6.3 Parametervoorstelling en vergelijking van een vlak >

Parametervoorstelling van een vlak

Gegeven is een lijn $k$ en een richtingsvector $\vec{q}$ van $k$ . Vanuit een punt $P$ van $k$ kun je elk ander punt van $k$ bereiken door $P$ over een veelvoud van $\vec{q}$ te verschuiven.
Dan is $\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{q}$ , waarbij je voor $t$ alle mogelijke getallen neemt, een vectorvoorstelling van $k$ . Door de oorsprong $O$ over deze verzameling vectoren te verschuiven, krijg je de hele lijn $k$ . Bij elk punt van $k$ hoort precies één waarde van $t$ . Zie De kracht van vectoren .

Om vanuit een punt van een vlak elk ander punt van dat vlak door schuiven te bereiken, heb je twee richtingsvectoren, onafhankelijk van elkaar, nodig.

In de figuur is op de bekende manier een kubus in een assenstelsel getekend. Neem aan dat de ribben van de kubus $2$ zijn. $V$ is het vlak door de punten $O$ , $C$ en $E$ .
Twee richtingsvectoren van $V$ (onafhankelijk van elkaar) zijn: $\vec{r} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{s} =$ $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .
Elk punt van $V$ kun je bereiken door $O$ te verschuiven over $p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ voor zekere getallen $p$ en $q$ .

Welke getallen moet je voor $p$ en $q$ nemen om in het midden van de kubus uit te komen?
En in het midden van het 'rechter' zijvlak?

Welke getallen moet je voor $p$ en $q$ nemen om in het midden van ribbe $E F$ uit te komen?

Het punt $(7, ‐ 10,7)$ ligt ook in $V$ .

Wat moet je voor $p$ en $q$ nemen om daar te komen?

We noemen $\vec{x} = p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ , waarbij $p$ en $q$ alle mogelijke waarden aannemen, een vectorvoor (vv) van $V$ (gegevens uit opgave 17).
De bij deze vectorvoorstelling horende parametervoorstelling (pv) van $V$ is: $(x, y, z) = (p, q, p)$ , ga dat na.

We gaan verder met opgave 17 en verschuiven $V$ over $\vec{k}$ , zie figuur. Je krijgt vlak $W$ . Lijn $A B$ ligt in vlak $W$ .
Een vv van $W$ is: $\vec{x} = \vec{k} + p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ .

Schrijf de bijbehorende pv van $W$ op.

$m$ is de lijn met pv $(x, y, z) = (t,2 - 2 t,2 t)$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $m$ met de ribben van de kubus.

$m$ snijdt $W$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt met behulp van de pv's van $W$ en $m$ .

We gaan verder met opgave 17.
$U$ is het vlak met vv $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + p \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .

Geef de bijbehorende pv van $U$ .

Welke hoekpunten van de kubus liggen in $U$ ?

Het snijpunt van lijn $O F$ met $U$ noemen we $S$ .

Teken $S$ op het werkblad.

Bereken de coördinaten van $S$ .

Vergelijkingen van vlakken

Vouw een vel papier dubbel. Open de vouw gedeeltelijk. Het vel papier kan nu op tafel gezet worden zonder dat het omvalt. De vouw staat loodrecht op het tafelblad. "De vouw staat in het lood."
Als een metselaar een muur gaat metselen, zet hij eerst wat palen recht omhoog: hij stelt profielen. Zo'n profiel staat pas recht als het vanuit twee onafhankelijke richtingen gezien recht staat. Dan staat het vanuit elke richting gezien recht.

Een lijn $n$ staat loodrecht op een vlak $V$ (maakt met elke lijn in $V$ een hoek van $90 °$ ) als hij loodrecht op twee niet-parallelle lijnen van $V$ staat.
$n$ heet een normaal van $V$ en een richtingsvector $\vec{n}$ van $n$ heet normaalvector van $V$ .

