1

a

$w - z$ , $‐ w$

b

c

$\frac{1}{2} (z + w)$

d

Ze vormen de lijn door $0$ en $w$ .

e

$p = z + \frac{2}{3} (w - z) = \frac{1}{3} z + \frac{2}{3} w = \frac{1}{3} (z + 2 w)$

f

Ze vormen de lijn door $w$ en $z$ .

g

Die getallen vormen het lijnstuk met eindpunten $z$ en $w$ .

h

Het punt bij $\frac{3}{5} a$ noemen we $D$ . Dan zijn de driehoeken $A D C$ en $A O B$ gelijkvormig, dus
$A C : C B = A D : D O = 2 : 3$ .

2

a

$m = \frac{1}{2} (a + b)$

b

Dit volgt uit bovenstaande stelling met $z = \frac{1}{2} (a + b)$ , $w = c$ , $s = \frac{2}{3}$ en $t = \frac{1}{3}$ .

c

$v = \frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b + \frac{1}{3} c$

d

Omdat $v = \frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b + \frac{1}{3} c$ symmetrisch in $a$ , $b$ en $c$ is.

e

Uit onderdeel b van deze opgave en onderdeel h van opgave 42 volgt:
$C V : V M = 2 : 1$ .

3

a

$P$ en $Q$ zijn middens van diagonalen; $S$ is het snijpunt van de medianen.

b

Noem de hoekpunten van de vierhoek $A$ , $B$ , $C$ en $D$ en de bijbehorende complexe getallen $a$ , $b$ , $c$ en $d$ .
Bij het midden $M$ van $A B$ hoort het complexe getal $m = \frac{1}{2} (a + b)$ .
Bij het midden $N$ van $C D$ hoort het complexe getal $n = \frac{1}{2} (c + d)$ .
Het midden van $M$ en $N$ ligt op mediaan $M N$ . Het complexe getal dat hierbij hoort is: $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (a + b) + \frac{1}{2} (c + d)) = \frac{1}{4} (a + b + c + d)$ .
Vanwege de symmetrie in deze uitdrukking ligt dit punt ook op de andere mediaan.
Het getal dat bij het midden $P$ van $A C$ hoort is $\frac{1}{2} (a + c)$ en bij het midden $Q$ van $B D$ : $\frac{1}{2} (b + d)$ .
Het getal bij het midden van $P Q$ is $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (a + c) + \frac{1}{2} (b + d)) = \frac{1}{4} (a + b + c + d)$ . Dit getal hoort bij het snijpunt van de medianen.

4

a

figuur bij opgave 45

b

Een vierkant

c

Een vierkant

5

a

Eindpunt pijl 1: $‐ i a$ ; eindpunt pijl 2: $i b$ .

b

$p = ‐ i a - b$ en $q = i b - a$ ,

c

Klopt

d

$p$ krijg je door $q$ een kwartslag tegen de wijzers van de klok in te draaien. Dus $p$ en $q$ zijn even lang en staan loodrecht op elkaar.

6

a

Zet op de zijden van een parallellogram vierkanten. De middens van die vierkanten zijn hoekpunten van een vierkant.

b

figuur bij opgave 47

$M$ is het midden van een zijde van het parallellogram en $N$ het midden van van een vierkant op de zijden.
Dan $m = b + \frac{1}{2} a$ en $n - m = \frac{1}{2} i a$ , dus $n = b + \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} i a$ .

c

De middens van de vierkanten op de zijden van het parallellogram vanaf $N$ met de klok mee noemen we $P$ , $Q$ en $R$ .
Dan $p = a + \frac{1}{2} (b - i b)$ , $q = \frac{1}{2} (a - i a)$ en $r = \frac{1}{2} (b + i b)$ .

d

Uit onderdeel c volgt:
$n - p = ‐ \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} i a + \frac{1}{2} i b$ ,
$p - q = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} i a - \frac{1}{2} i b$ ,
$q - r = \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} i a - \frac{1}{2} i b$ en
$r - n = ‐ \frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} i a + \frac{1}{2} i b$ .
Dus: $p - q = ‐ i (n - p)$ , , $q - r = ‐ i (p - q)$ , $r - n = ‐ i (q - r)$ .
Hieruit volgt: bij draaiing over een kwartslag in wijzerrichting is
lijnstuk $Q P$ het beeld van lijnstuk $P N$ ,
lijnstuk $R Q$ het beeld van lijnstuk $Q P$ ,
lijnstuk $N R$ het beeld van lijnstuk $R Q$ .
Dus is $N P Q R$ een vierkant.

