1

evenwijdig, kruisen, snijden, kruisen

2

a

$A C$ en $A H$

b

We nemen de ribben van de kubus $2$ . De figuren staan hieronder.
Het eerste geval, zie de figuur links. Verschuif bijvoorbeeld $A C$ naar $E G$ . De gevraagde hoek is hoek $E G M$ . De zijden van driehoek $E G M$ zijn: $2 \sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ en $\sqrt{5}$ . Hoek $E G M$ is $\cos^{‐ 1} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}) = 51 °$ .
Het tweede geval, zie de figuur midden. Verschuif bijvoorbeeld $A B$ naar $R M$ . De gevraagde hoek is hoek $R M H$ . Driehoek $R M H$ is rechthoekig in $R$ . De rechthoekzijden zijn $2$ en $\sqrt{5}$ . Hoek $R M H$ is $\tan^{‐ 1} (\frac{\sqrt{5}}{2}) = 48 °$ .
Het derde geval, zie de figuur rechts. Verschuif bijvoorbeeld $D E$ naar $F C$ . De gevraagde hoek is hoek $A F C$ . Driehoek $A F C$ is regelmatig, dus de gevraagde hoek is exact $60 °$ .

3

a

$5 \sqrt{2}$

b

$\sqrt{p^{2} + q^{2} + r^{2}}$

c

$\vec{B H} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 4 \\ 5 \end{matrix})$ , lengte $5 \sqrt{2}$ .

4

a

$\vec{P Q} = (\begin{matrix} ‐ 2 \\ 1 \\ ‐ 6 \end{matrix})$ en $| \vec{P Q} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 6^{2}} = \sqrt{41}$ .

b

$\vec{A B} = (\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{matrix})$ en $| \vec{A B} | = \sqrt{{(b_{1} - a_{1})}^{2} + {(b_{2} - a_{2})}^{2} + {(b_{3} - a_{3})}^{2}}$ .

5

Breng een assenstelsel aan zoals gebruikelijk met de oorsprong in $D$ .
Een richingsvector van $A C$ is: $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ en van $G M$ : $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . De hoek tussen deze vectoren noemen we $α$ , dan: $\cos (α) = \frac{‐ 2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} \approx ‐ 0,63 \dots$ , dus de hoek tussen de lijnen $A C$ en $G M$ is $\cos^{‐ 1} (0,63 \dots) = 51 °$ .
Een richingsvector van $A B$ is: $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ en van $H M$ : $(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ . De hoek tussen deze vectoren noemen we $β$ , dan: $\cos (β) = \frac{2}{1 \cdot 3} \approx 0,66 \dots$ , dus de hoek tussen de lijnen $A B$ en $H M$ is $\cos^{‐ 1} (0,66 \dots) = 48 °$ .
Een richingsvector van $A F$ is: $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en van $D E$ : $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ . De hoek tussen deze vectoren noemen we $γ$ , dan: $\cos (γ) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$ , dus de hoek tussen lijnen $A F$ en $D E$ is exact $60 °$ .

6

a

$\vec{A C} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 3 \\ 0 \end{matrix})$ en $\vec{O F} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})$ en $\vec{A C} \cdot \vec{O F} = 0$ .

b

$\vec{O P} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ z \end{matrix})$ en $\vec{E C} = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 3 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ ; $\vec{O P} \cdot \vec{E C} = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot ‐ 3 + 3 \cdot 3 + z \cdot ‐ 3 = 0$ , dus $z = 0$ .

c

Dan $(\begin{matrix} ‐ 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 3 \\ z - 3 \end{matrix}) = 0$ , dus $z = 3$ .

d

$(\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \\ 0 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 0 \\ ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ .

7

a

We nemen de punten $P$ op lijn $A D$ en $Q$ op lijn $B E$ die op dezelfde 'hoogte' liggen als $C$ . Dus $P$ is $(6,0,8)$ en $Q$ is $(0,6,8)$ .
De inhoud van het prisma met grondvlak $O A B$ en hoogte $8$ is $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8 = 144$ . Daar moet de inhoud van piramide met grondvlak $D E Q P$ en top $C$ vanaf.
De oppervlakte van het trapezium $D E Q P$ is $3 \cdot 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}$ en de afstand van $C$ tot het trapzium is $3 \sqrt{2}$ , dus de inhoud van de piramide is: $\frac{1}{3} \cdot 3 \sqrt{2} \cdot 18 \sqrt{2} = 36$ .
De gevraagde inhoud is dus $108$ .

b

Een pv van lijn $D E$ is: $(x, y, z) = (6 - 3 t,3 t,4 + t)$ . Dus $X = (6 - 3 t,3 t,4 + t)$ voor zekere waarde van $t$ .
$\vec{D E} \cdot \vec{C X} = 0 \Leftrightarrow (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 - 3 t \\ 3 t \\ ‐ 4 + t \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{22}{19}$ , dus $X = (\frac{48}{19}, \frac{66}{19}, \frac{98}{19})$ .