In Rekenen aan lijnen hebben we de volgende stelling afgeleid. Deze stelling geldt ook in de ruimte; het bewijs gaat op dezelfde manier.

Stelling
Lijnstuk $A B$ wordt loodrecht op een lijn $k$ geprojecteerd.
Dan is de lengte van de projectie $\frac{| \vec{A B} \cdot \vec{v} |}{| \vec{v} |}$ .

Je kunt de stelling ook in woorden formuleren.
De lengte van de projectie krijg je als volgt. Neem een richtingsvector van $k$ , bereken het inproduct hiervan met de vector $\vec{A B}$ . Neem van het resultaat de absolute waarde en deel door de lengte van de richtingsvector van $k$ die je gekozen hebt.

Gegeven is een lijn $n$ door de oorsprong $O$ ; $\vec{n}$ is een richtingsvector van $n$ met lengte $4$ . De punten $A$ en $B$ hebben dezelfde (loodrechte) projectie $P$ op $n$ . De lengte van $O P$ is $6$ .
De projectie van $C$ op $n$ is $Q$ en de lengte van $O Q$ is $2$ . De hoeken die $\vec{a}$ en $\vec{b}$ met $\vec{n}$ maken zijn scherp; de hoek die $\vec{c}$ met $\vec{n}$ maakt is stomp.

Bereken $\vec{n} \cdot \vec{a}$ , $\vec{n} \cdot \vec{b}$ en $\vec{n} \cdot \vec{c}$ exact.

Punten $X$ waarvoor $\vec{x}$ hetzelfde inproduct met $\vec{n}$ heeft als $\vec{a}$ , hebben dezelfde projectie $P$ op lijn $n$ .

Beschrijf de ligging van die punten $X$ .

Stelling
Gegeven is een lijn $n$ met richtingsvector $\vec{n}$ en een punt $A$ .
De punten $X$ waarvoor geldt dat $\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a}$ vormen een vlak $V$ door $A$ loodrecht op lijn $n$ . Dus $n$ is een normaal en $\vec{n}$ een normaalvector van $V$ .

$A B C O . E F G H$ is een kubus met ribben $2$ met $A (2,0,0)$ , $C (0,2,0)$ en $H (0,0,2)$ . $N$ is het midden van het bovenvlak van de kubus.
We bekijken de punten $X (x, y, z)$ met $\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{a}$ . Zij vormen een vlak $V$ .

Laat zien: $X$ ligt in $V$ $\Leftrightarrow x + y + 2 z = 2$ .

Zoek punten $(x, y, z)$ op de ribben van de kubus die aan de vergelijking $x + y + 2 z = 2$ voldoen en teken de doorsnede van $V$ met de kubus.

Bekijk de vergelijking $y + 2 z = 2$ .
Een punt dat aan de vergelijking voldoet is $B$ . Je kunt de vergelijking schrijven als $\vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n} \cdot \vec{b}$ voor zekere vector $\vec{n}$ .

Welke vector $\vec{n}$ ?

Dus de punten die aan de vergelijking $y + 2 z = 2$ voldoen vormen een vlak $W$ door $B$ loodrecht op de vector $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Teken de doorsnede van $W$ met de kubus. Bereken bijvoorbeeld de punten van $W$ die op de ribben van de kubus liggen.

Hoe zie je aan de vergelijking $y + 2 z = 2$ dat het bijbehorende vlak evenwijdig is aan de $x$ -as?

Geef een pv $(x, y, z) = (\dots, \dots, \dots)$ van de snijlijn van de vlakken $V$ en $W$ en ga na dat de punten $(x, y, z) = (\dots, \dots, \dots)$ aan de gegeven vergelijkingen van $V$ en $W$ voldoen.

De punten $(x, y, z)$ met $a x + b y + c z = d$ , waarbij $\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ niet de nulvector is, vormen een vlak met normaalvector $\vec{n}$ .
Als $a = 0$ (of $b = 0$ of $c = 0$ ), dan is het vlak evenwijdig met de $x$ -as (of de $y$ -as of de $z$ -as).

