Onze uitgangspunten en stellingen in de vlakke meetkunde

We verwijzen in een bewijs met de cursief gedrukte termen naar de uitgangspunten en stellingen.

Hoeken, lijnen en afstanden
De overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstaande hoeken).
Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dan zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk (F-hoeken, Z-hoeken).
Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, waarbij een paar gelijke F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dan zijn die twee lijnen evenwijdig (F-hoeken, Z-hoeken).
Een rechte hoek is 90 ° ; een gestrekte hoek is 180 ° .
De som van de hoeken van een driehoek is 180 ° (hoekensom driehoek).
De afstand (kortste verbinding) van een punt tot een lijn is de lengte van de loodlijn neergelaten vanuit dat punt op die lijn (afstand punt tot lijn).
Driehoeksongelijkheid Als drie punten A , B en C niet op één lijn liggen, dan geldt: | A B | + | B C | > | A C | .

Driehoeken

Gelijkbenige driehoek

  1. Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk.

  2. Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de tegen overliggende hoeken ook gelijk.


Stelling van Pythagoras Als driehoek A B C een rechte hoek in C heeft, dan geldt a 2 + b 2 = c 2 .

Omgekeerde stelling van Pythagoras Als in driehoek A B C geldt a 2 + b 2 = c 2 , dan is hoek C recht.

Cosinusregel In elke driehoek A B C geldt:
c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos ( γ ) .

Sinusregel In elke driehoek A B C geldt:
sin ( α ) a = sin ( β ) b = sin ( γ ) c

Congruente driehoeken
We zeggen dat figuren congruent zijn als de ene figuur zo verplaatst kan worden dat hij de andere precies bedekt. Daarbij mag gespiegeld worden.
Twee driehoeken zijn congruent als ze gelijk hebben:

  1. een zijde en twee (aanliggende) hoeken, (HZH)

  2. een zijde, een aanliggende hoek en de tegenoverliggende hoek, (ZHH)

  3. twee zijden en de ingesloten hoek, (ZHZ)

  4. alle zijden, (ZZZ)

  5. twee zijden en de rechte hoek tegenover één van die zijden. (ZZR)


Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als ze het volgende gelijk hebben.

  1. twee hoeken, (hh)

  2. een hoek en de verhouding van de omliggende zijden, (zhz)

  3. de verhouding van de zijden, (zzz)

  4. een rechte hoek en de verhouding van twee nietomliggende zijden.


Vierhoeken
De som van de hoeken van een vierhoek is 360 ° (hoekensom vierhoek).

Equivalente definities en eigenschappen van een parallellogram.

  1. Er zijn twee paren evenwijdige zijden.

  2. Er zijn twee paren gelijke overstaande zijden.

  3. Twee overstaande zijden zijn gelijk en evenwijdig.

  4. De diagonalen delen elkaar middendoor.


Equivalente definities en eigenschappen van een ruit.

  1. Het is een parallellogram met vier gelijke zijden.

  2. Het is een parallellogram waarin een diagonaal een hoek middendoor deelt.

  3. Het is een parallellogram waarin de diagonalen elkaar lood recht snijden.


Equivalente definities en eigenschappen van een rechthoek.

  1. Het is een vierhoek met vier rechte hoeken.

  2. Het is een parallellogram met een rechte hoek.

  3. Het is een parallellogram met gelijke diagonalen.

Koordenvierhoeken

Definitie
Een koorde is een verbindingslijnstuk van twee punten op een kromme in het bijzonder op een op een cirkel.
Een koordenveelhoek is een veelhoek waarvan de zijden koorden zijn van een cirkel. Met andere woorden: een koordenveelhoek heeft een omgeschreven cirkel.

Koordenvierhoekstelling
In een koordenvierhoek is de som van de overstaande hoeken 180 ° .

Omkering
Als in een vierhoek de som van de overstaande hoeken 180 ° is, dan is het een koordenvierhoek.

Puntverzamelingen

De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B , is de middelloodlijn van het lijnstuk A B (middelloodlijn).
De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek, is de deellijn (bissectrice) van die hoek (deellijn).
De verzameling van alle punten die afstand r tot een gegeven punt M hebben, is de cirkel met middelpunt M en straal r (cirkel).
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee elkaar snijdende lijnen, is het deellijnenpaar (bissectrice paar) van die twee lijnen (deellijnenpaar).
De twee deellijnen van twee elkaar snijdende lijnen snijden elkaar loodrecht in het snijpunt van die twee lijnen (loodrechte stand deellijnenpaar).
De verzameling van alle punten die dezelfde afstand hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenparallel van dat lijnenpaar (middenparallel)

Stelling van de omtrekshoek

A , B en P liggen op de cirkel met middelpunt M , zie figuur 1 hieronder. We zeggen dat hoek A P B op boog A B staat.
Met b g ( A B ) bedoelen we de grootte van hoek A M B . Er geldt: A M B = 2 A P B .
Dus: de grootte van een omtrekshoek is de helft van de boog waarop hij staat.

Het limietgeval van de stelling is het volgende.
C en D zijn punten op de cirkel en lijn k raakt de cirkel in C , zie figuur 2 hieronder.
De hoek tussen raaklijn en koorde C D is de helft van de boog waarop de koorde staat.

figuur 1
figuur 2

Omgekeerd geldt:
als P buiten de cirkel ligt, dan: A M B > 2 A P B .
als P binnen de cirkel ligt, dan: A M B < 2 A P B .
Dit zijn speciale gevallen van het volgende.

Als P binnen de cirkel ligt, dan A P B = b g ( A B ) + b g ( C D ) .
Als P buiten de cirkel ligt, dan A P B = b g ( A B ) b g ( C D ) .

Hierbij zijn C en D snijpunten van de lijnen P A en P B met de cirkel.
Ook de stelling van Thales is een speciaal geval hiervan.

Cirkeleigenschappen

De loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde).
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt (raaklijn).