4.3 Redeneren >

Hoofdstukken > Hoeken en bogen

Als uitgangspunt van onze redeneringen nemen we de congruentiegevallen in de vorige paragraaf. Als we van twee driehoeken weten dat ze gelijke zijden hebben, dan kunnen we met behulp van ZZZ concluderen dat ze congruent zijn en dus hebben de driehoeken ook gelijke hoeken. Op een dergelijke manier maken we gebruik van de congruentiekenmerken om te redeneren in de meetkunde.
Het eerste bewijs doen we als voorbeeld.

Opmerking:

We gebruiken de volgende notaties:
$△$ voor driehoek,
$≅$ voor congruentie,
$⊥$ voor loodrecht
$∥$ voor evenwijdig

Stelling
Een gelijkbenige driehoek heeft gelijke basishoeken.

Eerst tekenen we een plaatje waarin we de hoekpunten namen geven.

Noem het midden van de basis $A B$ : M en teken in het plaatje lijnstuk $C M$ .

Gegeven $| A C | = | B C |$ , $| A M | = | B M |$
Te bewijzen $∠ A = ∠ B$ .
Bewijs

$| A C | = | B C |$ , gegeven
$| A M | = | B M |$ , gegeven
$| C M | = | C M |$
$△ A M C ≅ △ B M C$ , volgt uit 1, 2, 3 ; ZZZ
$∠ A = ∠ B$ volgt uit 4

Misschien vind je het overdreven dat hierboven alles zo netjes is opgeschreven. Dat doen we om twee redenen.

Het is verstandig je rekenschap te geven wat je uitgangspunten zijn (het gegeven) en wat je daaruit wilt afleiden (hetgeen je wilt bewijzen).
Je moet in je bewijs elke stap verantwoorden: of met een gegeven, of het is triviaal (bijvoorbeeld stap 3 in het voorgaande bewijs), of met een eerder bewezen stelling of congruentiekenmerk.

Andere argumenten die je ter beschikking staan, heb je in paragraaf 1 ontmoet: F-hoeken, Z-hoeken, de hoekensom van een driehoek, de stelling van de buitenhoek en de stelling van Pythagoras.

Bewijs de volgende stellingen.

Als in een driehoek de zwaartelijn en de hoogtelijn uit een hoek hetzelfde zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

Als in een driehoek twee hoogtelijnen even lang zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

Bewijs de volgende stelling.
Als $A$ en $A^{'}$ elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn $s$ en punt $P$ ligt op $s$ , dan zijn $A P$ en $A^{'} P$ even lang en maken $A P$ en $A^{'} P$ gelijke hoeken met $s$ .

Bewijs de volgende stelling.
Als in een driehoek een zwaartelijn uit een hoek half zo lang is als de overstaande zijde van die hoek, dan is die hoek recht.

(hint)

Hierbij kun je de stelling uit het voorbeeld goed gebruiken.

Definitie
Een parallellogram is een vierhoek met evenwijdige overstaande zijden.

Bewijs de volgende stellingen over een parallellogram.

In een parallellogram zijn de overstaande hoeken gelijk.

In een parallellogram zijn de overstaande zijden gelijk.

In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor.

Bewijs de volgende stellingen.

Als in een vierhoek de overstaande hoeken gelijk zijn, is het een parallellogram.

Als in een vierhoek de overstaande zijden gelijk zijn, is het een parallellogram.

Als in een vierhoek de diagonalen elkaar midden door delen, is het een parallellogram.

Definitie
Een rechthoek is een vierhoek met vier gelijke (dus rechte) hoeken.
Een ruit is een vierhoek met vier gelijke zijden.

Over ruiten en rechthoeken kun je ook een heleboel stellingen formuleren. In opgave 38 en 39 staan er enkele. Als je de bewijzen eenvoudig vindt, hoef je die niet te geven.

Bewijs de volgende stellingen over rechthoeken.

Een rechthoek is een parallellogram.

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang.

Als in een parallellogram de diagonalen even lang zijn, is het parallellogram een rechthoek.

Bewijs de volgende stellingen over ruiten.

Een ruit is een parallellogram.

In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar.

Als in een parallellogram de diagonalen loodrecht op elkaar staan, is het parallellogram een ruit.

Afbeelding van Euclides in het Dogepaleis in Venetië
Foto van Giovanni Dall'Orto in Wikipedia.

De Elementen
Rond 300 voor Chr. leefde de Griekse wiskundige Euclides in Alexandrië; hij was daar leraar aan het Museon, het wetenschappelijke centrum. Verder is er niets met zekerheid over de persoon Euclides te zeggen. In dertien boeken, de Elementen, zette hij de wiskundige kennis van die tijd uiteen. Vanuit enkele voor iedereen acceptabele uitgangspunten leidde hij een heel bouwwerk van stellingen af. Hij gaat daarbij uiterst zorgvuldig te werk. Elke stap was onweerlegbaar. Hij bewijst flauwe stellingen zoals de driehoeksongelijkheid; iets wat voor iedereen duidelijk is. Maar ook veel moeilijkere stellingen; daarvan zullen we nog voorbeelden zien.
Tot de jaren vijftig heeft zijn werk het wiskunde-onderwijs beheerst. Na de Bijbel is dit het meest bestudeerde boek. Na de uitvinding van de boekdrukkunst zijn er meer dan duizend drukken van de Elementen verschenen.

Voor meer informatie, zie bijvoorbeeld de site van Dick Klingens.

Twee cirkels snijden elkaar.

Bewijs dat de verbindingslijn van de snijpunten loodrecht staat op de verbindingslijn van de middelpunten.

Twee raaklijnen aan een cirkel snijden elkaar in het punt $S$ . De raakpunten zijn $A$ en $B$ .

$| A S | = | B S |$ .