Opmerking:

In opgave 21 heb je punten op de ribben van een kubus moeten aangeven die aan een bepaalde vergelijking voldoen. Buiten de kubus liggen natuurlijk ook nog punten die aan die vergelijking voldoen.
De ligging van een vlak in een assenstelsel kan vaak goed geïllustreed worden door de snijpunten met coördinaat- assen te bepalen en deze te verbinden.
Dat bekijken we in het volgende.

Een vlak en zijn snijpunten met de coördinaat-assen

$A B C O . E F G H$ in de figuur is een kubus met ribben $4$ en $V$ is het vlak met vergelijking $x + y + z = 6$ .

Bepaal de coördinaten van de snijpunten van $V$ met de coördinaat-assen en teken die punten op het werkblad.
Verbind de drie snijpunten met elkaar.

Bepaal coördinaten van de snijpunten van $V$ met de ribben van de kubus.

Volgens de stelling hierboven is $(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ normaalvector van $V$ , dus ook $\vec{O F}$ . We willen dat ook 'meetkundig' inzien. Daarvoor moeten we laten zien dat lijn $O F$ loodrecht op twee niet-evenwijdige lijnen van $V$ staat.

Geef een meetkundig argument waarom de lijnen $O F$ en $B G$ loodrecht op elkaar staan.

Omdat lijn $B G$ loodrecht op vlak $O C F E$ staat, staat lijn $O F$ ook loodrecht op lijn $B G$ .

Het midden van van diagonaal $E G$ noemen we $N$ .
Omdat lijn $O F$ loodrecht op $V$ staat, moet lijn $O F$ ook loodrecht op lijn $B N$ staan.

Kun jij dat meetkundig inzien in rechthoek $O B F H$ ?

We gaan verder met de kubus van de vorige opgave. $U$ is het vlak met vergelijking $x + y + 2 z = 6$ .

Bepaal de coördinaten van de snijpunten van $U$ met de coördinaat-assen en teken die punten op het werkblad.
Verbind de drie snijpunten met elkaar.

Bepaal de snijpunten van $U$ met de ribben van de kubus.

Geef een normaalvector van $U$ .

$M$ is het midden van ribbe $B F$ en $N$ het midden van $E G$ zoals in de vorige opgave. Dan is $\vec{O N}$ ook een normaalvector van $U$ , het is namelijk een veelvoud van de vector die je in c gegeven hebt. We willen weer meetkundig zien dat $O N$ loodrecht op $U$ staat.

Waarom staat $O N$ loodrecht op $E G$ ?

Hoe zie je in rechthoek $O B F H$ dat $O N$ loodrecht op $M N$ staat?

Opmerking:

Een vlak is vastgelegd door drie punten die niet op één lijn liggen. Het vlak door de punten $A$ , $B$ en $C$ noemen we vlak $A B C$ .

De kortste verbinding van een punt $P$ met een vlak $V$ is het loodrecht verbindingslijnstuk, dus de lengte van lijnstuk $P Q$ , waarbij lijn $P Q$ normaal is van $V$ en $Q$ in $V$ ligt.

We gaan verder met de voorgaande opgave.

De vlakken $U$ en $M E G$ zijn evenwijdig.

Waarom?

Bepaal het kortste verbindingslijnstuk van $O$ met vlak $E G M$ en bereken de afstand van $O$ tot vlak $E G M$ exact.

Het kortste verbindinglijnstuk van $O$ tot vlak $A C H$ ligt in rechthoek $O B F H$ .

Laat dat meetkundig zien.

(hint)

Elke lijn in rechthoek

O B F H

staat loodrecht op lijn

A C

Bereken de afstand van $O$ tot vlak $A C H$ in die rechthoek.

We bekijken de vergelijking $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ . Dit is de vergelijking van een vlak $V$ , want het is een lineaire vergelijking.

Laat zien dat de punten $A$ , $C$ en $H$ in $V$ liggen.

