1

a

Veronderstel dat $C D$ in driehoek $A B C$ zowel hoogtelijn als zwaartelijn is, dan:

$1. \| C D \| = \| C D \|$
$2. \| A D \| = \| B D \|$	want $C D$ is zwaartelijn
$3. ∠ A D C = ∠ B D C$	want $C D$ is hoogtelijn
$4. △ A D C ≅ △ B D C$	ZHZ, volgt uit 1, 2 en 3
$5. \| A C \| = \| B C \|$	uit 4

b

Veronderstel dat de hoogtelijnen $A D$ en $B E$ in driehoek $A B C$ even lang zijn.

$1. \| A B \| = \| A B \|$
$2. \| A D \| = \| B E \|$	gegeven
$3. ∠ B D A = ∠ A E B = 90 °$
$4. △ B E A ≅ △ A D B$	ZZR uit 1, 2 en 3
$5. ∠ A B C = ∠ B A C$	uit 4
$6. \| A C \| = \| B C \|$	uit 5

2

Het snijpunt van $A A^{'}$ met $s$ noemen we $V$ .

$1. \| A V \| = \| V A^{'} \|$	gegeven
$2. \| P V \| = \| P V \|$
$3. ∠ P V A^{'} = ∠ P V A = 90 °$	gegeven
$4. △ P V A^{'} ≅ △ P V A$	ZHZ uit 1, 2 en 3
$5. \| P A^{'} \| = \| P A \|$	uit 4
$6. ∠ V P A^{'} = ∠ A P V$	uit 4

3

Het midden van lijnstuk $A C$ noemen we $M$ .

$1. \| A M \| = \| B M \| = \| C M \|$	gegeven
$2. ∠ M A B = ∠ M B A$	uit 1
$3. ∠ M B C = ∠ M C B$	uit 1
$4. ∠ M A B + ∠ M B A +$
$∠ M B C + ∠ M C B = 180 °$	hoekensom driehoek
$5. 2 \cdot (∠ M B A + ∠ M B C) = 180 °$	uit 2, 3 en 4
$6. ∠ A B C = 90 °$	uit 5

4

a

Teken een diagonaal van het parallellogram, zie figuur.

$1. \| A C \| = \| A C \|$
$2. ∠ C A B = ∠ D C A$	Z-hoeken
$3. ∠ C A D = ∠ B C A$	Z-hoeken
$4. △ A C D ≅ △ C A B$	HZH uit 1, 2 en 3
$5. ∠ A B C = ∠ A D C$	uit 5

Net zo bewijs je: $∠ D A B = ∠ D C B$ .

b

$6. \| A D \| = \| B C \|$	uit 4
$7. \| A B \| = \| C D \|$	uit 4

c

Noem het snijpunt van de diagonalen $S$ .

$8. ∠ S A B = ∠ S C D$	Z-hoeken
$9. ∠ S B A = ∠ S D C$	Z-hoeken
$10. \| A B \| = \| A B \|$
$11. △ S B A ≅ △ S D C$	HZH uit 8, 9 en 10
$12. \| A S \| = \| S C \|$ en
$\| B S \| = \| S D \|$	uit 11

5

a

Gegeven: $∠ A = ∠ C$ en $∠ B = ∠ D$ .
$E$ ligt op het verlengde bij $D$ van lijnstuk $A D$ .

$1. ∠ A + ∠ B +$
$∠ C + ∠ D = 360 °$	hoekensom vierhoek
$2.$ $2 \cdot (∠ A + ∠ D) = 360 °$	uit gegeven
en 1
$3. ∠ C D E + ∠ A D C = 180 °$	gestrekte hoek
$4. ∠ C D E = ∠ A$	uit 2 en 3
$5. A B ∥ C D$	F-hoeken, 4

Dus (omgekeerde van F-hoek) $A B ∥ C D$ .
Net zo bewijs je dat de twee overblijvende zijden evenwijdig zijn, dus is $A B C D$ een parallellogram.

b

Gegeven: in vierhoek $A B C D$ zijn $A B$ en $C D$ even lang, evenals $A D$ en $B C$ .
Teken een diagonaal, bijvoorbeeld $A C$ .

