Optellen en vermenigvuldigen in

We hebben ons getalbegrip steeds uitgebreid.
Dit vonden we nodig om ook oplossingen te hebben voor vergelijkingen als:
x + 10 = 5 , 2 x + 3 = 6 , x 2 = 2 , 2 x = 3 .
Zo krijg je de uitbreiding .
In dit hoofdstuk breiden we onze getalverzamelingen uit tot , de verzameling van de complexe getallen.
Complexe getallen hebben de vorm z = a + b i , met a en b uit .
Een complex getal z = a + b i kunnen we voorstellen als een punt ( a , b ) in een tweedimensinaal assenstelsel.

Als z = a + b i , dan is a het reële deel van z , notatie Re ( z ) en b het imaginaire deel van z , notatie Im ( z ) .
De getallen z met Im ( z ) = 0 vormen de reële as en de getallen z met Re ( z ) = 0 vormen de imaginaire as.
We kunnen de verzameling van de reële getallen opvatten als een deel van de complexe getallen: het zijn namelijk de getallen z met Im ( z ) = 0 . In is een optelling en vermenigvuldiging gedefinieerd als volgt.
Als z = a + b i en w = c + d i , dan:
z + w = a + c + ( b + d ) i en
z w = a c + b d + ( a d b c ) i .

Voor deze optelling en vermenigvuldiging gelden, zoals in de commutatieve, associatieve en distributieve wetten.
Ook is er een neutraal element voor de optelling 0 ( = 0 + 0 i ) en een neutraal element voor de vermenigvuldiging 1 ( = 1 + 0 i ) met de eigenschap:
0 + z = z + 0 = z en
1 z = z 1 = z voor elk getal z uit .
En net zoals in is er voor elk getal z een tegengestelde dat we met z noteren zó, dat z + z = z + z = 0 .
Als z 0 heeft z ook een inverse die we met z 1 noteren met de eigenschap dat z 1 z = z z 1 = 1 .

Het complexe vlak

In het O x y -vlak kunnen we het getal z = a + b i plaatsen in het punt Z = ( a , b ) .
Als het ons uitkomt zien we z ook als een vector ( a b ) .
De optelling gaat vectorieel.

We gebruiken ook vector- en parameter-voorstellingen.
Z W is de vector bij complex getal w z .

Een parametervoorstelling van de lijn door de complexe getallen z en w is u = z + t ( w z ) , waarbij t alle mogelijke waarden uit aanneemt.


Als de vector O Z bij een complex getal z de eenheidscirkel in ( cos ( ϕ ) , sin ( ϕ ) ) snijdt, dan definiëren we het argument van z , notatie arg ( z ) , met arg ( z ) = ϕ .
Hierbij nemen we π < ϕ π .
Met de absolute waarde van z , notatie | z | , bedoelen we de afstand van z tot 0 .
Als | z | = 1 , noemen we z unitair.

Als | z | = r en arg ( z ) = ϕ , dan z = r cos ( ϕ ) + r i sin ( ϕ ) .
Het getal cos ( ϕ ) + i sin ( ϕ ) schrijven we ook wel als e i ϕ .
Elk unitair getal kan zo geschreven worden.

Voor twee complexe getallen z en w geldt:

  1. | z w | = | z | | w |

  2. arg ( z w ) = arg ( z ) + arg ( w ) (op een veelvoud van 2 π na).

Hieruit volgt dat vermenigvuldigen met e i ϕ linksom draaien om 0 is over een hoek van ϕ radialen.

De oplossingen van de vergelijking z n = 1 , met n = 3, 4, 5, vormen een regelmatige n -hoek op de eenheidscirkel in het complexe vlak.
Ze zijn van de vorm e i k ϕ = cos ( k n 2 π ) + i sin ( k n 2 π ) met k = 0, 1, 2, , n 1 .

De formule van de Moivre

( cos ( ϕ ) + i sin ( ϕ ) ) n = cos ( n ϕ ) + i sin ( n ϕ )

De complex geconjugeerde van een getal z = a + b i , notatie z ¯ , is z ¯ = a b i .
De getallen z en z ¯ zijn elkaars spiegelbeeld in de reële as.
Voor alle complexe getallen z en w geldt:

  1. z + w ¯ = z ¯ + w ¯

  2. z w ¯ = z ¯ w ¯

  3. z z ¯ = | z | 2

  4. z ¯ ¯ = z

  5. Als z ¯ = z , dan is z reëel.


Uit 3. volgt:
z 1 = z ¯ | z | 2
Als z = a + b i , dan z 1 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i .