Door de vergelijking te schrijven in de vorm $a x + b y + c z = d$ , kun je een normaalvector van vlak $V$ vinden.

Doe dat.

We bekijken het vlak $W$ met vergelijking $\frac{x}{3} + \frac{z}{5} = 1$ .

Bepaal de snijpunten van dit vlak met de coördinaatassen. (Dat zijn er maar twee.)

Een punt ligt in $W$ . Als je zijn $y$ -coördinaat verandert, dan blijft het punt in $W$ .

Leg uit hoe dat komt.

$W$ is dus evenwijdig met de $y$ -as en snijdt de andere coördinaat-assen in $(3,0,0)$ en $(0,0,5)$ , het is dus vlak $A B H$ .

Bepaal een normaalvector van vlak $A B H$ .

In het volgende zijn $a$ , $b$ en $c$ getallen niet gelijk aan $0$ .

Het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $(a,0,0)$ , $(0, b,0)$ en $(0,0, c)$ heeft vergelijking $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Het vlak evenwijdig met de $x$ -as, dat de $y$ -as snijdt in $(0, b,0)$ en de $z$ -as in $(0,0, c)$ , heeft vergelijking $\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .
Het vlak evenwijdig met het $O x y$ -vlak dat de $z$ -as in $(0,0, c)$ snijdt heeft vergelijking $\frac{z}{c} = 1$ .

We gaan verder met het blok uit de vorige opgave.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van vlak $B E G$ met coördinaatassen.

Geef een vergelijking van vlak $B E G$ en bepaal daarmee een normaalvector van vlak $B E G$ .

Geef een vergelijking van vlak $B E H$ en een normaalvector van vlak $B E H$ .

Geef een vergelijking van het vlak door $O$ evenwijdig aan $B E H$ .

Opmerking:

Als je een vergelijking van een vlak hebt, kun je daar vaak een mooi ruimtelijk plaatje bij maken, door in ieder geval de snijpunten van dat vlak met de coördinaat-assen te tekenen. In figuur 1 is het vlak met vergelijking $x + y = 3$ getekend (dat is evenwijdig met de $z$ -as) en in figuur 2 het vlak met vergelijking $3 x + 4 y + 6 z = 12$ .

Bepaal de snijpunten van de volgende vlakken met de coördinaatassen en maak van elk vlak een plaatje zoals in de voorgaande opmerking.

$2 x + 3 y + 12 z = 6$	$2 x + 3 y = 6$	$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1$
$x + 3 z = 3$	$x - y = 0$	$2 x = 4$

De kubus $A B C O . E F G H$ heeft ribbe $3$ . $A$ , $C$ en $H$ liggen op de coördinaatassen.
$V$ is het vlak met vergelijking $2 x + y + z = 4$ .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van $V$ met de coördinaatassen en teken $V$ op het werkblad.

$V$ snijdt ribbe $H G$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

(hint)

Het snijpunt heeft coördinaten

(0, t,3)

voor zekere waarde van

t

Bereken de coördinaten van de andere snijpunten van $V$ met ribben van de kubus.

$V$ `zaagt´ de kubus als het ware in twee stukken.

Kleur het zaagvlak.

$T . A B C D$ is een regelmatige vierzijdige piramide met: $A (3, ‐ 3,0)$ , $B (3,3,0)$ , $C (‐ 3, 3,0)$ , $D (‐ 3, ‐ 3,0)$ en $T (0,0,6)$ . $V$ is het vlak met vergelijking $y + z = 3$ .
$V$ snijdt ribbe $A T$ .

Bereken de coördinaten van het snijpunt.

Vlak $U$ heeft vergelijking $2 x + 3 y + 4 z = 6$ , vlak $V$ heeft vergelijking $4 x + 6 y + 8 z = 17$ .

Herschrijf de gegeven vergelijking van $V$ tot
$2 x + 3 y + 4 z = \dots$ .
Welk getal moet er ingevuld worden?

Hoe zie je aan de vergelijkingen van $U$ en $V$ dat ze geen gemeenschappelijke punten hebben?