Bewijs dat de bissectrices van de hoeken van een parallellogram een rechthoek insluiten.
[Als er tenminste sprake is van een rechthoek. Het is ook mogelijk dat de diagonalen een lijnstuk of zelfs een punt insluiten.]

Gegeven is driehoek $A B C$ . Lijn $k$ is evenwijdig aan $A B$ .

Bewijs dat geldt:
Als $k$ door het midden van $A C$ gaat, dan gaat k ook door het midden van $B C$ .

(hint)

Gebruik als hulplijn de lijn door het midden van

A C

die evenwijdig is aan

B C

Ga na dat hieruit volgt:
De lijn door de middens van $A C$ en $B C$ is evenwijdig aan AB.

Deze lijn heet daarom wel een middenparallel van driehoek $A B C$ .

Ga na dat uit het bewijs van opgave 43a onmiddellijk volgt:
een middenparallel van een driehoek is half zo lang als de zijde waaraan hij evenwijdig is.

Gegeven is driehoek $A B C$ . Punt $M$ ligt op $A C$ zó, dat $| A M | = 3 \cdot | M C |$ en punt $N$ ligt op $B C$ , zó dat $| B M | = 3 \cdot | N C |$ .

Bewijs dat $M N$ evenwijdig is aan $A B$ .

(hint)

Gebruik opgave 43b.

Bewijs dat $| A B | = 4 \cdot | M N |$ .

Je kunt zo verder redeneren voor andere gelijke verhoudingen $| A M | : | M C |$ en $| B N | : | N C |$ . Dat is een heel gedoe.
Euclides doet dat zorgvuldig en heeft daarmee het volgende bewezen.

Gegeven is driehoek $A B C$ . $M$ ligt op $A C$ en $N$ ligt op $B C$ , zo dat $| A M | : | M C | = | B N | : | N C |$ . Dan is $M N$ evenwijdig aan $A B$ .

Opmerking:

Dit resultaat ken je al uit de onderbouw. Als volgt.
Als $| A M | : | M C | = | B N | : | N C |$ , dan zijn de driehoeken $A B C$ en $M N C$ gelijkvormig, dus dan $∠ B A C = ∠ N M C$ , dus zijn $M N$ en $A B$ evenwijdig (F-hoeken).

Met behulp van de middenparallel (opgave 43 en opgave 44) kunnen we bewijzen dat de zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan. Maar dat is bepaald niet eenvoudig. Je moet daarvoor een geschikte hulplijn trekken.

$A B C D$ is een willekeurige vierhoek. De middens van de zijden noemen we achtereenvolgens $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ .

Bewijs dat vierhoek $P Q R S$ een parallellogram is.

Van driehoek $A B C$ zijn $A D$ en $C F$ zwaartelijnen. Het snijpunt van $A D$ en $C F$ noemen we $Z$ .
Trek de lijn door $B$ , evenwijdig aan $C F$ ; zijn snijpunt met het verlengde van $A D$ noemen we $P$ .

Bewijs dat $| B P | = | C Z |$ .

(hint)

Gebruik congruentie.

Bewijs dat | $| B P | = 2 \cdot | F Z |$ .

Uit a en b volgt dat $| C Z | = 2 \cdot | F Z |$ . Kennelijk snijdt zwaartelijn $A D$ de zwaartelijn $C F$ in een punt op $\frac{2}{3}$ van C. Op dezelfde manier snijdt zwaartelijn $B E$ de zwaartelijn $C F$ in een punt op $\frac{2}{3}$ van $C$ .

Ga na dat hieruit volgt dat de drie zwaartelijnen door één punt gaan.

We hebben en passant nog een extra resultaat.

Stelling

1 : 2

In deze opgave bewijzen we dat alle driehoeken gelijkbenig zijn.

Waar zit de fout in de volgende redenering?

In driehoek $A B C$ trekken we de bissectrice uit hoek $C$ en de middelloodlijn van $A B$ . $S$ is het snijpunt van deze twee lijnen.

Gegeven $M S$ is middelloodlijn van $A B$ .
$C S$ is bissectrice van hoek $C$ .
Te bewijzen
$| A C | = | B C |$
Bewijs

$1. \| A S \| = \| B S \|$	$S$ op de middelloodlijn van $A B$
$2. ∠ A C S = ∠ B C S$	$S$ op de bissectrice van hoek $C$
$3. \| C S \| = \| C S \|$
$4. △ A C S ≅ △ B C S$	ZZH, uit 1, 2 en 3
$5. \| A C \| = \| B C \|$	uit 4

Je trapte natuurlijk niet in het bedrog bij opgave 48. Laten we zorgvuldiger te werk gaan. Nu wel een echt bewijs dat alle driehoeken gelijkbenig zijn.

Waar zit de fout?

Dezelfde situatie als in opgave 48. Trek de loodlijnen $S P$ en $S Q$ op $A C$ en $B C$ .

Gegeven
$M S$ is middelloodlijn van $A B$ .
$C S$ is bissectrice van hoek $C$ .
Te bewijzen
$| A C | = | B C |$
Bewijs

$1. \| A S \| = \| B S \|$	$S$ ligt op de middelloodlijn van $A B$
$2. \| Q S \| = \| P S \|$	$S$ op de bissectrice van hoek $C$
$3. ∠ S P C = ∠ S Q C$	beide zijn $90 °$
$4. △ A P S ≅ △ B Q S$	ZZR, uit 1, 2 en 3
$5. ∠ S A P = ∠ S B Q$	uit 4
$6. ∠ S A B = ∠ S B A$	uit 1, gelijkbenige driehoek
$7. ∠ B A C = ∠ A B C$	uit 5 en 6
$8. \| A C \| = \| B C \|$	uit 7, gelijke basishoeken