Hoofdstukken > Inleiding complexe getallen

Complex worteltrekken

Complex worteltrekken 1
Veronderstel: $b = r (\cos (ϕ) + i \sin (ϕ))$ , met $‐ π < ϕ \leq π$ en $r > 0$ .
We bekijken hierbij het getal $c = \sqrt{r} \cdot (\cos (\frac{1}{2} ϕ) + i \sin (\frac{1}{2} ϕ))$ .

Wat is her verband tussen $c^{2}$ en $b$ ? Licht je antwoord toe.

Kun je nog een getal bedenken met hetzelfde verband?

Opmerking:

Elke kwadratische vergelijking in $z$ (die niet van de vorm ${(z - a)}^{2} = 0$ is) heeft twee oplossingen in $ℂ$ .
Je kunt zo’n vergelijking (kwadraatafsplitsen) namelijk schrijven als: ${(z - a)}^{2} = b$ , voor zekere complexe getallen $a$ en $b$ . Er is een complex getal $c$ zó, dat $c^{2} = b$ , zie de voorgaande opgave. Dan geldt: ${(z - a)}^{2} = c^{2} \Leftrightarrow z = a + c$ of $z = a - c$ .

Gauss 1777-1855

Meer algemeen is de volgende stelling te bewijzen.
Voor elke $n$ -de graads veelterm in $z$ zijn er complexe getallen $a \neq 0$ $a$ en $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ te vinden zó, dat die $n$ -de graads veelterm te ontbinden is in: $a (z - a_{1}) (z - a_{2}) \dots (z - a_{n})$ .
Deze stelling staat bekend als de hoofdstelling van de algebra. Een bewijs hiervan werd gegeven door Gauss. Om een kwadratische vergelijking op te kunnen lossen, moet je complex wortel kunnen trekken.
Hoe je dat theoretisch doet, staat in opgave 37.

Veronderstel: $b = 2 + 2 i \sqrt{3}$ .

Zoek twee getallen $c$ met $c^{2} = b$ . Schrijf ze in de vorm: $c = \dots + \dots \cdot i$ .

Doe hetzelfde als $b = ‐ 1 + i \sqrt{3}$ .

Ook als $b = ‐ i$ .

In opgave 38 ging het complex worteltrekken tamelijk eenvoudig omdat $\frac{1}{2} \cdot \arg (b)$ daar een veelvoud van $\frac{1}{4} π$ of $\frac{1}{6} π$ is, en dan krijg je een mooie sinus en cosinus.

Anders kun je de volgende formules uit de goniometrie gebruiken.

$| \cos (\frac{1}{2} α) | = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos (α)}$ en
$| \sin (\frac{1}{2} α) | = \sqrt{\frac{1}{2} − \frac{1}{2} \cos (α)}$

Laat zien dat die formules volgen uit de verdubbelingsformules uit de goniometrie.

We zoeken twee getallen $c$ met $c^{2} = b$ ? waarbij $b = ‐ 7 - 24 i$ . We stellen $\arg (b) = α$ , waarbij $‐ π < α \leq π$ .

Bereken $\cos (α)$ en $\sin (α)$ exact.

Bereken een mogelijke waarde voor $\cos (\frac{1}{2} α)$ en $\sin (\frac{1}{2} α)$

Voor welke getallen $z$ geldt: $z^{2} = b$ ?

Complexe e-machten

Definitie
Voor een reëel getal $ϕ$ definiëren we $e^{i ϕ} = \cos (ϕ) + i \sin (ϕ)$ en voor een complex getal $z$ : $e^{z} = e^{Re (z)} \cdot e^{i Im (z)}$ .

Opmerking:

Als $k$ geheel is, dan $e^{i (ϕ + k \cdot 2 π)} = e^{i ϕ}$ .
Dit volgt uit de periodiciteit van sin en cos.

Toon aan $e^{i (α + β)} = e^{i α} \cdot e^{i β}$ voor reële getallen $α$ en $β$ .

Toon aan: $e^{z} \cdot e^{w} = e^{z + w}$ voor complexe getallen $z$ en $w$ .

Schrijf $e^{π i}$ in de vorm $\dots + \dots \cdot i$ .

Euler 1707-1783

Formule van Euler
$e^{i \cdot π} = ‐ 1$

Leonhard Euler (Bazel, 15 april 1707 – Sint-Petersburg, 18 september 1783) was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige die het grootste deel van zijn leven doorbracht in Rusland en Duitsland. Hij wordt algemeen beschouwd als de belangrijkste wiskundige van de 18e eeuw en als een van de belangrijkste aller tijden. Bovendien was hij de meest productieve wiskundige ooit: zijn verzameld werk beslaat zo'n zeventig delen.
Euler ontwikkelde veel nieuwe concepten en heeft zeer veel bijgedragen aan de moderne wiskundige notatie: de symbolen $i$ en e voor de imaginaire eenheid en het grondtal van de natuurlijke logaritme zijn door hem geïntroduceerd. De huidige namen van bijvoorbeeld de goniometrische functies: sinus, cosinus en tangens heeft hij ook bedacht.
Uit Wikipedia

Opmerking:

De functie $z \to e^{z}$ speelt een grote rol in de natuurkunde, bijvoorbeeld de electriciteitsleer en quantummechanica.