Dus zijn $U$ en $V$ evenwijdig.

$W$ is het vlak met vergelijking $x + a y + b z = 20$ voor zekere getallen $a$ en $b$ .
Vlak $U$ is evenwijdig met vlak $W$ .

Welke zijn de getallen $a$ en $b$ ?

Kogel door de tent
Een dakdeel van een tent ligt in het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $(3,0,0)$ , $(0,3,0)$ en $(0,0,4)$ .

figuur 1

figuur 2

Geef een vergelijking van dat vlak.

Vanuit de oorsprong $O (0,0,0)$ in de tent wordt een kogel afgevuurd in de richting $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ .

Bereken de coördinaten van het punt waar de kogel de tent verlaat.

Hieronder zijn twee vlakken getekend.

Beide vlakken snijden de kubus in middens van ribben. De getekende kubus heeft ribben van lengte $6$ .

Geef van elk van de twee vlakken een vergelijking.

De twee vlakken snijden de kubus in drie stukken.

Bereken de inhoud van het deel waarin het punt $(6,0,0)$ ligt.

Het is niet altijd eenvoudig om de snijpunten van een vlak met de coördinaatassen te bepalen. Daarom bekijken we in de volgende opgaven een andere manier om een vergelijking van een vlak te vinden.

Vergelijking van een vlak met behulp van een pv

Voorbeeld:

$V$ is het vlak door $A (2,3,1)$ , $B (4,3,2)$ en $C (0,0,3)$ . We zoeken een normaalvector $\vec{n}$ van $V$ .
Onafhankelijke richtingen in $V$ zijn: $\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{A C} = (\begin{matrix} ‐2 \\ ‐3 \\ 2 \end{matrix})$ Voor elk getal $b$ staat de vector $\vec{n} =$ $(\begin{matrix} 1 \\ b \\ ‐ 2 \end{matrix})$ loodrecht op $\vec{A B}$ . We zoeken een getal $b$ zo dat $\vec{n}$ ook loodrecht staat op $\vec{A C}$ .
$\vec{n} \cdot \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow ‐ 2 \cdot 1 + ‐ 3 \cdot b + 2 \cdot ‐ 2 = 0$ .
Dus $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ ‐ 2 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ is normaalvector van $V$ .
Een vergelijking van $V$ is dus van de vorm: $x - 2 y - 2 z = d$ , voor een of ander getal $d$ dat je kunt vinden door de coördinaten van een punt van $V$ , bijvoorbeeld $A$ in de vergelijking in te vullen. Je vindt dan $x - 2 y - 2 z = ‐ 6$ als vergelijking van $V$ .

Stel van de volgende vlakken een vergelijking op.

het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(1,4,5)$ en $(2,6,0)$
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,4,5)$ en $(2,4,0)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,4,5)$ en $(‐4,1,3)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(4,2,3)$ en $(2,6,0)$ .

Om een normaalvector te vinden gebruiken we een richting van het vlak die een component $0$ heeft. Soms kost het moeite zo’n richting te vinden, maar het kan altijd. Hoe je dat moet doen, zie je in het volgende voorbeeld.

Voorbeeld:

$V$ is het vlak door $A (1,2,3)$ , $B (3,1,4)$ en $C (0,4,5)$ . Richtingen in $V$ zijn: $\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})$ en $\vec{A C} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})$ . Bij deze twee richtingen maken we een nieuwe richting van vlak $V$ : $\vec{A B} + 2 \cdot \vec{A C} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . Voor elk getal $a$ staat $\vec{n} = (\begin{matrix} a \\ 5 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ loodrecht op $(\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . We zoeken een getal $a$ zo dat $\vec{n}$ ook loodrecht staat op $\vec{A B}$ (of $\vec{A C}$ ).
$\vec{A B} \cdot \vec{n} = 0 \Leftrightarrow a = 4$ , een vergelijking van $V$ is dus: $4 x + 5 y - 3 z = d$ . Het punt $(1,2,3)$ ligt in $V$ , dit geeft $d = 5$ .
Een vergelijking van $V$ is dus: $4 x + 5 y - 3 z = 5$ .

