4.8 Computer-practicum >

Hoofdstukken > Hoeken en bogen

Er bestaan verschillende meetkunde-computerprogramma's. Daarmee kun je nauwkeurige tekeningen maken op het scherm. Vervolgens kun je een punt verplaatsen en zien hoe de getekende figuur mee verandert. Sommige meetkundige eigenschappen blijven dan gelden.
Het programma dat wij gebruiken is GeoGebra, dit is sinds enkele jaren het standaardprogramma. In de Wageningse Methode wordt het programma ook gebruikt in Hoofdstuk 13 paragraaf 6.
Met GeoGebra kun je het volgende tekenen.

Een punt, een lijn, een cirkel;
een lijn door een gegeven punt,
het lijnstuk met gegeven eindpunten,
de cirkel met gegeven middelpunt en gegeven punt op de omtrek,
het midden van een gegeven lijnstuk,
de middelloodlijn van een gegeven lijnstuk,
de bissectrice van een gegeven hoek,
een loodlijn door een gegeven punt op een gegeven lijn;
snijpunten van twee lijnen, van twee cirkels en van een lijn en een cirkel.
Je kunt ook in een tekening een punt, lijn of cirkel aanwijzen en vastpakken. Het object kun je vervolgens met de muis verplaatsen. Als je bijvoorbeeld een punt op een al getekende lijn hebt gekozen, zal het punt bij verschuiven op die lijn blijven.

In GeoGebra kun je het volgende ook.

Labels" aan punten, lijnen en cirkels hangen met hun namen zoals " $A$ " en " $k$ ",
verschillende objecten verschillend kleuren.
lijnstukken en hoeken opmeten.

Voorlopig heb je genoeg aan deze basishandelingen. Om te leren hoe dat precies gaat, moet je een (samenvatting van een) handleiding van het betreffende programma raadplegen. Al doende leer je de (on)mogelijkheden van het programma kennen.

De eerste acht opgaven van deze paragraaf zijn bedoeld om met het programma kennis te maken.
Er zijn geen antwoorden bij.

Teken een lijnstuk en construeer een gelijkzijdige driehoek met dat lijnstuk als zijde.
Misschien heeft het programma een optie "Regelmatige veelhoek", maar die moet je nu niet gebruiken.

(hint)

Gebruik een cirkel.

Teken een lijnstuk en construeer een vierkant met dat lijnstuk als zijde.
Je moet hierbij niet de optie "Regelmatige veelhoek" gebruiken.

Teken een (niet te kleine) cirkel op het scherm, zonder het middelpunt te tekenen.

Construeer het middelpunt van de cirkel.

Teken een driehoek.

Construeer daarin zijn drie hoogtelijnen.

Pak een hoekpunt vast en verschuif het over het scherm.

Blijven de drie hoogtelijnen door één punt gaan?

De hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zogenaamde hoogtepunt.

Waar ligt het hoogtepunt als de driehoek rechthoekig is? En als hij stomphoekig is?

Teken een driehoek.

Construeer daarin twee van de middelloodlijnen van de zijden.
Construeer vervolgens de omgeschreven cirkel van de driehoek.

Pak een hoekpunt vast en verschuif het over het scherm.

Blijft de omgeschreven cirkel door de hoekpunten gaan?

Waar ligt het middelpunt van de omgeschreven cirkel als de driehoek rechthoekig is?
En als hij stomphoekig is?

Teken een driehoek.

Construeer daarin twee van zijn bissectrices.
Construeer vervolgens de ingeschreven cirkel van de driehoek.

Pak een hoekpunt vast en verschuif het over het scherm.

Blijft de ingeschreven cirkel raken aan de zijden?

Teken een punt $M$ en een cirkel met $M$ als middelpunt.
Teken buiten de cirkel nog een punt $P$ .

Construeer de raaklijnen uit $P$ aan de cirkel.

(hint)

Gebruik de stelling van Thales.

Pak het punt $P$ vast en verschuif het over het scherm.

Blijven de raaklijnen raken aan de cirkel?
Wat gebeurt er als $P$ heel dicht bij de cirkel komt?

Teken een driehoek.

Construeer daarin twee van zijn zwaartelijnen.

Het snijpunt van de zwaartelijnen is het zwaartepunt van de driehoek.

Meet de stukken waarin het zwaartepunt een van de zwaartelijnen verdeelt.

Pak een hoekpunt vast en verschuif het over het scherm.

Blijft de verhouding van de lengten van de stukken zwaartelijn hetzelfde?

Middens van de zijden
Teken een willekeurige vierhoek. Verbind de opvolgende middens van de zijden.

Wat voor vierhoek krijg je?
Kun je dat ook bewijzen.

(hint)

Gebruik middenparallel.

Pak een van de hoekpunten van de vierhoek vast.
Verplaats het zo dat er een ruit ontstaat.

