1

a

De bogen zijn $60 °$ , $120 °$ en $180 °$ , dus de hoeken: $\frac{1}{2} \cdot 60 ° = 30 °$ , $\frac{1}{2} \cdot 120 ° = 60 °$ en $\frac{1}{2} \cdot 180 ° = 90 °$ .

b

$40 °$ , $60 °$ en $80 °$
Zie figuur: neem middelpuntshoeken van $80 °$ , $120 °$ en $160 °$ .

c

Twee van de getallen $a$ , $b$ en $c$ samen zijn gelijk aan het derde (volgt uit Thales).

2

a

$54 °$ , $90 °$ , $126 °$ en $90 °$

b

$a = c$ en $b = d$

c

$a + c = b + d$

3

a

hoek $P A N$ staat op een middellijn van de cirkel met middelpunt $M$ .

b

$1. \| A N \| = \| M N \|$	$A$ en $M$ op cirkel
	met middelpunt $N$
$2. \| A M \| = \| M N \|$	$A$ en $N$ op cirkel
	met middelpunt $M$
$3. ∠ N M A = 60 °$	$△ M A N$ gelijkzijdig uit 1 en 2
$4. ∠ N P A = \frac{1}{2} \cdot 60 ° = 30 °$	omtrekshoek
$5. ∠ N P B = 30 °$	net zo

c

De zijden van een $30$ - $60$ - $90$ -graden driehoek verhouden zich als $1 : \sqrt{3} : 2$ .
Driehoek $N P A$ is zo'n driehoek, dus $| P A | = \sqrt{3}$ .

4

De hoeken $A M B$ , $B M C$ en $C M A$ zijn even groot, dus alle $120 °$ .
Dus $∠ A M B + ∠ A P B = 180 °$ , dus is $A P B M$ een koordenvierhoek.
Omdat de koorden $A M$ en $B M$ even groot zijn, zijn de bijbehorende bogen dat ook.
Dus is lijn $M P$ bissectrice van hoek $A P B$ .

5

a

$1. ∠ A X P = ∠ P A X$	$\| A P \| = \| X P \|$
$2. ∠ A P B = 2 \cdot ∠ A X B$	buitenhoek en 1
$3. ∠ A X B = \frac{1}{4} \cdot b g (A B)$	uit 2 en omtrekshoek

Dus $X$ doorloopt een cirkelboog, omgekeerde stelling van de omtrekshoek.

b

De middelloodlijn van lijnstuk $A B$ snijdt de cirkel in $M$ . Teken het bij $M$ horende punt $X$ .
Dan geldt dus: $| A M | = | X M | = | B M |$ , dus $M$ is het middelpunt van de cirkel waar de gevraagde boog op ligt.
$X$ doorloopt de boog $A B$ boven koorde $A B$ van deze cirkel.

6

a

De hoeken $A Q B$ , $A P C$ en $B R C$ zijn alle recht, omdat ze op een middellijn van een cirkel staan. De vierde hoek van vierhoek BRPQ is dan ook recht (hoekensom vierhoek).

b

Het midden van $A C$ noemen we $M$ . Omdat $B R P Q$ een rechthoek is, geldt:
$| B P | = | R Q | = 4$ . Ook geldt $| M P | = 4$ .
Dus driehoek $B M P$ is gelijkbenig. Dus $P$ ligt recht boven het midden van $B M$ .

7

Kort af: $∠ A D C = α$ .

$1. ∠ A B C = 180 ° - α$	$A B C D$ koordenvierhoek
$2 . ∠ G B A = α$	gestrekte hoek
$3 . ∠ G H A = α$	op dezelfde boog
$4. H G ∥ D C$	Z-hoeken 2 en 3
$5. ∠ A F E = α$	$A B E F$ , 1
$6. C D ∥ E F$	F-hoeken

8

a

Noem de hoek die de raaklijn met $P C$ maakt α.

$1. ∠ P B A = α$	limietgeval
$2. ∠ A B D = 180 ° - α$	gestrekte hoek
$3. ∠ A C D = α$	$A B C D$ koordenvierhoek
$4 . raaklijn ∥ C D$	Z-hoeken 1 en 3

b

Het middelpunt van $c_{2}$ noemen we $M$ en $∠ A P B = β$ .
$β = \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ van $c_{1}$ , hangt dus niet van de plaats van $P$ op $c_{!}$ af.
Omdat $β = \frac{1}{2} \cdot b g (C D) - \frac{1}{2} \cdot b g (A B)$ van $c_{2}$ (zie Eindpunt), hangt $b g (C D)$ ook niet van de plaats van $P$ af. Dus de koorde $C D$ ook niet.

9

Noem $∠ C A D = α$ en $∠ C A B = β$ .

$1. α + β = 90 °$	$B B$ middellijn
$2. ∠ B D C = β$	op dezelfde boog
$3. ∠ P Q C = 90 ° + β$	buitenhoek
$4. ∠ P Q C + ∠ P A C = 180 °$	uit 1, 2 en 3

Uit 4 volgt dat $A P Q C$ koordenvierhoek is.

10

a

$∠ P S T = ∠ S P T$ (limietgeval), dus $| P T | = | S T |$ .
Evenzo: $| Q T | = | S T |$ .
Dus liggen $P$ , $Q$ en $S$ even ver van $T$ .

b

Uit de stelling van Thales volgt dat de hoeken $P S Q$ en $Q S R$ beide recht zijn, dus $P$ , $S$ en $R$ liggen op één lijn.

