1

2

3

4

a

b

c

5

a

b

c

6

a

b

7

a

b

8

a

b

c

9

a

Zie opgave 46.

b

Een rechthoek
$A B C D$ is een parallellogram en $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn middens van zijden.
In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar. Omdat de zijden van $P Q R S$ evenwijdig met de diagonalen van de ruit zijn, is $P Q R S$ een rechthoek.

10

a

b

Als de medianen loodrecht op elkaar staan is $A B C D$ een vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn.

$1. P Q R S$ parallellogram	opgave 9
$2. P Q R S$ ruit	gegeven
$3. \| R S \| = \| P S \|$	uit 2
$4. \| A C \| = 2 \cdot \| R S \|$ , $\| D B \| = 2 \cdot \| P S \|$	middenparallel
$5. \| A C \| = \| D B \|$	uit 4

c

Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

$1. P Q R S$ parallellogram
$2. P Q R S$ rechthoek	diagonalen even lang
$3. A C ⊥ B D$	$A C ∥ P Q$ , $B D ∥ R Q$ en 2

11

a

-

b

De hoekpunten van $V$ noemen we steeds $A$ , $B$ , $C$ en $D$ . Het snijpunt van de bissectrices van de hoeken $A$ en $D$ noemen we $S$ . De vier hoeken met de tekens zijn samen $180 °$ , dus de hoeken $S A D$ en $S D A$ zijn samen de helft daarvan dus $90 °$ .
Dus hoek $A S D$ is recht. De andere hoeken van de ingesloten vierhoek recht (op soortgelijke manier te bewijzen).

c

Een vierkant
De driehoeken $A D Y$ , $X C B$ , $P B C$ en $A D Q$ zijn congruente gelijkbenige rechthoekige driehoeken, dus ook $P W B$ , $X W C$ , $X Y Z$ en $P Q R$ .
Dus $| Z W | = | R W |$ .

d

Dat wordt een punt omdat in een ruit de diagonalen de hoeken midden door delen.

e

$1. α + β + γ + δ = \frac{1}{2} \cdot 360 °$	hoekensom vierhoek
$2. ε = 180 ° - (α + β)$	hoekensom driehoek
$3. φ = 180 ° - (γ + δ)$	hoekensom driehoek
$4. ε + φ = 180 °$	uit 1, 2 en 3

12

a

-

b

Een cirkel met middellijn $M P$ .

$1. △ A M B$	$A$ en $B$ op de cirkel
$2. M C ⊥ A B$	uit 1
$3. ∠ M C P = 90 °$	uit 2
$4. C$ op cirkel met middellijn $M P$	omgekeerde van Thales

c

-

13

a

-

b

Over de cirkel

c

$1. ∠ H A B + ∠ A B C = 90 °$	hoekensom driehoek
$2. ∠ A B C = ∠ A F H$	op dezelfde boog
$3. ∠ H A B + ∠ A H F = 90 °$	hoekensom driehoek
$4. ∠ A F H = ∠ A H F$	uit 1, 2 en 3

d

Het snijpunt van de lijnen $H F$ en $A B$ noemen we $S$ .
Dan zijn de driehoeken $A H S$ en $A F S$ , HZH, want ze hebben de hoeken $A H S$ en $A F S$ even groot, beide een rechte hoek en zijde $A S$ gemeenschappelijk.
Uit de congruentie volgt het gevraagde.

e

$H$ beweegt dus over het spiegelbeeld van boog $A B$ (onder lijn $A B$ ) in lijn $A B$ .

14

a

-

b

Die liggen op één lijn.

c

Dan vallen twee van de drie voetpunten samen met een hoekpunt.