijn van lijnstuk A B gelijke afstand hebben tot A en B .

Een ander uitgangspunt van ons zal de zogenaamde driehoeksongelijkheid zijn.

Driehoeksongelijkheid
Als P niet op lijnstuk A B ligt, dan: | A P | + | B P | > | A B | .

4

In de figuur is k de middelloodlijn van lijnstuk A B . Verder is X een punt aan de kant van B van lijnstuk A B .

Toon aan: | A X | > | B X | .

(hint)
Het snijpunt van lijn A X met k noemen we P . Pas de driehoeksongelijkheid toe.

Met de twee voorgaande opgaven heb je de volgende stelling.

Op de middelloodlijn van lijnstuk A B liggen precies alle punten die even ver van A als van B liggen.

5

We gaan bewijzen dat de middelloodlijnen van de zijden van een driehoek door één punt gaan. (Dit heb je ook al in de brugklas gedaan.)
Bewijs
Gegeven is een driehoek A B C .
Noem het snijpunt van de middelloodlijnen van de zijden A B en B C : S .
We gaan bewijzen dat S ook op de derde middelloodlijn ligt.
| A S | = | B S | , want S ligt op de middelloodlijn van A B .
| B S | = | C S | , want ... .
Hieruit volgt dat | A S | = | | . Dus S ligt op ....
Dus gaan de middelloodlijnen van A B , B C en C A door één punt (namelijk door het punt S ).

Vul het bewijs aan.

Stelling
De middelloodlijnen van de zijden van een driehoek gaan door één punt.

6

Leg uit hoe uit het voorgaande volgt dat elke driehoek een omgeschreven cirkel heeft, dat is de cirkel die gaat door de hoekpunten van de driehoek.

7

Teken een scherphoekige en een stomphoekige driehoek. Bepaal van beide de omgeschreven cirkel.

Stelling
De punten op de bissectrice van een hoek liggen even ver van de benen van die hoek.

Opmerking:

De afstand van een punt A tot een lijn k noteren we met: d ( A , k ) .

8
a

Bewijs de stelling.

(hint)
Gebruik congruentie.

De bissectrices van de hoeken van een driehoek gaan door één punt.

b

Bewijs dat door nauwkeurig de bewijsgang van opgave 21 te volgen.

Stelling
De bissectrices van de hoeken van een driehoek gaan door één punt.

9

Leg uit hoe uit het voorgaande volgt dat elke driehoek een ingeschreven cirkel heeft, dat is de cirkel die raakt aan de zijden van de driehoek.

10

Teken een driehoek met daarin de ingeschreven cirkel.

11

Van driehoek A B C zijn de zijden C A en C B aan de kanten van A en B verlengd. De buitenbissectrice van hoek A is de bissectrice van de buitenhoek bij A .

Bewijs dat de buitenbissectrice van hoek A , de buitenbissectrice van hoek B en de binnenbissectrice van hoek C door één punt gaan.

12

Teken een driehoek met de ingeschreven cirkel en de drie aangeschreven cirkels.

Definitie
Een hoogtelijn van een driehoek gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de zijde tegenover dat hoekpunt.

Stelling
De hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.

We gaan deze stelling in de volgende twee opgaven bewijzen.

13

A B is een lijnstuk. Y ligt op A B ; zeg dat | Y A | = a en | Y B | = b . Het punt X ligt op de lijn door Y , loodrecht op A B .

a

Bewijs dat | A X | 2 | B X | 2 = a 2 b 2 .

Voor de punten X boven die lijn is | A X | 2 | B X | 2 < a 2 b 2 ; voor de punten X onder die lijn is | A X | 2 | B X | 2 > a 2 b 2 .

Voor een lijnstuk A B van lengte 4 met daarop het punt Y op afstand 3 van A en op afstand 1 van B geldt: | A X | 2 | B X | 2 = 8 .

b

Teken alle punten X , waarvoor geldt: | A X | 2 | B X | 2 = 8 .

De vorige opgave geeft het volgende resultaat.

Gegeven is een lijnstuk A B . P en Q zijn twee punten.

  1. Als P Q loodrecht staat op A B , dan geldt: | A P | 2 | B P | 2 = | A Q | 2 | B Q | 2 .

  2. Als | A P | 2 | B P | 2 = | A Q | 2 | B Q | 2 , dan staat P Q loodrecht op A B .

14

Bewijs van de stelling over de hoogtelijnen
Gegeven is een driehoek A B C . A D en B E zijn hoogtelijnen in driehoek A B C ( D op B C en E op A C ). Het snijpunt van de hoogtelijnen is H .
| H B | 2 | H C | 2 = | A B | 2 | A C | 2 , want de lijn A H staat loodrecht op B C .
| H A | 2 | H C | 2 = , want .
Hieruit volgt dat | H B | 2 | H A | 2 = .
Dus staat de lijn loodrecht op en dus is lijn H C ook hoogtelijn in driehoek A B C .
Dus gaan de hoogtelijnen door één punt (namelijk door het punt H ).

