Complex worteltrekken
1
a

c 2 = b , want | c 2 | = r en arg ( c 2 ) = 2 1 2 ϕ = ϕ .

b

c (of r ( cos ( 1 2 ϕ ) + i sin ( 1 2 ϕ ) ) ).

2
a

arg ( b ) = 1 3 π en | b | = 4 , we nemen dus c zó, dat arg ( c ) = 1 6 π en | c | = 2 , dan c = 2 cos ( 1 6 π ) + 2 i sin ( 1 6 π ) = 3 + i .
Controle: ( 3 + i ) 2 = 3 + 2 i 3 1 = 2 + 2 i 3 .

b

We nemen c zó, dat arg ( c ) = 1 2 arg ( b ) = 1 3 π en | c | = | b | = 2 .
Dan c = 2 cos ( 1 3 π ) + i 2 sin ( 1 3 π ) = 1 2 2 + 1 2 i 6 .
Controle: ( 1 2 2 + 1 2 i 6 ) 2 = 1 2 + 1 2 i 12 6 4 = 1 + i 3 .

c

We nemen c zó, dat arg ( c ) = 1 2 arg ( b ) = 1 4 π en | c | = | b | = 1 .
Dan c = cos ( 1 4 π ) + i sin ( 1 4 π ) = 1 2 2 1 2 i 2 .
Controle: ( 1 2 2 1 2 i 2 ) 2 = 1 2 1 2 i 4 1 2 = i .

3

Een verdubbelingsformule is: cos ( 2 β ) = 2 cos 2 ( β ) 1 .
Als je voor β = 1 2 α invult krijg je: cos ( α ) = 2 cos 2 ( 1 2 α ) 1 . Hieruit volgt de eerste formule.
Een andere verdubbelingsformule is: cos ( 2 β ) = 1 2 sin 2 ( β ) . Hieruit vind je de tweede formule door weer β = 1 2 α in te vullen.

4
a

| b | = 25 , dus cos ( α ) = 7 25 en sin ( α ) = 24 25 .

b

| cos ( 1 2 α ) | = 1 2 + 1 2 cos ( α ) = 3 5 en | sin ( 1 2 α ) | = 1 2 1 2 cos ( α ) = 4 5 . Omdat π < arg ( b ) < 1 2 π is bijvoorbeeld sin ( 1 2 α ) = 4 5 en cos ( 1 2 α ) = 3 5 .

c

c = | b | = 5 , dus een oplossing c = 5 cos ( 1 2 α ) + 5 i sin ( 1 2 α ) = 3 + 4 i .
De andere oplossing is 3 4 i .
Controle: ( 3 4 i ) 2 = 9 24 i 16 = b .

Complexe e-machten
5
a

e i α e i β = ( cos ( α ) + i sin ( α ) ) ( cos ( β ) + i sin ( β ) ) = ( cos ( α ) cos ( β ) sin ( α ) sin ( β ) ) + i ( sin ( α ) cos ( β ) + cos ( α ) sin ( β ) ) = e i ( α + β ) .

b

e z + w = e Re ( z + w ) e i arg ( z + w ) = e Re ( z ) e Re ( w ) e i arg ( z ) e i arg ( w ) = e z e w .
Dat e Re ( z + w ) = e Re ( z ) e Re ( w ) volgt uit de eigenschappen van machten in ne dat e i arg ( z + w ) = e i arg ( z ) e i arg ( w ) volgt uit onderdeel a.

c

e i π = ( cos ( π ) + i sin ( π ) ) = 1