1

a

$p = q = 1$ ; $p = 1$ en $q = 2$ .

b

$p = 2$ en $q = 1$ .

c

$p = 7$ en $q = ‐ 10$ .

2

a

$K = (4,0,2)$ , dus $(x, y, z) = (4 + p, q,2 + p)$ .

b

$(0,2,0)$ en $(1,0,2)$

c

Uit $(t,2 - 2 t,2 t) = (4 + p, q,2 + p)$ volgt (vergelijk de eerste en derde coördinaat): $4 + p = 1 + \frac{1}{2} p$ , dus $p = ‐ 6$ en $t = ‐ 2$ , dus het snijpunt is: $(‐ 2,6, ‐ 4)$ .

3

a

$(x, y, z) = (2 - p, p + q,2 - q)$

b

$B$ , $E$ en $G$ .

c

figuur bij opgave 19

d

De drie coördinaten zijn gelijk, dus: $2 - p = p + q = 2 - q$ , dus $p = q = \frac{2}{3}$ , dus
$S = (1 \frac{1}{3},1 \frac{1}{3},1 \frac{1}{3})$ .

4

a

De hoek tussen $\vec{a}$ en $\vec{n}$ noemen we $α$ . Dan $| \vec{a} | \cos α = 6$ . Er geldt: $\vec{n} \cdot \vec{a} = | \vec{n} | \cdot | \vec{a} | \cos α = 4 \cdot 6 = 24$ .
Op dezelfde manier is $\vec{n} \cdot \vec{b} = 24$ . Omdat de hoek $γ$ tussen $\vec{c}$ en $\vec{n}$ stomp is, geldt: $| \vec{c} | \cos γ = ‐ 2$ en $\vec{n} \cdot \vec{c} = ‐ 8$ .

b

Ze liggen in het vlak door $P$ (of $A$ ) loodrecht op lijn $n$ .

5

a

$\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ , $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ , en $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ .
Dus $\vec{n} \cdot \vec{x} = x + y + 2 z$ en $\vec{n} \cdot \vec{a} = 2$ .

b

$(0,0,1)$ , $A$ en $C$ .
Voor de tekening zie onderdeel d.

c

$\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

d

De punten van $W$ op de kubus zijn: $B$ , $C$ , $(0,0,1)$ en $(2,0,1)$ . Voor de tekening zie hieronder.

e

Als een punt aan de vergelijking voldoet, dan voldoet dat punt ook als je de $x$ -coördinaat verandert. Die komt niet in de vergelijking voor.

f

De snijlijn is lijn $M C$ , waarbij $M$ het midden van ribbe $O H$ is. Een pv is $(x, y, z) = (0,2 t,1 - t)$ .

6

a

De snijpunten zijn $(6,0,0)$ , $(0,6,0)$ en $(0,0,6)$ .

b

$(4,2,0)$ , $(2,4,0)$ , $(4,0,2)$ , $(2,0,4)$ , $(0,4,2)$ en $(0,2,4)$

c

Lijn $B G$ staat loodrecht op diagonaalvlak $O C F E$ van de kubus.

d

Het snijpunt van $N B$ en $O F$ noemen we $S$ . Je kunt de zijden van driehoek $N S F$ berekenen en daaruit zien dat de driehoeken $N S F$ en $B N F$ gelijkvormig zijn.

7

a

$(6,0,0)$ , $(0,6,0)$ en $(0,0,3)$ , zie figuur.

b

$(4,2,0)$ , $(2,4,0)$ , $(0,0,3)$ , $(0,4,1)$ en $(4,0,1)$

c

$(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

d

Driehoek $O E G$ is gelijkbenig en $N$ is het midden van $E G$ .

e

$O N = 2 \sqrt{6}$ , $M N = 2 \sqrt{3}$ en $O M = 6$ , dus $O M^{2} = M N^{2} + O N^{2}$ , dus uit de omgekeerde stelling van Pythagoras volgt dat $O N$ en $M N$ loodrecht op elkaar staan.
Of: de driehoeken $O H N$ en $N F M$ zijn gelijkvormig met factor $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ , ga dat na. Dus hoek $∠ H N O + ∠ M N F = ∠ H N O + ∠ H O N = 90 °$ .

8

a

Vlak $M E G$ moet dan een vergelijking van de vorm $x + y + 2 z = d$ hebben voor zeker getal $d$ . Als je voor $d = 12$ neemt, voldoen $M$ , $E$ en $G$ . Dus het klopt.

b

Dat is $O N$ , de lengte daarvan is $2 \sqrt{6}$ .

c

Het midden van $O B$ noemen we $T$ en $S$ de projectie van $O$ op lijn $H T$ , dan staat $O S$ loodrecht op lijn $H T$ en op lijn $A C$ (dat laatste omdat lijn $A C$ loodrecht op elke lijn in vlak $O B F H$ staat).

d

De driehoeken $S O T$ en $O H T$ zijn gelijkvormig, dus $H T \cdot O S = O T \cdot O H \Leftrightarrow 2 \sqrt{6} \cdot O S = 2 \sqrt{2} \cdot 4$ , dus $O S = 1 \frac{1}{3} \sqrt{3}$ .

9

a

Ze voldoen aan de vergelijking.

b

$(\begin{matrix} 20 \\ 15 \\ 12 \end{matrix})$

c

$(3,0,0)$ en $(0,0,5)$

d

De variabele $y$ komt niet in de vergelijking voor. Omdat de $x$ - en de $z$ -coördinaat niet veranderen, blijft het punt aan de vergelijking voldoen.

e

$\frac{x}{3} + \frac{z}{5} = 1 \Leftrightarrow 5 x + 0 y + 3 z = 15$ , dus een normaalvector is $(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ .

