Deze paragraaf kun je overslaan.

Je bent in Neerlands hoofdstad en bewondert het paleis op de Dam. Hoe breed zie je het gebouw? Richt je blik eerst op de linkerkant en dan op de rechterkant. Dan verander je je kijkrichting. De hoek waarover die verandert, is de kijkhoek waaronder je het gebouw ziet.
Hoe groot de kijkhoek is, hangt natuurlijk af van de plek waar je je bevindt.

Lijnstuk

A B

hiernaast zie je vanuit

C

onder een hoek van

60 °

Teken op het werkblad alle punten aan de kant van $C$ van lijn $A B$ waar je lijnstuk $A B$ onder een hoek van $60 °$ ziet; dat is de iso-60 graden-hoeklijn.
Beschrijf je werkwijze.

De iso-hoeklijn van $70 °$ kunje tekenen door bijvoorbeeld een punt $D$ te zoeken waarvoor geldt: $∠ A D B = 70 °$ .

Teken de isohoeklijn aan de 'bovenkant' van lijn $A B$ .
Beschrijf je werkwijze.

(hint)

Het gemakkelijkste is een rechthoekige driehoek

A B D

te tekenen.

Om een isohoeklijn 'boven' lijnstuk $A B$ te tekenen, kun je ook meteen op zoek gaan naar het middelpunt $M$ van de cirkelboog die je moet tekenen.

Hoe groot zijn de hoeken van driehoek $M A B$ bij de isohoeklijn van $48 °$ ?

(hint)

Driehoek

M A B

is gelijkbenig.

Gegeven is een lijnstuk $A B$ .
Gevraagd is de verzameling punten $P$ , zodat $∠ A P B = 46 °$ .
Je redeneert dan bijvoorbeeld zo.

De punten liggen op twee cirkelbogen die elkaars spiegelbeeld zijn in lijn $A B$ ; noem een van de middelpunten: $M$ .
De middelpuntshoek $M$ is dan $92 °$ .
de hoeken $M A B$ en $M B A$ zijn even groot(gelijkbenige driehoek).
Deze hoeken zijn dus beide $44 °$ (uit hoekensom).
Nu kan ik de punten $M$ bepalen (aan weerszijden van lijn $A B$ een punt $M$ .
De punten $P$ liggen op bogen van de cirkels met een middelpunt $M$ die door $A$ en $B$ gaan.

Deze aanpak gaat volgens opgave 105c. Je kunt ook de methode van opgave 105b volgen.

Jan van den Heuy rijdt op de A50. Hij moet naar Arnhem. In de verte ziet hij het bord waarop staat hoe hij moet voorsorteren. Als hij dichterbij komt, lijkt het bord groter te worden. Dat komt omdat de kijkhoek waaronder hij het bord ziet groter wordt. Maar als hij vlak bij het bord is, lijkt het weer kleiner.

De onderkant van het bord is $4$ meter boven de weg. Het bord is $3,5$ meter hoog. Reken met een ooghoogte van de automobilist van $1$ meter. Hieronder is de hoek getekend waaronder hij het bord ziet als de auto nog $8$ meter van het bord af is.

Bereken de hoek waaronder Jan het bord ziet in één decimaal nauwkeurig.

(hint)

Gebruik de tangens.

Als Jan $x$ meter voor het bord is, is de hoek waaronder Jan het bord dan ziet: $\tan^{- 1} (\frac{6,5}{x}) - \tan^{- 1} (\frac{3}{x})$ .

Toon dat aan.

Teken de grafiek op de GR en bepaal daarmee in twee decimalen nauwkeurig voor welke afstanden $x$ de hoek $15,0 °$ graden is.

We gaan meetkundig bepalen op welke plek Jan het bord het grootst ziet.

Vergeet even de ooghoogtelijn. De punten van waaruit je het bord onder een hoek van $40 °$ ziet, liggen op een cirkelboog, de iso- $40 °$ -hoeklijn.

Teken die op schaal $1 : 100$ .

Teken ook de iso-hoeklijnen bij de hoeken: $15 °$ , $20 °$ en $25 °$ .

Nu letten we wel op de ooghoogtelijn. Je ziet dat er twee plekken zijn waar Jan het bord ziet onder een hoek van $20 °$ . Maar er zijn geen plekken waar hij het bord ziet onder een hoek van $25 °$ . Er is één plek waar Jan het bord ziet onder de grootste kijkhoek.

Wat weet je van de bijbehorende iso-hoeklijn te vertellen?
Wat is dus de straal van die cirkel?

Teken de iso-hoeklijn bij de grootste kijkhoek.

Bereken de grootste kijkhoek in één decimaal.

We keren terug naar opgave 105.
Iemand steekt schuin de Dam over. Zijn route staat op het werkblad: de lijn $k$ . Er is een plek op $k$ van waar uit hij het paleis op de Dam (lijnstuk $A B$ het breedst ziet. Omdat de lijn $k$ niet loodrecht staat op de voorgevel van het paleis, is het lastig die plek te vinden. Hieronder volgt een slimme constructie.