Maak het bewijs af door op de stippellijnen het passende in te vullen.

Definitie
Een zwaartelijn van een driehoek gaat door een hoekpunt en het midden van de zijde tegenover dat hoekpunt.

Stelling
De zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.

Het bewijs van deze stelling moeten we uitstellen.

Een stukje uit een artikel Drie eerlijke lijnen snijden elkaar in één punt van H. Brandt Corstius in NRC Handelsblad van 25 januari 1996.

Ik lag in mijn bedje en dacht. Natuurlijk wilde ik de hoogtelijnenstelling bewijzen. Maar vooral wilde ik begrijpen hoe de drie stellingen over steeds drie lijnen in een driehoek die door één punt gaan, verwant waren. Wat hadden bissectrices, zwaartelijnen en hoogtelijnen gemeen?
Dat ze steeds door een hoekpunt gingen, maar ook dat ze geen voorkeur hadden voor een van de andere twee hoekpunten. In hun definitie kwamen de andere twee hoekpunten op gelijke wijze voor. Ik vond de bissectrices, zwaartelijnen en hoogtelijnen eerlijke lijnen. Een lijn door hoekpunt A is een eerlijke lijn als hij weliswaar gedefinieerd is met behulp van B en C, maar zo dat er, als je B en C verwisselt, dezelfde lijn uitkomt.
Het bewijs van de hoogtelijnenstelling kon even wachten. Ik wilde iets veel mooiers bewijzen, namelijk: "In een driehoek snijden de drie eerlijke lijnen door de drie hoekpunten elkaar in één punt". Een hoogtelijn was een eerlijke lijn, dus dan had ik de hoogtelijnenstelling ook bewezen. Een aangename hitte verwarmde mijn hersenpan. Ik had alleen nog maar een stelling, maar ik was ervan overtuigd dat hij waar was. Het zou mooi zijn als ik nog andere eerlijke lijnen bedacht dan de drie die het meetkundeboek me had gegeven. Ik vond ze niet en een halve eeuw later weet ik er nog geen.


Verderop beschrijft H. Brandt Corstius dat hij het volgende voorbeeld ontdekte: de lijnen door een hoekpunt, evenwijdig aan de overstaande zijde. Hij vervolgt:

Maar ik besefte dat ik mijn Eerlijke-Lijnen-stelling wel kon vergeten. Want de drie evenwijdige lijnen door de drie hoekpunten A, B en C waren ongetwijfeld drie eerlijke lijnen, en toch gingen ze niet door één punt. Misschien had ik het begrip eerlijkheid moeten inperken door alleen over lijnen binnen de driehoek te spreken, maar voor mij was de lol er af. Mijn stelling was niet waar. Maar het gloeien van opwinding over zo'n stelling ben ik nooit vergeten.

15

Drie cirkels C 1 , C 2 en C 3 met stralen r 1 , r 2 en r 3 en middelpunten M 1 , M 2 en M 3 snijden elkaar twee aan twee.

We gaan bewijzen dat de drie lijnen a , b en c door de snijpunten door één punt gaan.
Duidelijk is dat lijn a loodrecht staat op M 2 M 3 , b loodrecht staat op M 1 M 3 en c loodrecht staat op M 1 M 2 .
We zullen dit in paragraaf 7 nog precies bewijzen.

Bewijs
Noem het snijpunt van a en b : S .
| S M 2 | 2 | S M 3 | 2 = r 2 2 r 3 2 , want S ligt op a en a staat loodrecht op M 2 M 3 .
| S M 1 | 2 | S M 3 | 2 = , want
Hieruit volgt dat | S M 2 | 2 | S M 1 | 2 = .
| X M 2 | 2 | X M 1 | 2 = r 2 2 r 1 2 geldt alleen voor punten X op c . Dus ligt S ook op c .
Dus gaan a , b en c door één punt (namelijk het punt S ).

Maak het bewijs af door op de stippellijnen het passende in te vullen.

16

De bewijzen in deze paragraaf zijn van een speciaal type.

Probeer het gemeenschappelijke in de structuur van de bewijzen onder woorden te brengen.