10

a

$(6,0,0)$ , $(0,8,0)$ en $(0,0,10)$

b

$20 x + 15 y + 12 z = 120$ , normaalvector: $(\begin{matrix} 20 \\ 15 \\ 12 \end{matrix})$

c

$\frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 1$ , normaalvector: $(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})$

d

$\frac{y}{4} + \frac{z}{5} = 0$

11

$(3,0,0), (0,2,0), (0,0, \frac{1}{2})$ ;	$(3,0,0), (0,2,0)$ ;	$(2,0,0), (0,4,0), (0,0,3)$
$(3,0,0), (0,0,1)$ ;	$(0,0,0)$ ;	$(2,0,0)$

12

a

De coördinaten van de snijpunten zijn: $(2,0,0), (0,4,0), (0,0,4)$ .

b

$(0, t,3)$ invullen in de vergelijking van $V$ geeft $t = 1$ , dus het snijpunt is: $(0,1,3)$ .

c

$(2,0,0), (0,3,0), (0,1,1), (\frac{1}{2},0,3), (\frac{1}{2},3,0)$

d

Zie figuur.

13

Een pv van lijn $A T$ is: $(x, y, z) = (3 - t, ‐ 3 + t,2 t)$ ,dus het snijpunt $S = (3 - t, ‐ 3 + t,2 t)$ voor zeker waarde van $t$ .
Vul $(3 - t, ‐ 3 + t,2 t)$ in de vergelijking $y + z = 3$ . Dit geeft: $t = 2$ , dus $S = (1, ‐ 1,4)$ .

14

a

$8 \frac{1}{2}$

b

Als er een gemeenschappelijk punt is dan $6 = 8 \frac{1}{2}$ .

c

Hun normaalvectoren zijn veelvouden van elkaar, dus $a = 1 \frac{1}{2}$ en $b = 2$ .

15

a

$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$

b

Dat is het punt $(t, t,2 t)$ dat aan de vergelijking $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ voldoet. Dan $t = \frac{6}{7}$ en het gevraagde punt is: $(\frac{6}{7}, \frac{6}{7},1 \frac{5}{7})$ .

16

a

$x + y + z = 3$ en $x + y + z = 9$

b

De piramide $P$ met hoekpunten $(0,0,0)$ , $(9,0,0)$ , $(0,9,0)$ en $(0,0,9)$ heeft inhoud: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 121 \frac{1}{2}$ . Daar moet de inhoud van vier piramides vanaf, die gelijkvormig zijn met $P$ met vergrotingsfactor $\frac{1}{3}$ . Het gevraagde stuk heeft inhoud $\frac{23}{27} \cdot 121 \frac{1}{2} = 103 \frac{1}{2}$ .

17

$7 x - y + z = 8$ ; $2 x - y = 0$ ; $2 x - 10 y + 9 z = 9$ ; $3 y + 4 z = 18$ .

18

$7 x + 19 y - 2 z = 39$ ; $3 x - 4 y + z = 9$ ; $x - 9 y + 6 z = 1$ ; $x - z + 2 = 0$ .

19

a

$\vec{n} \cdot \vec{A P} = (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 3 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 3 \end{matrix}) = 2 \cdot 0 + ‐ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = ‐ 3$ en $| \vec{n} | = \sqrt{29}$ .

b

$\frac{3}{\sqrt{29}}$ , volgens de stelling.

c

$\vec{n} \cdot \vec{a} = 11$ , omdat $A$ in $V$ ligt.
$\vec{n} \cdot \vec{p}$ levert hetzelfde op als de coördinaten van $P$ in $2 x - 3 y + 4 z$ invullen.

20

$\frac{5}{7} \sqrt{14}$ ,
$1 \frac{1}{7} \sqrt{14}$ ,
Het vlak door die punten heeft vergelijking $x + 2 y - 2 z = 12$ , dus de afstand is $4 \frac{1}{3}$ .

21

a

$(x, y, z) = (1 + 2 t, ‐ 1 + 4 t,2 + t)$

b

$\frac{| 1 + 2 t + 2 (‐ 1 + 4 t) - 2 (2 + t) - 12 |}{3} = 3 \Leftrightarrow t = 1 of t = 3 \frac{1}{4}$ , dus de punten $(3,3,3)$ en $(7 \frac{1}{2},12,5 \frac{1}{4})$

22

Dat is de afstand van een punt in het vlak $x + y + z = 9$ , bijvoorbeeld $(9,0,0)$ tot het vlak met vergelijking $x + y + z = 3$ , dus $\frac{| 9 + 0 + 0 - 3 |}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$ .

23

a

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 4 x + 6 y + 3 z = 12$

b

$\frac{12}{61} \sqrt{61}$

c

Neem $O A C$ als grondvlak, dan is de oppervlakte van het grondvlak $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3$ en de hoogte $4$ .

d

$\frac{1}{3} \cdot$ oppervlakte driehoek $A C H \cdot$ de afstand van $O$ tot vlak $A C H =$ de inhoud van de piramide, dus de oppervlakte van driehoek $A C H = \sqrt{61}$ .

24

a

$\frac{24}{61} \sqrt{61}$

b

$8$

c

De inhoud van het blok is $24$ ; de inhoud van een piramide is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 4$ , dus de gevraagde inhous id $24 - 4 \cdot 4 = 8$ .