1

figuur bij opgave 90

2

Zie vorige opgave. In elk paar overstaande hoeken komt elk teken precies één keer voor en alle hoeken tezamen zijn $360 °$ (hoekensom vierhoek).

Omkering
Teken de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ . De cirkelboog $A C$ “onder” lijn $A C$ is $2 \cdot β$ . De cirkelboog “boven” lijn $A C$ is dus $2 \cdot (180 ° - β)$ . Omdat $δ = 180 ° - β$ ligt $D$ op die boog.

3

$1. ∠ A D P = β$	overstaande hoeken
$2 . ∠ B C D = 180 ° - γ$	gestrekte hoek
$3. ∠ B A D = α + β$	buitenhoek
$4 . α + β + 180 ° - γ = 180 °$	$A B C D$ koordenvierhoek
$5. α + β = γ$	uit 4

4

a

Die heeft twee rechte hoeken namelijk de twee gelijke overstaande hoeken.

b

Dat is een rechthoek.

5

a

$∠ E + ∠ M = 180 °$

b

$1. \| C M \| = \| D M \|$	$M$ middelpunt
$2. b g (C M = b g (D M)$	uit 1
$3. ∠ D E M = ∠ M E C$	uit 2

6

$1. b g (B C D E) = 2 \cdot α$	omtrekshoek
$2. b g (B A E D) = 2 \cdot β$	omtrekshoek
$3. b g (E D) = 2 \cdot γ$	omtrekshoek
$4. 2 \cdot α + 2 \cdot β = 360 ° + 2 \cdot γ$	uit 1, 2 en 3
$5. α + β = 180 ° + γ$	uit 4

7

a

De drie bogen waarop die hoeken staan zijn samen twee keer de cirkelomtrek.

b

De vier bogen waarop die hoeken staan zijn samen drie keer de cirkelomtrek:
$∠ A + ∠ C + ∠ E + ∠ G = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 360 ° = 540 °$

8

Zie de gekleurde hoeken in de figuur: volgt uit de stelling van de omtrekshoek (en het limietgeval).

9

a

$V_{1}$ en $V_{2}$ zijn de voetpunten van de hoogtelijnen uit $B$ en $D$ van driehoek $D B C$ . Verder is gegeven: $∠ A = ∠ C$ .

$1. ∠ V_{1} + ∠ V_{2} = 180 °$	gegeven
$2. ∠ H_{2} + ∠ C = 180 °$	uit 1, hoekensom vierhoek
$3. ∠ H_{1} = ∠ H_{2}, ∠ A = ∠ C$	overstaande hoeken,
	gegeven
$4. ∠ H_{1} + ∠ A = 180 °$	uit 2 en 3
$5. A B H D$ koordenvierhoek	uit 4

b

Een vlieger is symmetrisch en heeft dus twee gelijke overstaande hoeken. Ook een parallellogram heeft twee gelijke overstaande hoeken.

10

a

Teken punten $A$ , $B$ en $C$ zó, dat $A C B = 45 °$ en teken de omgeschreven cirkel van driehoek $A B C$ . (Het gemakkelijkste is een rechthoekige driehoek $A B C$ te tekenen.)
De punten $P$ op de cirkel op de 'lange' boog $A B$ zijn precies de punten met $∠ A P B = 45 °$ .

b

De punten $P$ op de cirkel op de 'korte' boog $A B$ zijn precies de punten met $∠ A P B = 135 °$ .

11

$1. ∠ A C B = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$	omtrekshoek
$2. ∠ C A D = \frac{1}{2} \cdot b g (C D)$	omtrekshoek
$3. ∠ A C B = ∠ C A D + ∠ A P B$	buitenhoek
$4. \frac{1}{2} \cdot b g (A B) = \frac{1}{2} \cdot b g (C D) + ∠ A P B$	uit 1, 2 en 3

12

$1. ∠ D P C = ∠ D B C + ∠ A C B$	buitenhoek
$2. ∠ D B C = \frac{1}{2} \cdot b g (D C)$	omtrekshoek
$3. ∠ A C B = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$	omtrekshoek
$4. ∠ D P C =$
$\frac{1}{2} \cdot b g (A B) + \frac{1}{2} \cdot b g (C D)$	uit 1, 2 en 3

13

Een boog krijgt lengte $0$ .

14

De tekening is een kwartslag gedraaid.

$1. ∠ A = \frac{1}{2} \cdot b g (B C) - \frac{1}{2} \cdot b g (P Q)$	opgave 100
$2. ∠ A = \frac{1}{2} \cdot b g (P Q)$	omtrekshoek
$3. b g (B C) = 2 \cdot b g (P Q)$	uit 1, 2 en 3

15

$1. α = \frac{1}{2} \cdot b g (C Q) - \frac{1}{2} \cdot b g (P D)$	opgave 100
$2. β = \frac{1}{2} \cdot b g (P C) - \frac{1}{2} \cdot b g (Q D)$	opgave 100
$3. γ = \frac{1}{2} \cdot b g (P D) - \frac{1}{2} \cdot b g (Q D)$	omtrekshoek
$4. α + β + γ =$
$\frac{1}{2} \cdot b g (C Q) + \frac{1}{2} \cdot b g (P C)$	uit 1, 2 en 3
$5. δ = \frac{1}{2} \cdot b g (C Q) + \frac{1}{2} \cdot b g (P C)$	omtrekshoek
$6. α + β + γ = δ$