Wat voor vierhoek met de middens als hoekpunten krijg je nu?
Kun je dat ook bewijzen?

Medianen

Teken een willekeurige vierhoek. Verbind de overstaande middens van de zijden. De twee verbindingslijnstukken heten de medianen van de vierhoek.

Verplaats een of meer hoekpunten zo dat de medianen loodrecht op elkaar staan.

Bij wat voor vierhoek is dat het geval?
Kun je dat ook bewijzen?

Verplaats een of meer hoekpunten zo dat de medianen even lang zijn.

Bij wat voor vierhoek is dat het geval?
Kun je dat ook bewijzen?

Bissectrices
We bekijken een willekeurige vierhoek $V$ met daarin de bissectrices van de hoeken. We letten op de vierhoek die door de bissectrices wordt ingesloten.

Teken zo'n vierhoek met zijn bissectrices.

Verplaats een van de hoekpunten zo dat de vierhoek $V$ een parallellogram wordt.
Wat voor soort vierhoek wordt dan door de bissectrices ingesloten?
Kun je dat ook bewijzen?

Verplaats een of meer hoekpunten zo dat de vierhoek $V$ een rechthoek wordt.
Wat voor soort vierhoek wordt dan door de bissectrices ingesloten?
Kun je dat ook bewijzen?

Verplaats een of meer hoekpunten zo dat de vierhoek $V$ een ruit wordt.
Hoe zit het nu met de "vierhoek" die door de bissectrices wordt ingesloten?
Kun je dat ook bewijzen?

We keren terug naar de willekeurige vierhoek $V$ . De bissectrices sluiten altijd een koordenvierhoek in.
Controleer dat op het scherm.
Kun je dat bewijzen?

(hint)

Twee overstaande hoeken moeten

180 °

zijn.

In de volgende drie opgaven moet je een punt over een cirkel bewegen. Kies daarvoor in GeoGebra de optie Punt op object.

Teken een (niet te kleine) cirkel met middelpunt $M$ .
Kies een punt $P$ binnen de cirkel (niet te dicht bij $M$ ) en een punt $A$ op de cirkel en bepaal het andere snijpunt $B$ van lijn $A P$ met de cirkel. Geef het midden $C$ van de koorde $A B$ aan.

Pak punt $A$ vast en beweeg het over de cirkel.
Welke baan beschrijft het punt $C$ dan?
Bewijs dat.

Het computerprogramma GeoGebra heeft ook een optie waarbij de plaatsen die $C$ tijdens het bewegen van $A$ inneemt op het scherm blijven staan: $C$ trekt een spoor. O
ok kun je in GeoGebra het punt $A$ automatisch over de cirkel rond laten draaien.

Probeer dit uit.

De baan van het hoogtepunt

Teken een cirkel met daarin een ingeschreven driehoek $A B C$ .
Construeer het hoogtepunt $H$ van $A B C$ .

Pak punt $C$ vast en beweeg het over de cirkel.
Welke baan beschrijft $H$ dan zo te zien?

We gaan je vermoeden uit onderdeel b bewijzen.
Noem het snijpunt van lijn $C H$ met de cirkel: $CF$ .

Bewijs dat $∠ A H F = ∠ A F H$ .

Hoe volgt uit onderdeel c dat $H$ het spiegelbeeld is van $F$ in de lijn $A B$ ?

Over welke cirkelboog beweegt $H$ dus?

Om inzicht te krijgen in een meetkundige situatie, kun je goed een computertekening maken. Dat gaat vrij snel, heel nauwkeurig, en je kunt gemakkelijk experimenteren door bijvoorbeeld een punt te bewegen. Zodoende kun je meetkundestellingen ontdekken. Die moeten dan nog wel bewezen worden! In opgave 14 geven we een voorbeeld.

De rechte van Wallace

Teken een driehoek met zijn omgeschreven cirkel.
Kies een punt op de cirkel en construeer de voetpunten van de loodlijnen uit dat punt op de (verlengden van de) zijden van de driehoek.

Pak het punt vast en beweeg het over de cirkel.
Wat valt je op aan de ligging van de drie voetpunten?

Wat gebeurt er als het punt een hoekpunt van de driehoek is?

Je hebt ontdekt dat (waarschijnlijk) de drie voetpunten op een rechte lijn liggen, de zogenaamde rechte van Wallace.
"Waarschijnlijk", omdat een bewijs je pas echt zekerheid verschaft. En een bewijs geeft uitleg waarom het zo is zoals het lijkt.
In de paragraaf Opdrachten zullen we bewijzen dat de drie voetpunten op één lijn liggen.
In de paragrafen Extra opgaven en Opdrachten kom je allerlei situaties tegen die je op het computerscherm kunt verkennen. Je kunt natuurlijk ook opgaven uit vorige paragrafen opnieuw bekijken.