$x^2=2$ want de oppervlakte van het grote vierkant is twee keer zo groot als de oppervlakte van het kleine vierkant.

$\frac{p^2}{q^2}=x^2=2$, dus $p^2=2q^2$.

De twee kleine vierkanten hebben zijden $p-q$ en het vierkant in het midden heeft zijden $q-\left(p-q\right)=2q-p$.

Omdat de twee rose vierkanten dezelfde oppervlakte hebben als het blauwe, moet de 'overlap' dezelfde oppervlakte hebben als het deel van het grote vierkant dat niet bedekt is.

In opgave 2 is $\frac{p}{q}=\sqrt{2}$. Uit onderdeel c en d volgt dan dat $\frac{2q-p}{p-q}=\sqrt{2}$.

$\frac{2q-p}{p-q}=\frac{2-\frac{p}{q}}{\frac{p}{q}-1}=$ $\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=$ $\frac{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}}{2-1}=\sqrt{2}$

Bijvoorbeeld $2x+6=0$.

Bijvoorbeeld $2x-7=0$.

Bijvoorbeeld $x^2-x=\frac{1}{4}$

$x^2-2x-2=0\iff {\left(x-1\right)}^2=3$. De vergelijking heeft twee niet-rationale oplossingen $x=1\pm \sqrt{3}$. Deze zijn reëel.

$x^2-2x+2=0\iff {\left(x-1\right)}^2=\mathrm{‐}1$; deze vergelijking heeft geen oplossingen.

De vergelijkingen kwamen voort uit praktische problemen.

Anders heb je hooguit een kwadratische vergelijking.

Linker en rechter lid van de vergelijking delen door $a$.

${\left(y+4\right)}^3-12\left(y+4\right)-4\left(y+4\right)+48=0\iff$
$y^3+12y^2+48y+64-12y^2-96y-192-4y-16+48=0\iff$
$y^3-52y-96=0$.

Vul maar in.

$x=y+4$, dus $x=2$, $x=\mathrm{‐}2$ en $x=12$.

$y-1$, je krijgt dan
${\left(y-1\right)}^3+3{\left(y-1\right)}^2+3\left(y-1\right)+9=0\iff$
$y^3-3y^2+3y-1+3y^2-6y+3+3y-3+9=0\iff$ $y^3+8=0$.
Dus $u=0$ en $v=8$.

De vergelijking $y^3+8=0$ heeft één oplossing, namelijk $y=\mathrm{‐}2$, dus de vergelijking $x^3+3x^2+3x+9=0$ heeft één oplossing $x=y-1=\mathrm{‐}3$.

$\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{27}{p}^3$ is negatief.

De grafiek moet de $x$-as dan minstens één keer snijden, want de grafiek loopt van linksonder naar rechtsboven.

$\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=\mathrm{‐}\infty$ en $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }g\left(x\right)=\infty$, dus de grafiek van $g$ loopt van linksboven naar rechtsonder, snijdt de $x$-as dus minstens één keer.

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12$, dus $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\pm 2$.
$f^{\prime }\left(x\right)$ wisselt twee keer van teken, dus $f\left(x\right)$ heeft twee extremen, een maximum $f\left(\mathrm{‐}2\right)=\mathrm{‐}4$ en een minimum $f\left(2\right)=\mathrm{‐}36$.

Verder $\underset{x\to \mathrm{‐}\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{‐}\infty$ en $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty$, dus de grafiek van $f$ gaat één keer door de $x$-as.
Omdat het maximum en het minimum onder de $x$-as liggen, snijdt de grafiek van $f$ de $x$-as maar één keer.

Klopt

${\left(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{4}\right)}^3=16+3{\left(\sqrt[3]{16}\right)}^2\cdot \sqrt[3]{4}+3\cdot \sqrt[3]{16}\cdot {\left(\sqrt[3]{4}\right)}^2+4=$
$16+3\cdot \sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{16}+3\cdot \sqrt[3]{64}\cdot \sqrt[3]{4}+4=12\cdot \left(\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{4}\right)+20$.

Bekijk de functie $f_a:x\to x^3-12x-a$, dan ${f_a}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12$
en ${f_a}^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2\text{ of }x=\mathrm{‐}2$.
Twee oplossingen als de grafiek de $x$-as raakt, dus als $f_a\left(2\right)=0\iff a=\mathrm{‐}16$ of $f_a\left(\mathrm{‐}2\right)=0\iff a=16$.
Drie oplossingen als het maximum boven de $x$-as ligt en het minimum eronder $\iff f_a\left(\mathrm{‐}2\right)>0\text{ en }{f}_a\left(2\right)<0$ $\iff 16<a<16$.