Opmerking:

In paragraaf 5 wordt een andere manier behandeld om een normaalvector van een vlak te vinden.

Stel van de volgende vlakken een vergelijking op.

het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(2,1,‐3)$ en $(7,0,5)$
het vlak door de punten $(3,0,0)$ , $(0,‐2,1)$ en $(5,2,2)$ .
het vlak door de punten $(1,2,3)$ , $(1,0,0)$ en $(4,1,1)$ .
het vlak door de punten $(1,1,3)$ , $(3,4,5)$ en $(0,‐1,2)$ .

We hebben eerder deze paragraaf de volgende stelling gebruikt.
Als lijnstuk $A B$ loodrecht op een lijn wordt $k$ geprojecteerd en $\vec{v}$ een richtingsvector van $k$ is, dan is de lengte van de projectie $\frac{| \vec{A B} \cdot \vec{v} |}{| \vec{v} |}$ .

Deze stelling kun je ook goed gebruiken om de afstand van een punt tot een vlak te berekenen. Hoe dat gaat zie je in de volgende opgave.

$V$ is het vlak met vergelijking $2 x - 3 y + 4 z - 11 = 0$ en $P$ het punt $(1,2,3)$ . Dan is $\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \\ 4 \end{matrix})$ normaalvector van $V$ .
Het punt $A (1, ‐ 3,0)$ ligt in $V$ .

Bereken $\vec{n} \cdot \vec{A P}$ en $| \vec{n} |$ .

De projectie van $\vec{A P}$ op de lijn $k$ door $A$ met richtingsvector $\vec{n}$ , kan niet schelen welke, is de afstand van $P$ tot $V$ , zoals duidelijk wordt uit de figuur.

Bereken die afstand exact.

Omdat $\vec{n} \cdot \vec{A P} = \vec{n} \cdot \vec{p} - \vec{n} \cdot \vec{a}$ , geeft $\vec{n} \cdot \vec{A P}$ hetzelfde getal als dat je krijgt door de coördinaten van $P$ in te vullen in
$2 x - 3 y + 4 z - 11$ .

Ga dat na.

Dus de afstand van $P$ tot $V$ krijg je door de coördinaten van $P$ in te vullen in $2 x - 3 y + 4 z - 11$ , daarvan de absolute waarde te nemen en vervolgens te delen door $| (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) |$ .

In het algemeen gaat het zo.
$V$ is een vlak met normaalvector $\vec{n}$ en $P$ een punt buiten $V$ . De afstand van $P$ tot $V$ bepalen we door de stelling op de voorgaande bladzijde toe te passen.
Neem een punt $A$ van $V$ . $k$ is de lijn door $A$ met richtingsvector $\vec{n}$ . Dan is de afstand van $P$ tot $V$ gelijk aan de lengte van $A Q$ , waarbij $Q$ de projectie van $P$ op $k$ is.
Volgens de stelling is de afstand dus: $\frac{| \vec{A P} \cdot \vec{n} |}{| \vec{n} |}$ .
Neem aan: $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ en $\vec{n} = (\begin{matrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{matrix})$ ,
Een vergelijking van $V$ is $n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z - d = 0$ voor een of ander getal $d$ .
$\vec{n} \cdot \vec{A P}$ $= n_{1} \cdot (p_{1} - a_{1}) + n_{2} \cdot (p_{2} - a_{2}) + n_{3} \cdot (p_{3} - a_{3})$ $= n_{1} \cdot p_{1} + n_{2} \cdot p_{2} + n_{3} \cdot p_{3} - (n_{1} \cdot a_{1} + n_{2} \cdot a_{2} + n_{3} \cdot a_{3})$ $n_{1} \cdot p_{1} + n_{2} \cdot p_{2} + n_{3} \cdot p_{3} - d$ want $n_{1} \cdot a_{1} + n_{2} \cdot a_{2} + n_{3} \cdot a_{3} = d$ omdat $A$ in $V$ ligt.