We zoeken een cirkel die door de uiterste punten $A$ en $B$ van de voorgevel gaat en raakt aan lijn $k$ .
Het middelpunt van die cirkel ligt op de middelloodlijn $m$ van $A B$ .
Teken een (kleine) cirkel met middelpunt op $m$ , die raakt aan $k$ . Noem het middelpunt $M$ .
Noem het snijpunt van $m$ met $k$ : $S$ . Vanuit $S$ gaan we de kleine cirkel opblazen, totdat hij door $A$ en $B$ gaat.
Trek lijn $A S$ . Noem een van de snijpunten met de cirkel: $T$
(Als $A S$ de cirkel niet snijdt, doet $B S$ dat wel; verwissel dan $A$ en $B$ .)
Trek de lijn door $A$ , evenwijdig aan $T M$ .
Noem het snijpunt met lijn $m$ : $N$ .
Teken de cirkel met middelpunt $N$ die raakt aan $k$ .

Voer deze constructie stap voor stap uit.

We zochten de plek op de route $k$ van waar uit de persoon het paleis het breedst ziet.

Ga na dat het raakpunt van de cirkel met middelpunt $N$ en de lijn $k$ het gezochte punt op $k$ is.

Een cirkel gaat door de punten $A$ en $B$ en raakt aan de lijn $k$ in het punt $R$ . De lijnen $k$ en $A B$ snijden elkaar in het punt $X$ .

Bewijs dat de driehoeken $A R X$ en $R B X$ gelijkvormig zijn.

Laat zien dat uit onderdeel b volgt: $| A X | \cdot | B X | = | R X |^{2}$ .

We hebben dezelfde figuur als in opgave 109.
Noem de straal van de cirkel $r$ en het middelpunt $M$ .
We gaan op twee manieren bewijzen dat $\sin (∠ A R B) = \frac{| A B |}{2 r}$

Gebruik dat $∠ A R B = \frac{1}{2} \cdot ∠ A M B$ .

Verplaats $R$ over de cirkel naar een punt $S$ , zó dat $∠ A B S = 90 °$ .

Gegeven is lijnstuk $A B$ van lengte 5. Op het verlengde van $A B$ aan de kant van $B$ ligt het punt $X$ op afstand $4$ van $B$ .
Door $X$ zijn vier lijnen getekend. Op elk van die lijnen is dat punt $R$ aangegeven, waarbij de kijkhoek $A R B$ het grootst is.

Leg uit dat de punten $R$ op één cirkel liggen. Wat is de straal van de cirkel?

(hint)

Gebruik opgave 109b.

Gegeven is driehoek $A B C$ . Er is een punt binnen de driehoek waar je zijde $A B$ onder $120 °$ ziet en zijde $B C$ onder $106 °$ .

Onder welke hoek zie je in dat punt zijde $A C$ ?

Construeer dat punt op het werkblad.

Gegeven is driehoek $A B C$ . Er is een punt binnen de cirkel waar je de drie zijden even groot ziet.

Bepaal de plaats van dat punt.

Gegeven is driehoek $A B C$ .
Er zijn plekken in het platte vlak waar je alle drie de zijden onder een stompe hoek ziet. Er zijn ook plekken waar je twee zijden onder een stompe hoek ziet, er zijn plekken waar je één zijde onder een stompe hoek en er zijn plekken waar je geen van de zijden onder een stompe hoek ziet.

Teken een driehoek $A B C$ .
Geef elke van de vier gebieden aan met een kleur.

Het punt $B$ ligt op lijnstuk $A C$ zo dat $| A B | = 2 \cdot | B C |$ . Teken zo'n situatie. Neem voor $| B C |$ bijvoorbeeld 4 cm.

Zoek de punten waar je de lijnstukken $A B$ en $B C$ beide onder een hoek van $40 °$ ziet.
Ook voor $20 °$ , $60 °$ en $80 °$ .

In onderdeel a heb je acht punten getekend die, als je het goed gedaan hebt, (zo ongeveer) op een cirkel liggen.
We gaan bewijzen dat de punten $P$ waarvoor $∠ A P B = ∠ C P B$ inderdaad op een cirkel liggen.
Teken in een nieuwe figuur de punten $A$ , $B$ en $C$ zoals hierboven en een punt $P$ zodat $∠ A P B = ∠ C P B$ . Teken ook de cirkels door $A$ , $B$ en $P$ en door $B$ , $C$ en $P$ ;
noem hun middelpunten achtereenvolgens $M$ en $N$ .

Waarom geldt: $∠ A M B = ∠ C N B$ ?

Waarom $A M ∥ B N$ ?

$D$ is het snijpunt van de lijnen $A C$ en $M N$ .
Driehoek $D N B$ is gelijkvormig met driehoek $D M A$ en
$| B N | : | A M | = 1 : 2$ .

Bewijs dat $| D C | = | B C |$ .

De lijn $M N$ snijdt de lijn $A C$ dus voor elke $P$ in hetzelfde punt $D$ .
Voor elk punt $P$ is $C$ namelijk het midden van $B D$ .

Bewijs dat $P$ het spiegelbeeld is van $B$ in de lijn $M N$ .

Bewijs dat $P$ op de cirkel ligt met $D$ als middelpunt en $| B D |$ als straal