11

De hoeken $C A D$ en $C B D$ staan op dezelfde boog van $c_{1}$ , zijn dus even groot.
Omdat deze hoeken op de bogen $P R$ en $P Q$ van $c_{2}$ staan, zijn de lijnstukken $P Q$ en $P R$ even lang.

12

Het snijpunt van $B C$ en $N P$ noemen we $S$ .

$1. ∠ B N C = 2 \cdot ∠ B A C$	omtrekshoek
$2. ∠ B N P = ∠ B A C$	idem
$3. ∠ B N P = ∠ P N C$	uit 1 en 2
$4. \| N S \| = \| N S \|$
$5. \| N B \| = \| N C \|$	gegeven
$6. △ B N S ≅ △ B N S$	ZHZ, uit 3, 4 en 5

Uit 6 volgt dat $S$ op de middelloodlijn van lijnstuk $B C$ ligt, dus is lijn $N S$ de middelloodlijn van lijnstuk $B C$ . Omdat $P$ op lijn $N S$ ligt, ligt $P$ even ver van $B$ en van $C$ .

13

De hoeken van driehoek $A B C$ noemen we $α$ , $β$ en $γ$ en
het snijpunt van $c_{1}$ en $c_{2}$ noemen we $S$ .

$1. ∠ B^{'} S C^{'} = 180 ° - α$	$A C^{'} S B^{'}$ koordenvierhoek
$2. ∠ A^{'} S C^{'} = 180 ° - β$	$C^{'} B A^{'} S$ koordenvierhoek
$3. ∠ A^{'} S C^{'} + ∠ B^{'} S C^{'} + ∠ B^{'} S A^{'} = 360 °$
$4. ∠ B^{'} S A^{'} = 180 ° - α$	uit 1, 2 en 3
$5. B^{'} S A^{'} C$ koordenvierhoek	uit 4

Uit 5 volgt dat $S$ op de cirkel door $A^{'}$ , $B^{'}$ en $C$ ligt.

14

Noem $∠ A B C = β$ .

$1. ∠ A S P = 180 ° - β$	$A B P S$ is koordenvierhoek
$2. ∠ D C P = 180 ° - β$	$A B ∥ C D$
$3. ∠ D S P = β$	$D S P C$ koordenvierhoek en 2
$4. ∠ A S P + ∠ D S P = 180 °$	uit 1 en 3

Uit 4 volgt dat de hoeken $A S P$ en $D S P$ samen een gestrekte hoek vormen.

15

Zeg $∠ S P_{1} R = α$ en $∠ S P_{2} R = β$ ; $T$ is een willekeurig punt op de gemeenschappelijke raaklijn 'boven' lijn $P_{1} P_{2}$ .

$1. ∠ Q_{1} R T = α$	limietgeval
$2. ∠ Q_{2} R T = β$	limietgeval
$3. ∠ Q_{1} S Q_{2} = 180 ° - α - β$	hoekensom driehoek
$4. ∠ Q_{1} S Q_{2} + ∠ Q_{1} R Q_{2} = 180 °$

Uit 4 volgt dat $Q_{1} R Q_{2} S$ een koordenvierhoek is.

16

a

Neem aan dat $S$ het snijpunt van de cirkel door $B$ en $C$ en de cirkel door $A$ en $C$ is.
Dan zijn de hoeken $B S C$ en $A S B$ beide $120 °$ (stelling van de omtrekshoek). Dus is $∠ A S B = 120 °$ . Dus ligt $S$ op de cirkel door $A$ en $C$ (koordenvierhoek).

b

$1. ∠ A S B = 120 °$	zie a
$2. ∠ B S A^{'} = ∠ B C A^{'} = 60 °$	omtrekshoek
$3. ∠ A S B + ∠ B S A^{'} = 180 °$	uit 1 en 2

Uit 3 volgt dat $A$ , $S$ en $A^{'}$ op één lijn liggen.

c

$∠ B S C = 180 ° - α$ , $∠ A S C = 180 ° - β$ en $∠ A S B = 180 ° - γ$ (koordenvierhoeken).
Dus $α + β + γ =$ $180 ° - ∠ B S C +$ $180 ° - ∠ A S C +$ $180 ° - ∠ A S B =$ $180 °$ ,
want $∠ B S C + ∠ A S C + ∠ A S B = 360 °$ .

17

Neem aan: $A B C D$ koordenvierhoek.

$1. ∠ A A^{'} D = 180 ° - ∠ A D D^{'}$	$A A^{'} D^{'} D$ koordenvierhoek
$2. ∠ A B B^{'} = 180 ° - ∠ A A^{'} B^{'}$	$A B A^{'} B^{'}$ koordenvierhoek
$3. ∠ A A^{'} D + ∠ A A^{'} B' + ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 360 °$
$4. ∠ D^{'} A^{'} B^{'} = ∠ D D^{'} A + ∠ B^{'} B A$	uit 1, 2 en 3
$5. ∠ B^{'} C^{'} D^{'} = ∠ D^{'} D C + ∠ B^{'} B C$	als 4
$6. ∠ D^{'} A^{'} B^{'} + ∠ B^{'} C^{'} D^{'} = 180 °$	$A B C D$ koordenvierhoek 4, 5

Uit 6 volgt het gevraagde.