1

a

De punten liggen op een halve cirkel met als middellijn de verbindingslijn van de twee punaises.

b

De punten liggen weer op een cirkelboog.

2

a

De punten $A$ , $B$ en $C$ liggen op de cirkel met middelpunt $M$ .

$1. ∠ M A C = ∠ M C A$	$\| M C \| = \| M A \|$
$2. ∠ M B C = ∠ M C B$	$\| M C \| = \| M B \|$
$3. ∠ M A C + ∠ M C A +$
$∠ M B C + ∠ M C B = 180 °$	hoekensom
$4. ∠ A C B = \frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 °$	uit 1, 2 en 3

b

Gegeven $∠ A C B = 90 °$ . Stel dat $C$ buiten de cirkel ligt. $D$ is het snijpunt van de cirkel met $A C$ .

$1. ∠ A D B = ∠ D C B + ∠ C D B$	buitenhoek
$2. ∠ A D B > ∠ D C B$	uit 1
$3. ∠ A D B = 90 °$	uit a
$4. ∠ A C B = 90 °$	gegeven

2, 3 en 4 zijn met elkaar in tegenspraak. Dus $C$ op cirkel.
Stel dat $C$ binnen de cirkel ligt. $D$ is het snijpunt van de cirkel met $A C$ .
Dan vind je op dezelfde manier dat $∠ A D B < ∠ D C B$ , wat weer een tegenspraak oplevert. Dus $C$ op cirkel.

3

Uit opgave 68b volgt dat $E$ en $D$ op de cirkel met middelpunt $M$ en middellijn $A B$ liggen.

4

We nemen aan dat $S$ het snijpunt van de cirkel $c$ met middellijn $A B$ en cirkel $d$ met middellijn $A C$ is.

$1. ∠ A S B = 90 °$	$S$ op $c$
$2. ∠ A S C = 90 °$	$S$ op $d$
$3. ∠ B S C = 180 °$	uit 1 en 2

Uit 3 volgt dat $S$ op $B C$ ligt.

5

De voetpunten van de loodlijnen heten $V$ , $W$ , $X$ en $Y$ .
Te bewijzen: $V W X Y$ is een rechthoek.
Bewijs

$1. D W B Y rechthoek$	gegeven
$2. V B X D rechthoek$	gegeven
$3. \| A D \| = \| B C \|$	$A B C D$ parm
$4. \| D Y \| = \| B W \|$	$D W B Y$ rechthoek
$5. \| A Y \| = \| C W \|$	uit 3 en 4
$6. \| A V \| = \| C X \|$	als 5
$7. ∠ Y A V = ∠ X C W$	$A B C D$ parm
$8. △ A V Y ≅ △ C X W$	ZHZ uit 5, 6 en 7
$9. \| Y V \| = \| X W \|$	uit 8
$10. \| X Y \| = \| V W \|$	als 9
$11. V W X Y parm$	uit 9 en 10
$12 . \| D B \| = \| X V \|$	diagonalen rechthoek
$13. \| D B \| = \| Y W \|$	net zo
$14. \| Y W \| = \| X V \|$	uit 12 en 13
$15. V W X Y rechthoek$	uit 14 en 11

6

a

$180 °$ (omgekeerde van Thales)

b

$360 °$ (de hele cirkel)

7

a

$120 °$ , $90 °$ , $60 °$ , $45 °$

b

$60 °$ , want driehoek APB is gelijkzijdig.
$45 °$ , $P B$ is diagonaal van het vierkant gevormd door de vier verdeelpunten.

In driehoek $A P B$ is hoek $P A B$ hoek van de regelmatige zeshoek met de verdeelpunten als hoekpunt.
Dus $∠ P A B = 120 °$ . Verder is driehoek $P A B$ gelijkbenig, zie figuur, dus $A P B = \frac{1}{2} (180 - 120) ° = 30 °$ .
Dezelfde redenering:
hoek $P A B$ is hoek van een regelmatige achthoek met de verdeelpunten als hoekpunt, dus $∠ P A B = 135 °$ en en $∠ A P B = \frac{1}{2} (180 - 135) ° = 22 \frac{1}{2} °$ .

8

a

Zie de figuur links aan het einde van de opgave.

$1. ∠ M P B = ∠ M B P$	$\| M P \| = \| M B \|$
$2. ∠ A M B = ∠ M B P + ∠ M P B$	buitenhoek
$3. ∠ A M B = 2 \cdot ∠ M P B$	uit 1 en 2

b

Zie de figuur in het midden aan het eind van de opgave.
Trek lijn $P M$ door. Het snijpunt met de cirkel noemen we $D$ .

$1. ∠ A P D = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M D$	onderdeel a
$2. ∠ B P D = \frac{1}{2} \cdot ∠ B M D$	onderdeel a
$3. ∠ A P B = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B$	uit 1 en 2

c

Zie de figuur rechts aan het eind van de opgave.
Trek lijn $P M$ door. Het snijpunt met de cirkel noemen we $D$ .

$1. ∠ A P D = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M D$	onderdeel a
$2. ∠ B P D = \frac{1}{2} \cdot ∠ B M D$	onderdeel a
$3. ∠ A P B = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B$	uit 1 en 2

9

a

Verbind $P$ met $A$ . De verbindingslijn snijdt de cirkel in punt $Q$ .
Dan $∠ P B Q < ∠ A Q B$ , want $∠ A Q B = ∠ A P B + ∠ Q P B$ (buitenhoek).
$∠ A Q B = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ , dus $∠ A P B < \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ .

b

Net zo

10

Ze staan op even lange bogen.