$1. \| A D \| = \| B C \|$	gegeven
$2. \| A B \| = \| C D \|$	gegeven
$3. \| A C \| = \| A C \|$
$4. △ D A C ≅ △ B C A$	uit 1, 2 en 3
$5. ∠ A D C = ∠ A B C$	uit 4

Net zo bewijs je dat $∠ B A D = ∠ D C B$ .
Volgens onderdeel a is $A B C D$ dan een parallellogram.

c

Het snijpunt van de diagonalen noemen we $S$ .

$1. \| A S \| = \| C S \|$	gegeven
$2. \| B S \| = \| D S \|$	gegeven
$3. ∠ A S B = ∠ C S D$	overstaande hoeken
$4. △ A S B ≅ △ C S D$	ZHZ, uit 1, 2 en 3
$5. ∠ C D B = ∠ A B D$	uit 4
$6. A B ∥ C D$	Z-hoeken, uit 5

Net zo bewijs je: $A D ∥ B C$ , dus is vierhoek $A B C D$ een parallellogram.

6

a

Overstaande hoeken zijn gelijk, dus volgens opgave 37a is de rechthoek een parallellogram.

b

Omdat de overstaande zijden even lang zijn (want de rechthoek is een parallellogram), zijn beide diagonalen schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarin de rechthoekszijden even lang zijn. Dus zijn die schuine zijden ook even lang (Stelling van Pythagoras).

c

Gegeven: $A B C D$ is een parallellogram en $A C$ en $B D$ zijn even lang.
Het snijpunt van de diagonalen noemen we $S$ . Omdat de diagonalen elkaar middendoor delen in een parallellogram (opgave 36c) en even lang zijn (gegeven), geldt dus dat driehoeken $A S B$ , $B S C$ , $C S D$ en $D S A$ geljkbenig zijn.
Omdat $A B C D$ een parallellogram is, is bijvoorbeeld $∠ C A B = ∠ D C A$ .
Evenzo zijn de hoeken met gelijke tekens in de figuur even groot.
Dus de vier hoeken van de rechthoek zijn even groot, dus alle recht.

7

a

De overstaande zijden zijn in een ruit even lang, dus is de ruit volgens opgave 37b een parallellogram.

b

Vierhoek $A B C D$ is een ruit. $S$ is het snijpunt van de diagonalen.

We bewijzen: de driehoeken $A S B$ en $C S B$ zijn congruent.

$1. \| A S \| = \| C S \|$	$A B C D$ parallellogram
$2. \| A B \| = \| B C \|$	gegeven
$3. \| B S \| = \| B S \|$
$4. △ A B S ≅ △ C B S$	ZZZ, uit 1, 2 en 3

Uit die congruentie volgt dat de hoeken $A S B$ en $C S B$ even groot zijn. Omdat ze samen een gestrekte hoek vormen zijn ze beide recht.

c

We bewijzen weer: de driehoeken $A S B$ en $C S B$ zijn congruent.

$1. \| A S \| = \| C S \|$	$A B C D$ parallellogram
$2. ∠ A S B = ∠ B S C$	gegeven
$3. \| B S \| = \| B S \|$
$4. △ A B S ≅ △ C B S$	ZHZ, uit 1, 2 en 3

Uit die congruentie volgt dat de zijden $A B$ en $B C$ even lang zijn.

8

De middelpunten zijn $M$ en $N$ , de snijpunten zijn $A$ en $B$ .
$M$ en $N$ liggen beide even ver van $A$ als van $B$ , dus beide op de middelloodlijn van $A$ en $B$ .
Dus lijn $M N$ is de middelloodlijn van lijnstuk $A B$ . Dus $M N ⊥ A B$ .