$V$ is het vlak met vergelijking $n_{1} \cdot x + n_{2} \cdot y + n_{3} \cdot z - d = 0$ en $P$ het punt $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ . Dan is de afstand van $P$ tot $V$ gelijk aan: $\frac{| n_{1} \cdot p_{1} + n_{2} \cdot p_{2} + n_{3} \cdot p_{3} - d |}{\sqrt{{n_{1}}^{2} + {n_{2}}^{2} + {n_{3}}^{2}}}$ .

Voorbeeld:

In de figuur is een recht blok getekend, met $A (7,0,0)$ , $C (0,7,0)$ en $H (0,0,4)$ We bepalen de afstand van $F$ tot vlak $A C H$ . Een vergelijking van vlak $A C H$ is $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} + \frac{z}{4} = 1$ .
Deze vergelijking kun je schrijven als: $4 x + 4 y + 7 z - 28 = 0$ . De afstand van $F (7,7,4)$ is dus: $\frac{| 4 \cdot 7 + 4 \cdot 7 + 7 \cdot 4 - 28 |}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 7^{2}}} = 6 \frac{2}{9}$ .

Bereken de afstand van

$O (0,0,0)$ tot het vlak met vergelijking $x + 2 y + 3 z = 10$ ,
$A (1,2,3)$ tot het vlak met vergelijking $x + 2 y - 3 z = 12$ ,
$A (1,2,3)$ tot het vlak door de punten $(2,2,‐3)$ , $(0,6,0)$ en $(6,3,0)$ .

$k$ is de lijn door de punten $(1,‐1,2)$ en $(3,3,3)$ . $V$ is het vlak met vergelijking $x + 2 y - 2 z = 12$ .

Geef een pv van $k$ .

Bereken de punten van $k$ die afstand $3$ tot $V$ hebben.

In opgave 32 is een kubus in drie stukken gezaagd. In die opgave hebben we de inhoud van het middelste stuk uitgerekend. We willen nu weten hoe 'dik' dat stuk is. Dat is de afstand van het vlak met vergelijking $x + y + z = 3$ tot het vlak met vergelijking $x + y + z = 9$

Bereken die afstand.

Het blok in de figuur is in een assenstelsel getekend. Het is $4$ hoog, $2$ breed en $3$ diep.

Geef een vergelijking van vlak $A C H$ .

Bereken de afstand van $O$ tot vlak $A C H$ .

De inhoud van piramide $O A C H$ is: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4$ .

Leg dat uit.

(hint)

De inhoud van een piramide waarvan de oppervlakte van het grondvlak

G

is en de bijbehorende hoogte

h

\frac{1}{3} G \cdot h

. Een bewijs hiervan vind je in deel 2 van 6vwo wiskunde b.

De oppervlakte van driehoek $A C H$ kun je berekenen met behulp van het antwoord op b en de inhoud van de piramide.

Hoe? Wat vind je voor de oppervlakte van driehoek $A C H$ ?

We werken met hetzelfde blok als in de vorige opgave. We berekenen de inhoud van piramide $A C H F$ . Dat kan bijvoorbeeld door driehoek $A C H$ als grondvlak te nemen. De hoogte van de piramide is dan de afstand van $F$ tot vlak $A C H$ . De oppervlakte van driehoek $A C H$ heb je in opgave 39 al berekend.

Bereken de afstand van $F$ tot vlak $A C H$ .

Bereken de inhoud van de piramide $A C H F$ .

Je kunt de de inhoud van piramide $A C H F$ ook berekenen door van de inhoud van het blok de inhoud van vier piramides af te trekken. De vier piramides hebben alle dezelfde inhoud.

Voer die berekening uit.

In het niet gekozen ontwerp voor het architectuurinstituut van Rem Koolhaas is de schoorsteen een normaal van het dakvlak.