Teken de omgeschreven cirkel van driehoek . Je moet dan die boog hebben, waar het punt op ligt.
Teken bijvoorbeeld een driehoek met een
rechte hoek in . Dan is
.
Nu kun je driehoek tekenen.
Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van driehoek .
De boog waar op ligt, moet je hebben.
Driehoek is gelijkbenig en , dus .
dus
.
.
Dus .
Dan en
en
In de tekening is het bord cm en
de onderkant van
het
bord op cm van de
lijn waarop het oog beweegt.
Zie figuur bij onderdeel a.
Die cirkel gaat door de uiterste punten van het bord en raakt de ooghoogte-lijn. De straal is dus meter.
Zie de figuur bij onderdeel a.
Noem die kijkhoek α. Noem het middelpunt van de bijbehorende cirkelboog
en de boven- en onderkant van het bord
en .
Dan , dus
en
.
Analoog aan opgave 107: je zoekt de kleinste cirkel door en die nog een punt met gemeen heeft. Deze cirkel raakt . In het raakpunt heb je de grootste kijkhoek.
|
omtrekshoek |
|
limietgeval |
|
uit 1 en 2 |
|
|
|
uit 3 en 4 |
Uit de gelijkvormigheid van de twee driehoeken volgt:
is het midden van lijnstuk . Omdat driehoek gelijkbenig is, is en . Dat laatste vanwege de stelling van de omtrekshoek. , dus klopt.
Dan is middellijn en (beide uit de stelling van de omtrekshoek). Omdat recht is geldt: .
Omdat de kijkhoek het grootst is, raakt lijn
aan de isohoeklijnen.
Dus er geldt: , dus
,
dus
.
De punten liggen op een cirkel met middelpunt
en straal .
Onder een hoek van
Op de cirkel door en
ligt de
iso--hoeklijn van ; op de cirkel door
en ligt de iso--hoeklijn van .
De twee cirkels hebben twee snijpunten. Eén ervan is ,
het andere is het gevraagde punt.
Dat is onder een hoek van .
Teken de iso--hoeklijn van
de zijden en van .
De twee
getekende cirkels hebben twee snijpunten.
Eén ervan is
, het andere is het gevraagde punt.
Teken de cirkels met de zijden als middellijn. In gebied 3 zie je drie zijden onder een stompe hoek. In de gebieden 2 zie je twee zijden onder een stompe hoek. In de gebieden 1 zie je één zijde onder een stompe hoek. Daarbuiten zie je alle zijden onder een scherpe hoek.
-
|
omtrekshoek |
|
omtrekshoek |
|
gegeven |
|
uit 1, 2 en 3 |
De driehoeken en zijn gelijkbenig en volgens b hebben ze dezelfde tophoek, dus ook , dus (F-hoeken).
Stel en
, dan:
en
.
, dus
.
Want de driehoeken en zijn congruent (ZZZ).
Uit het voorgaande onderdeel volgt dat , dus ligt op de cirkel met middelpunt en straal .