1

De cirkel verdeeld in drie bogen
De punten $A$ , $B$ en $C$ verdelen een cirkel in drie bogen.
De lengten van de bogen verhouden zich als $a : b : c$ ; zie figuur.
Neem om te beginnen $a : b : c = 1 : 2 : 3$ .

a

Hoe groot zijn de hoeken van driehoek $A B C$ ?

Neem $a : b : c = 2 : 3 : 4$ .

b

Hoe groot zijn de hoeken van driehoek $A B C$ ?
Teken een cirkel en teken daarop punten $A$ , $B$ en $C$ die hieraan voldoen. Geef een toelichting.

c

Wat weet je van $a$ , $b$ en $c$ als driehoek $A B C$ rechthoekig is?

2

De cirkel verdeeld in vier bogen
De punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ verdelen (in deze volgorde) een cirkel in vier bogen. De lengten van de bogen verhouden zich als
$a : b : c : d$ ; zie figuur.
Neem $a : b : c : d = 1 : 2 : 3 : 4$ .

a

Hoe groot zijn de hoeken van vierhoek $A B C D$ ?
Teken een cirkel en teken daarop punten $A$ , $B$ , $C$ en $D$ die hieraan voldoen en licht je antwoord toe.

b

Wat weet je van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ als $A B C D$ een rechthoek is?

c

Wat weet je van $A$ , $B$ , $C$ en $D$ als de diagonalen $A C$ en $B D$ loodrecht op elkaar staan?

3

Gegeven zijn twee punten $M$ en $N$ . We bekijken de cirkel met middelpunt $M$ die door $N$ gaat en de cirkel met middelpunt $N$ die door $M$ gaat.
De cirkels snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ . De lijn $M N$ snijdt de cirkel met middelpunt $M$ in het punt $P$ , zie figuur.

a

Bewijs dat lijn $A P$ raaklijn is aan de cirkel met middelpunt $N$ .

b

Bewijs dat $∠ A P B = 60 °$ .

c

Bereken $| A P |$ als de straal van de cirkels $1$ is.

4

Bissectrice
$A B C$ is een gelijkzijdige driehoek met middelpunt $M$ .
$P$ is een punt buiten de driehoek, zo dat $∠ A P B = 60 °$ . Zie figuur.

Bewijs dat $P M$ bissectrice is van hoek $A P B$ .

5

Een cirkelbeweging
Gegeven is een cirkel met koorde $A B$ . Het punt $P$ ligt op de cirkel.
Het punt X ligt op het verlengde van $B P$ zodanig dat $| A P | = | X P |$ .
Als $P$ de in de figuur dikgetekende boog $A B$ doorloopt, beschrijft $X$ een baan in het vlak.

a

Bewijs dat die baan een deel van een cirkel is.

b

Teken de baan, geef een toelichting.

6

Rechthoek
Gegeven zijn drie halve cirkels met middellijnen $A B$ , $B C$ en $A C$ waarbij $A$ , $B$ en $C$ op één lijn liggen. $P$ ligt op de grootste halve cirkel. De lijnen $A P$ en $C P$ snijden de andere twee halve cirkels in respectievelijk $Q$ en $R$ .

a

Bewijs dat $B R P Q$ een rechthoek is.

Veronderstel dat $| A B | = 3$ en $| B C | = 5$ .

b

Waar op de grootste halve cirkel moet je $P$ kiezen opdat $Q$ en $R$ op afstand $4$ van elkaar af liggen?

7

Evenwijdig 1

$A$ en $B$ zijn twee punten. Hierboven zijn elf exemplaren getekend van de bundel cirkels die door $A$ en $B$ gaan. $a$ is een lijn door $A$ , $b$ is een lijn door $B$ . Elk van de cirkels wordt door lijn $a$ in nog een ander punt dan $A$ gesneden en door lijn $b$ in nog een ander punt dan $B$ . Deze snijpunten zijn door koorden verbonden.
In onderstaand plaatje zijn alleen de koorden $v_{1}$ , $v_{2}$ en $v_{3}$ getekend met de bijbehorende cirkels.

Bewijs dat $v_{1}$ , $v_{2}$ en $v_{3}$ evenwijdig zijn.

8

Evenwijdig 2
Twee cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ snijden elkaar in $A$ en $B$ . $P$ is een punt op $c_{1}$ . De lijnen $P A$ en $P B$ snijden $c_{2}$ ook nog in $C$ en $D$ .

a

Bewijs dat de raaklijn in $P$ aan $c_{1}$ evenwijdig is aan $C D$ .

b

Bewijs dat de lengte van lijnstuk $C D$ onafhankelijk is van de plaats van punt $P$ op $c_{1}$ .

9

Koordenvierhoek
Gegeven is een cirkel met koordenvierhoek $A B C D$ , zo dat $B D$ middellijn is van de cirkel. Punt $P$ ligt op de zijde $A D$ en punt $Q$ op de zijde $C D$ , zo dat $P Q$ loodrecht staat op $B D$ .

Bewijs dat $P A C Q$ een koordenvierhoek is.