11

Laat $A B C$ een driehoek zijn, waarbij $C$ op de cirkel met middellijn $A B$ ligt. Volgens de stelling van de omtrekshoek geldt: $∠ A C B = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B = 90 °$ .

12

Omdat $A B ∥ C D$ geldt: $∠ A B D = ∠ C D B$ (Z-hoeken). De bogen waarop deze hoeken staan zijn dus even groot.

13

a

Gegeven zie figuur.

$1. ∠ S D A + ∠ D A S = 90 °$	hoekensom
$2. ∠ S D A = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$	stelling
	omtrekshoek
$3. ∠ D A S = \frac{1}{2} \cdot b g (C D)$	idem
$4. b g (A B) + b g (C D) = 180 °$	uit 1, 2 en 3

b

Dan is het ene deel $0 °$ en het andere deel $180 °$ , dus middellijn.

14

Gegeven zie figuur en $| A C | = | B C |$ .

$1. ∠ C A B = ∠ C B A$	$\| A C \| = \| B C \|$
$2. ∠ C D B = ∠ C A B$	staan op dezelfde boog
$3. ∠ C D A = ∠ C B A$	idem

Het gevraagde volgt uit 1, 2 en 3

15

Van driehoek $A B C$ is de omgeschreven cirkel getekend met middelpunt $M$ . Lijn $M S$ is middelloodlijn van $A B$ .

$1. ∠ S A B = ∠ S B A$	$\| A S \| = \| B S \|$
$2. b g (A S) = b g (B S)$	1 omtrekshoek
$3. ∠ A C S = ∠ B C S$	idem

16

Hoek $P A Q$ en hoek $P B Q$ staan beide op boog $P Q$ , wel in verschillende cirkels, maar de cirkels hebben dezelfde straal, dus die bogen zijn even groot. De hoeken zijn dan ook even groot (stelling van de omtrekshoek).
Dus driehoek $Q A B$ is gelijkbenig en $| A Q | = | B Q |$ .

17

Dat zijn de punten op de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ die aan dezelfde kant liggen van lijn $A B$ als $C$ . (Uit de stelling van de omtrekshoek en zijn omgekeerde)

18

Gegeven zie figuur, lijn $P S$ is raaklijn aan de cirkel, $α = ∠ A P S$ .

$1. ∠ M A P = ∠ M P A$	gelijkb. driehoek
$2. ∠ A M P = 180 ° - 2 \cdot ∠ M P A$	uit 1 en hoekensom
$3. ∠ A P S = 90 ° - ∠ M P A$	$P S$ raaklijn
$4. ∠ A P S = \frac{1}{2} ∠ A M P$	uit 2 en 3

19

Het snijpunt van de raaklijnen in $A$ en $B$ noemen we $S$ .

$1. ∠ A B S = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$	limietgeval
$2. ∠ B A S = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$	idem
$3. b g (A B) = 2 \cdot ∠ A C B = 140 °$	stelling omtrekshoek
$4. ∠ A S B = 40 °$	uit hoekensom en 1, 2 en 3

Net zo bereken je dat de andere hoeken $180 ° - 2 \cdot 60 ° = 60 °$ en $180 ° - 2 \cdot 50 ° = 80 °$

20

We gaan ervan uit dat $∠ A = 50 °$ , $∠ B = 60 °$ en $∠ C = 70 °$ .

$1. ∠ Q P A = ∠ Q B A$	op dezelfde boog
$2. ∠ Q B A = \frac{1}{2} \cdot 60 ° = 30 °$	gegeven
$3. ∠ R P A = ∠ R C A$	op dezelfde boog
$4. ∠ A R C = \frac{1}{2} \cdot 70 ° = 35 °$	gegeven

Uit 2 en 4 volgt dat $∠ P = 30 ° + 35 ° = 65 °$ .
Net zo bereken je dat $∠ Q = \frac{1}{2} \cdot 50 ° + \frac{1}{2} \cdot 70 ° = 60 °$ en $∠ R = \frac{1}{2} \cdot 50 ° + \frac{1}{2} \cdot 60 ° = 55 °$

21

Gegeven, zie figuur.

$1. ∠ Q P B = \frac{1}{2} \cdot b g (P Q)$	limietgeval
$2. ∠ N M A = ∠ M A B$	Z-hoeken
$3. ∠ N M A = ∠ Q P B$	F-hoeken
$4. ∠ A M N = ∠ Q P B$	uit 2 en 3
$5. ∠ A M N = \frac{1}{2} \cdot b g (R N)$	stelling omtrekshoek
$6. b g (R N) = b g (P Q)$	uit 4, 5 en 1

22

Hoek $C$ en hoek $B$ zijn even groot, want ze staan op dezelfde boog (stelling van de omtrekshoek). Zo zijn ook hoek $D$ en hoek $A$ even groot.
De twee driehoeken hebben twee hoeken gelijk, dus zijn gelijkvormig (hh).

23

Hoeken $P$ en $Q$ blijven op dezelfde boog $A B$ staan.