$\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{27}{p}^3=169$, dus volgens de formule van Cardano: $x=\sqrt[3]{14+13}+\sqrt[3]{14-13}=4$ is een oplossing.

Definieer $f:x\to x^3-9x-28$.
Je kunt de grafiek van $f$ tekenen met de GR en je ziet dat die de $x$-as één keer snijdt.
Het kan ook anders.
Je kunt ook de extremen berekenen met behulp van de afgeleide. Het blijkt dan dat het maximum en het minimum onder de $x$-as liggen, dus de grafiek snijdt de $x$-as maar één keer.
Het kan nog anders.
Uit hoofdstuk 3 van klas 4vb weet je dat $x^3-9x-28$ deelbaar is door $x-4$. Je vindt: $x^3-9x-28=\left(x-4\right)\left(x^2+4x+7\right)$; de vergelijking $x^2+4x+7=0$ heeft geen oplossingen.

${\left(1-\sqrt{\mathrm{‐}1}\right)}^2-2\left(1-\sqrt{\mathrm{‐}1}\right)+2=$ $1-2\sqrt{\mathrm{‐}1}+\mathrm{‐}1-2+2\sqrt{\mathrm{‐}1}+2=0$

$\sqrt[3]{\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}}\cdot \sqrt[3]{\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}}=\sqrt[3]{1-{\sqrt{\mathrm{‐}7}}^2}=\sqrt[3]{1-\mathrm{‐}7}=2$

$x=\sqrt[3]{\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}}+\sqrt[3]{\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}}$

${\left(\sqrt[3]{\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}}+\sqrt[3]{\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}}\right)}^3=$
$\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}+3\cdot 2\cdot \sqrt[3]{\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}}+3\cdot 2\cdot \sqrt[3]{\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}}+\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}=$
$6\left(\sqrt[3]{\mathrm{‐}1+\sqrt{\mathrm{‐}7}}+\sqrt[3]{\mathrm{‐}1-\sqrt{\mathrm{‐}7}}\right)-2$

-

$2i$ en $\mathrm{‐}2i$

$z$

${\left(z-1\right)}^2=\mathrm{‐}1\iff z^2-2z+1=\mathrm{‐}1\iff z^2-2z+2=0$

$z\mathrm{‐}1=\pm i$, dus $z=1\pm i$.

Van links naar rechts

1. ${\left(z-3\right)}^2=\mathrm{‐}25\iff$ $z-3=\pm 5i\iff$ $z=3\pm 5i$

2. $z^2-10z+29=0\iff$ ${\left(z-5\right)}^2=\mathrm{‐}4\iff$ $z-5=\pm 2i\iff$ $z=5\pm 2i$

3. $z^2-10z+27=0\iff {\left(z-5\right)}^2=\mathrm{‐}2\iff$ $z-5=\pm i\sqrt{2}\iff$ $z=5\pm i\sqrt{2}$

4. $z^2-2iz+3=0\iff {\left(z-i\right)}^2=\mathrm{‐}4\iff z-i=\pm 2i$, dus $z=3i$ of $z=\mathrm{‐}i$.

${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^3=1+3i\sqrt{3}+3{\left(i\sqrt{3}\right)}^2+{\left(i\sqrt{3}\right)}^3=$ $1+3i\sqrt{3}-9-3i\sqrt{3}=\mathrm{‐}8$;
${\left(1-i\sqrt{3}\right)}^3=1-3i\sqrt{3}+3{\left(i\sqrt{3}\right)}^2-{\left(i\sqrt{3}\right)}^3=1-3i\sqrt{3}-9+3i\sqrt{3}=\mathrm{‐}8$

${\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)}^3={\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(1+\sqrt{3}\right)}^3=\mathrm{‐}\frac{1}{8}\cdot \mathrm{‐}8=1$;
${\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)}^3={\left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(1\sqrt{3}\right)}^3=\mathrm{‐}\frac{1}{8}\cdot \mathrm{‐}8=1$

$z^3=1$

$z=2$, $z=2\cdot \left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)=\mathrm{‐}1-i\sqrt{3}$ en $z=2\cdot \left(\mathrm{‐}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)=\mathrm{‐}1+i\sqrt{3}$

$\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{27}{p}^3=\mathrm{‐}4$, dus $\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{27}{p}^3}=\pm 2i$ (welke van de twee we nemen, doet er niet toe).

${\left(\mathrm{‐}1+i\right)}^3=\mathrm{‐}1+3i+\mathrm{‐}3i^2+i^3=\mathrm{‐}1+3i+3-i=2+2i$; ${\left(\mathrm{‐}1-i\right)}^3=\mathrm{‐}1-3i-3i^2-i^3=\mathrm{‐}1-3i+3+i=2-2i$