10

Op één lijn 1
De cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ in de figuur raken elkaar in $S$ .

De middelpunten van de cirkels zijn respectievelijk $M_{1}$ en $M_{2}$ . Lijn $l$ raakt $c_{1}$ in $P$ en $c_{2}$ in $Q$ .
De gemeenschappelijke raaklijn aan $c_{1}$ en $c_{2}$ in $S$ snijdt lijn $l$ in punt $T$ .

a

Bewijs dat de punten $P$ , $Q$ en $S$ op één cirkel met middelpunt $T$ liggen.

Verder is gegeven dat $Q R$ een middellijn van $c_{2}$ is.

b

Bewijs dat $P$ , $S$ en $R$ op één lijn liggen.

11

Even ver 1
De cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ .
$P$ is een punt op $c_{2}$ , $C$ en $D$ zijn de snijpunten van $c_{2}$ met respectievelijk $P A$ en $P B$ .
$Q$ en $R$ zijn de snijpunten met $c_{1}$ van respectievelijk $A D$ en $B C$ .

Bewijs dat de punten $Q$ en $R$ even ver van $P$ af liggen.

12

Even ver 2
Teken een cirkel. Teken een tweede cirkel met middelpunt $N$ op de eerste cirkel. Noem de snijpunten van de cirkels $A$ en $B$ . Kies op de eerste cirkel nog een punt: $P$ . Bepaal het snijpunt $C$ van $A P$ met de tweede cirkel.

Bewijs dat $B$ en $C$ even ver van $P$ af liggen.

(hint)

Bewijs eerst dat

∠ B N P = ∠ P N C

.

13

Gegeven is driehoek $A B C$ . De punten $A^{'}$ , $B^{'}$ en $C^{'}$ liggen op respectievelijk de zijden $B C$ , $A C$ en $A B$ .
We bekijken drie cirkels:
$c_{1}$ door $A$ , $B^{'}$ en $C^{'}$ ,
$c_{2}$ door $B$ , $A^{'}$ en $C^{'}$ en
$c_{3}$ door $C$ , $A^{'}$ en $B^{'}$ .

Bewijs dat deze cirkels door één punt gaan.

(hint)

Als

S

het snijpunt van

c_{1}

en

c_{2}

is, moet je bewijzen dat het punt op

c_{3}

ligt.

14

Op één lijn 2
$A B C D$ is een trapezium ( $A B ∥ C D$ ). $P$ is een punt op $B C$ .
De omgeschreven cirkels van de driehoeken $A B P$ en $C D P$ snijden elkaar behalve in $P$ ook nog in punt $S$ .

Bewijs dat $S$ op de lijn $A D$ ligt.

(hint)

Bewijs dat de hoeken

A S P

en

D S P

samen een gestrekte hoek vormen.

15

Op één cirkel
Twee cirkels $c_{1}$ en $c_{2}$ raken elkaar in het punt $R$ ; ze hebben dus een gemeenschappelijke raaklijn in $R$ .
Een lijn door $R$ snijdt $c_{1}$ in het punt $P_{1}$ en $c_{2}$ in $P_{2}$ . Een lijn door $P_{1}$ snijdt $c_{1}$ in het punt $Q_{1}$ . Een lijn door $P_{2}$ snijdt $c_{2}$ in het punt $Q_{2}$ .
De lijnen $P_{1} Q_{1}$ en $P_{2} Q_{2}$ snijden elkaar in het punt $S$ .

Bewijs dat de punten $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $S$ en $R$ op één cirkel liggen.

16

Door één punt

Gegeven is driehoek $A B C$ . Op de zijden van de driehoek worden naar buiten gelijkzijdige driehoeken gezet. We bekijken de omgeschreven cirkels van die drie driehoeken.

a

Bewijs dat deze cirkels door één punt gaan.

(hint)

Noem het snijpunt van twee van de cirkels

S

en bewijs dat

S

ook op de derde cirkel ligt.

Noem de top van de driehoek die op BC staat: $A^{'}$ .

b

Bewijs dat $A$ , $S$ en $A^{'}$ ' op één lijn liggen.

Het is niet noodzakelijk dat de driehoek die op de zijden van $A B C$ gezet worden gelijkzijdig zijn. We zetten willekeurige driehoeken op de zijden met tophoeken $α$ , $β$ en $γ$ (dat zijn de hoeken tegenover respectievelijk $B C$ , $A C$ en $A B$ ).

c

Wat weet je van $α$ , $β$ en $γ$ als de omgeschreven cirkels van deze driehoeken door één punt gaan?

17

Op één cirkel
Vier cirkels snijden elkaar twee aan twee in twee punten. De "buitenste" snijpunten zijn $A$ , $B$ , $C$ en $D$ ,
de "binnenste" snijpunten zijn $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ en $D^{'}$ .

Bewijs: als $A$ , $B$ , $C$ en $D$ op één cirkel liggen, dan liggen $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ en $D^{'}$ ook op één cirkel.

(hint)

Bewijs dat

∠ D^{'} A^{'} B^{'} = ∠ D^{'} D A + ∠ B^{'} B A

.