5.7 Extra opgaven

Hoofdstukken > Inleiding complexe getallen

Los de volgende vergelijkingen in $z$ exact op.

$(i + 1) z + 2 = i$	$(1 - 3 i) z + 10 i = 20$
$z^{2} + 4 z + 13 = 0$	$z^{2} - 2 i z + 15 = 0$

Gegeven een complex getal $z$ .

Wat is het verband tussen $\arg (z)$ en $\arg (\bar{z})$ ?

We bekijken de vergelijking $z^{5} = 1$ . De oplossing van deze vergelijking met het kleinste positieve argument noemen we $γ$ .

Druk $\bar{γ}$ en ${\bar{γ}}^{2}$ uit in machten van $γ$ .

We schrijven $δ = i \cdot γ^{4}$

Toon 'meetkundig' en 'algebraïsch' aan dat $δ$ oplossing is van de vergelijking $z^{20} = 1$ .

Druk de oplossingen van $z^{10} = 1$ in machten van $δ$ uit.

Gegeven zijn de getallen $z$ en $w$ met:
$\arg (z) = \frac{1}{3} π$ , $\arg (w) = \frac{1}{12} π$ , $| z | = 3$ en $| w | = \sqrt{2}$ .

Schrijf $z \cdot \bar{w}$ in de vorm $a + b \cdot i$ met $a$ en $b$ exact.

Bereken exact: $| z - w |$ .

Schrijf ${\bar{w}}^{3}$ in de vorm $a + b \cdot i$ met $a$ en $b$ exact.

Er geldt: ${(3 + 2 i)}^{4} = ‐ 119 + 120 i$ .

Reken dat na.

Geef alle oplossingen van de vergelijking $z^{4} = ‐ 119 + 120 i$ exact in de vorm $\dots + \dots i$ .

Bereken exact ${(1 + i)}^{10}$ .

(hint)

Werk via

| {(1 + i)}^{10} |

\arg ({(1 + i)}^{10})

Gegeven is de vergelijking $z^{3} - 2 z + 4 = 0$ .

Laat zien: als het complexe getal $w$ aan de vergelijking voldoet dus $w^{3} - 2 w + 4 = 0$ , dan voldoet ook $\bar{w}$ , dus dan ook ${\bar{w}}^{3} - 2 \bar{w} + 4 = 0$ .

(hint)

Gebruik de regels 1 en 2 vóór opgave 32.

Je kunt narekenen dat $1 + i$ oplossing van de vergelijking is, dus ook $1 - i$ .
Volgens de hoofdstelling van de algebra geldt dan:
$z^{3} - 2 z + 4 = (z - 1 + i) (z - 1 - i) (z + a)$ .

Bereken $a$ exact.

Wat zijn de oplossingen van de vergelijking $z^{3} - 2 z + 4 = 0$ ?

De volgende opgave komt ook voor in 4vb hoofdstuk 5.
Nu moet je de oplossing zoeken met behulp van complexe getallen.

$O A B C$ is een vierhoek, de middens van de zijden zijn $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ .

Toon met een berekening met complexe getallen aan dat vierhoek $P Q R S$ een parallellogram is.

Schatgraven op Teleurstellingseiland
Op een onooglijk stukje vergeeld papier dat Anne in een oude kist vindt, staat het volgende.

Ze trekt zich niets aan van de gruwelverhalen op Wikipedia. Het eiland ligt op $50 °$ $36'$ $ZB$ , $165 °$ $58'$ $OL$ .: Disappointment Island; een van de onbewoonde Auckland Islands ten zuiden van Nieuw Zeeland. Onbewoond? Op $65.000$ visverwerkende witkopalbatrossen na!
Anne heeft vast een plan gemaakt, voor als ze de stenen en de stronk eenmaal heeft gevonden.

Op Teleurstellingseiland aangekomen, vindt ze wel de twee stenen, maar de stronk van de oude eik is vergaan.

Neem een stuk papier en teken daarop twee punten. Daar liggen de stenen. Kies nu een willekeurig derde punt voor de positie van de stronk en voer de zoekactie uit met je geodriehoek.
Kies nog een ander punt voor de stronk en voer de zoekactie nog eens uit.

Je kunt de zoekactie ook bekijken met de GeoGebra applet "Schatzoeken".
Het lijkt wel of de plaats van de schat niet van de plaats van de stronk afhangt!

Dat dit inderdaad zo is, kun je als volgt inzien. Neem een assenstelsel zo dat de stenen in de punten $Z$ en $W$ liggen.

Druk de getallen $q$ en $r$ (zie plaatje) in $z$ , $w$ en $p$ uit.

Laat zien dat het midden van $P R$ niet afhangt van de keuze van $P$ .

Lijnspiegelen in het complexe vlak

De punten $A$ , $Z$ en $W$ zijn roosterpunten. $a = 1 + 2 i$ en het spiegelbeeld van $Z$ in de reële as is $W$ .
$k$ is de lijn door de punten $O$ en $A$ .
Vermenigvuldigen met $a$ is linksom draaien over hoek $ϕ$ $= \arg (a)$ om $0$ gevolgd door een puntvermenigvuldiging ten opzichte van $0$ .

Met welke factor?

Teken de beelden $a z$ en $a w$ van $z$ en $w$ 'meetkundig', dus met behulp van het voorgaande.

Ga na of je het beeld van $z$ goed getekend hebt door $a z$ te berekenen.

$a z$ en $a w$ zijn elkaar spiegelbeeld in $k$ .

Bereken (schrijf in de vorm $\dots + \dots i$ ) het spiegelbeeld van $p = 5 - 7 i$ in $k$ .

(hint)

Zoek eerst het getal

s

met

a s = p

Wat we in Extra opgave 8 gedaan hebben geldt ook voor andere complexe getallen $a$ .

Gegeven zijn de complexe getallen $a \neq 0$ en $z$ , dan is $a \bar{z}$ het spiegelbeeld van $a z$ in de lijn $O A$ .

Neem aan dat $a$ unitair is, dan $a^{‐ 1} = \bar{a}$ .
Het spiegelbeeld van een complex getal $p$ vind je als volgt.
Zoek het getal $s$ met $a s = p$ , dan is het spiegelbeeld van $p$ : $a \bar{s} = a \bar{a^{‐ 1} \cdot p} =$ $a^{2} \cdot \bar{p}$ .

Gegeven de complexe getallen $a \neq 0$ en $p$ .
Dan is het spiegelbeeld van $p$ in lijn $O A$ : $a^{2} \cdot \bar{p}$ .

Ga na dat bovenstaande juist is voor de spiegeling in de imaginaire as.

Ga na dat bovenstaande juist is voor de spiegeling in de lijn $Re (z) = Im (z)$ (de lijn $y = x$ ).

Bij spiegelen in de lijn $Im (z) = ‐ \sqrt{3} \cdot Re (z)$ is het beeld van $z$ gelijk aan $e^{- \frac{2}{3} π i} \bar{z}$ .

Toon dat aan.

Bij een lijnspiegeling in een lijn door $0$ is $3 \sqrt{2}$ het spiegelbeeld van $3 + 3 i$ .

Druk het beeld van $a + b i$ uit in $a$ en $b$ en ga na dat je formule $3 \sqrt{2}$ als beeld van $3 + 3 i$ oplevert.