1

$(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} ‐ 5 \\ ‐ 2 \\ 3 \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} ‐ 1 \\ ‐ 10 \\ 7 \end{matrix})$

2

a

Alledrie $(\begin{matrix} 10 \\ 4 \\ ‐ 6 \end{matrix})$

b

$\vec{a} \times \vec{c}$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ ‐ 3 \end{matrix})$ , $\vec{b} \times \vec{c}$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})$ en $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c}$ $= (\begin{matrix} 3 \\ 14 \\ ‐ 5 \end{matrix})$ ;
$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ .

c

Beide $0$

3

a

$\vec{A B}$ en $\vec{A C}$ zijn onafhankelijke richtingen in vlak $A B C$ (anders liggen $A$ , $B$ en $C$ op één lijn. Uit eigenschap 3 volgt dan dat $\vec{A B} \times \vec{A C}$ loodrecht op vlak $A B C$ staat.

b

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ ‐ 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ ‐ 3 \end{matrix})$

c

Een vergelijking is: $5 x + y - 3 z = c$ voor zeker getal $c$ . Dat vind je door bijvoorbeeld $A$ in te vullen. Je vindt $5 x + y - 3 z = ‐ 2$ .

4

a

$\vec{O M} \times \vec{O N} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})$ , dus $| \vec{n} | = 3 \sqrt{2}$ .

b

$\cos (α) = \frac{\vec{O M} \cdot \vec{O N}}{| \vec{O M} | \cdot | \vec{O N} |} = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{6}} =$ $\frac{1}{3} \sqrt{6}$ ; $\sin (α)$ vind je met de formule: $\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$ : $\sin (α) = \frac{1}{3} \sqrt{3}$ .

c

De oppervlakte is $| \vec{O M} | \cdot | \vec{O N} | \cdot \sin (α) = 3 \sqrt{2}$

5

a

$\vec{P Q} \times \vec{P R} = (\begin{matrix} ‐ 6 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 4 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{matrix})$

b

$| (\begin{matrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{matrix}) | = 6 \sqrt{29}$

c

$\cos (α) = \frac{\vec{P Q} \cdot \vec{P R}}{| \vec{P Q} | \cdot | \vec{P R} |}$ $\cos (α) = \frac{3}{25} \sqrt{5}$ .
$\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$ , dus $\sin (α) = \frac{2}{25} \sqrt{145}$ .

d

Dat is $| \vec{P Q} | \cdot | \vec{P R} | \cdot \sin (α) = 15 \sqrt{5} \cdot \frac{2}{25} \sqrt{145} = 6 \sqrt{29}$ .

e

Een normaalvector van vlak $P Q R$ is $\vec{P Q} \times \vec{P R}$ , dus ook $(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ . Een vergelijking van vlak $P Q R$ is $2 x + 3 y + 4 z = 24$ . De snijpunten met de assen zijn dus $(12,0,0)$ , $(0,8,0)$ en $(0,0,6)$ .

6

a

$\vec{r}$ , $\vec{p}$ , $\vec{q}$ .

b

$120$

7

a

$B (7,3,0)$ , $E (5, ‐ 2,6)$ , $F (7,1,6)$ en $G (2,1,6)$ .

b

$15$ , $90$

c

$90$

8

a

$B (9,5,0)$ , $E (0, ‐ 3,5)$ , $F (3,2,5)$ en $G (0,2,5)$ .

b

$(\vec{O A} \times \vec{O C}) \cdot \vec{O H} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ ‐ 3 \\ 5 \end{matrix}) = 75$ , dus de inhoud is $75$ .

c

$\frac{1}{2} \cdot 75 = 37 \frac{1}{2}$

d

Als je bij deze piramide driehoek $A B C$ als grondvlak neemt en hetzelfde grondvlak bij het prisma van het vorige onderdeel, dan zijn beide even hoog, dus de inhoud van de piramide is $\frac{1}{3} \cdot 37 \frac{1}{2} = 12 \frac{1}{2}$ .

9

a

Breng een assenstelsel aan met $D$ als oorsprong en met $A$ op de $A$ -as, $C$ op de $y$ -as en $H$ op de $z$ -as. Dan volgt het gevraagde uit het feit dat de inhoud $\frac{1}{6}$ van de inhoud van het een parallellepipedum is met hoekpunten $A$ , $C$ , $D$ en $H$ . $\frac{1}{6} ((\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{6} ((\begin{matrix} 1 \\ ‐ 1 \\ 1 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{3}$ .

b

De inhoud van elk van die piramides is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ ; de inhoud van het viervlak is dus $1 - 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ .

10

We brengen op de gebruikelijke wijze een assenstelsel aan. Het is $\frac{1}{6}$ maal de absolute waarde van $(\vec{M P} \times \vec{M N}) \cdot \vec{M Q}$ .
$\vec{M P} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{M N} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ en $\vec{M Q} = (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \\ ‐ 2 \end{matrix})$ .
$(\vec{M P} \times \vec{M N}) \cdot \vec{M Q} = (\begin{matrix} ‐ 4 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 1 \\ 2 \\ ‐ 2 \end{matrix}) = 6$ , dus de inhoud is $1$ .

11

Het is $\frac{1}{6}$ van de absolute waarde van $(\vec{A H} \times \vec{A M}) \cdot \vec{A C}$ .
$(\vec{A H} \times \vec{A M}) \cdot \vec{A C} = (\begin{matrix} ‐ 8 \\ 4 \\ ‐ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} ‐ 3 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = 32$ , dus de inhoud is $\frac{1}{6} \cdot 32 = 5 \frac{1}{3}$ .