9

Het middelpunt van de cirkel noemen we $M$ . We bewijzen dat de driehoeken $A S M$ en $B S M$ congruent zijn.

$1. \| A M \| = \| B M \|$	$A$ en $B$ op de cirkel
$2. \| S M \| = \| S M \|$
$3. ∠ S A M = ∠ S B M = 90 °$	$S A$ en $S B$ raaklijn
$4. △ S A M ≅ △ S B M$	ZHZ uit 1, 2 en 3

Uit 4 volgt het gevraagde.

10

De vier hoeken met stip in de figuur zijn samen $180 °$ , omdat
$A B ∥ C D$ . Dus in $△ A S D$ geldt: $∠ A + ∠ D = \frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 °$ , dus $∠ S = 90 °$ enzovoort.

11

a

Gegeven: $M$ is het midden van $A C$ , verder is $K M ∥ B C$ en $M N ∥ A B$ .
We bewijzen eerst: $△ A K M ≅ △ M N C$

$1. K B N M$ parallellogram	$M N ∥ A B$ en $K M ∥ B C$
$2. ∠ M A K = ∠ C M N$	Z-hoeken
$3. ∠ A K M = ∠ M N C$	Z-hoeken
$4. \| A M \| = \| M C \|$	gegeven
$5. △ A K M ≅ △ M N C$	HZH uit 2, 3 en 4
$6. \| C N = \| M K \|$	uit 5
$7. \| B N = \| M K \|$ uit 1	uit 1
$8. \| C N = \| B N \|$	uit 6 en 7

b

Dat volgt uit de uniciteit.

12

$| M N = | A K |$ , want $△ A K M ≅ △ M N C$ (zie vorige opgave). $| M N = | K B |$ , want vierhoek $K B N M$ een parallellogram, zie vorige opgave. Dus $| M N | = | A K | = | K B |$ .

13

a

Teken de middenparallel $P Q$ van driehoek $A B C$ . Dan is $M N$ de middenparallel van driehoek $C P Q$ .
Dus $M N ∥ P Q$ en $A B ∥ P Q$ (uit de vorige opgave), dus $A B ∥ M N$ .

b

Dus $| A B | = 2 \cdot | P Q | = 2 \cdot 2 \cdot | M N |$ (uit de vorige opgave).

14

$P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn de middens van de zijden van vierhoek $A B C D$ .
Dan is $P S$ middenparallel van driehoek $A C D$ en $Q R$ middenparallel van driehoek $A B C$ .
Dus $P S ∥ A C$ en $QR ∥ A C$ .
Dus is $P S ∥ Q R$ .
Op soortgelijke wijze kun je laten zien dat $P Q ∥ R S$ .

15

a

We bewijzen dat de driehoeken $C Z D$ en $B P D$ congruent zijn.

$1. \| B D \| = \| C D \|$	gegeven
$2. ∠ Z C D = ∠ D B P$	Z-hoeken
$3. ∠ C Z D = ∠ D P B$	Z-hoeken
$4. △ C Z D ≅ △ B P D$	uit 1, 2 en 3
$5. \| C Z \| = \| B P \|$	uit 4

b

We bewijzen eerst: $F Z$ middenparallel van driehoek $A B P$ .

$1. F Z ∥ B P$	gegeven
$2. \| F A \| = \| F B \|$	gegeven
$3. F Z$ middenparallel van $△ A B P$	uit 1 en 2
$4. \| B P \| = 2 \cdot \| F Z \|$	uit 3
$5. \| C Z \| = 2 \cdot \| F Z \|$	uit 4 en a

c

Er is maar één punt op $C F$ dat op $\frac{2}{3}$ van $C$ ligt binnen  $A B C$ .

16

ZZH is geen congruentiegeval.

17

Het snijpunt van de middelloodlijn van $A B$ en de bissectrice van hoek $C$ ligt buiten driehoek $A B C$ .