7

a

$N$ is het midden van zijde $A C$ . Dan $n = a + \frac{1}{2} (c - a)$ en $\vec{N Q} = \frac{1}{2} i (a - c)$ , dus $q = a + \frac{1}{2} (c - a) + \frac{1}{2} i (a - c) = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c + \frac{1}{2} i a - \frac{1}{2} i c$ .
Op soortgelijke wijze vind je:
$p = \frac{1}{2} (a - i a)$ , $s = \frac{1}{2} (b + i b)$ en $r = \frac{1}{2} (b + c) + \frac{1}{2} i (c - b)$ .

b

$r - p = \frac{1}{2} (‐ a + b + c) + \frac{1}{2} i (a - b + c)$ en $s - q = \frac{1}{2} (‐ a + b - c) + \frac{1}{2} i (‐ a + b + c)$

c

Er geldt: $i (r - p) = s - q$ , dus lijnstuk $Q S$ krijg je uit lijnstuk $P R$ door een kwartslag linksom te draaiien.

8

Het hoekpunt tegenover $A$ hoort bij $a + i (a - p)$ ; het hoekpunt tegenover $B$ bij
$b - i (b - p)$ . Dan $m = \frac{1}{2} (a + i (a - p) + b - i (b - p)) = \frac{1}{2} (a + b + i a + i b)$ , onafhankelijk van $p$ .

9

a

-

b

Het punt in het vlak bij $a + b$ noemen we D. Dan is $O A D B$ een ruit omdat $O A = O B$ . Het gevraagde volgt uit het feit dat de diagonalen in een ruit loodrecht op elkaar staan.

c

$\vec{H C}$ representeert $c - h = a + b$ , dus uit onderdeel a volgt dat $C H$ loodrecht op $A B$ staat.

d

Omdat de formule voor $h$ symmetrisch is in $a$ , $b$ en $c$ , is $H$ het hoogtepunt van driehoek $A B C$ .

e

De punten bij $0$ , $h = a + b + c$ en $z = \frac{1}{3} (a + b + c)$ liggen op één lijn en $h = 3 z$ .

10

a

Noem de hoogtepunten van de vier driehoeken achtereenvolgens $H_{1}$ , $H_{2}$ , $H_{3}$ en $H_{4}$ .
In opgave 50 hebben we bewezen:
$h_{1} = a + b + c$ , $h_{2} = a + b + d$ , $h_{3} = a + c + d$ en $h_{4} = b + c + d$ .

b

Uit onderdeel a volgt: $h_{1} - h_{2} = c - d$ , dus $H_{1} H_{2}$ is evenwijdig met en even lang als $C D$ enzovoort.

11

Noem de zwaartepunten van de vier driehoeken achtereenvolgens $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ en $Z_{4}$ .
Dan is $z_{1} = \frac{1}{3} (a + b + c)$ , , $z_{2} = \frac{1}{3} (a + b + d)$ , $z_{3} = \frac{1}{3} (a + c + d)$ en $z_{4} = \frac{1}{3} (b + c + d)$ .
Dan $z_{1} - z_{2} = \frac{1}{3} (c - d)$ , dus $Z_{1} Z_{2}$ is evenwijdig met $C D$ en de lengte van $Z_{1} Z_{2}$ is $\frac{1}{3}$ van de lengte van $C D$ enzovoort.

12

a

$| ε | = 1$ en $\arg (ε) = \frac{1}{3} π$ , dus vermenigvuldigen met $ε$ is linksom draaien over $60 °$ . Bovendien geldt: $| ε^{n} | = 1$ voor elke postitieve gehele waarde van $n$ .

b

Rechtsom draaien over $60 °$ .

c

$ε^{2}$ is het spiegelbeeld van $ε$ in de imaginaire as, dus $ε^{2} = ‐ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{3}$ en dus $ε^{2} = ε + 1$ .

d

$ε^{4} = ‐ ε$ en $ε^{5} = ‐ ε^{2} = ‐ ε - 1$ .

13

a

Zie figuur 1 hieronder.

b

Het is een regelmatige driehoek .

c

$ε a + a$

d

Zie figuur 2. $c = b + ε (b - a) = (1 + ε) b - ε a$ of $c = b - ε (b - a) = (1 - ε) b + ε a$ .

figuur 1

figuur 2

14

We kiezen de oorsprong van het complexe vlak in $T$ . Da: $b = ε a$ en $d = ε c$ , dus $d - c = ε (b - a)$ .

15

We nemen het punt $A$ als oorsprong. Dan:
$p = c + ε (b - c) = c + ε b - ε c$ ,
$q = ε c$ en $r = ε^{2} \cdot b$ .
Verder: $z_{A} = \frac{1}{3} (p + b + c)$ , $z_{B} = \frac{1}{3} (c + q)$ en $z_{C} = \frac{1}{3} (b + r)$ .
We moeten aantonen dat:
$(z_{C} - z_{B}) = z_{A} - z_{C} \Leftrightarrow$ $(ε - ε^{3}) b - (ε + ε^{2}) c = (ε + 1) b + (1 - 2 ε) c \Leftrightarrow$
$(ε^{2} - ε + 1) c = 0$ .
Dit laatste volgt uit opgave 53c.