6.6  Determinant en uitproduct >
De determinant in dimensie 2

Het volgende is te vinden in hoofdstuk 5 De kracht van vectoren van 4vb deel2, of op internet.

Gegeven is de vector v = ( a b ) . De vectoren v L = ( b a ) en v R = ( b a ) staan loodrecht op en zijn even lang als v .
Als je v linksom over 90 ° draait, krijg je v L ;
als je v rechtsom over 90 ° (met de wijzers van de klok mee) draait, krijg je v R .

Waarom dat zo is, zie je in het plaatje.
( a en b zijn de lengten van zijden waar ze bij staan.)

Gegeven zijn twee vectoren a en b . Met het parallellogram opgespannen door a en b bedoelen we het parallellogram O A B C waarbij C het punt is met plaatsvector a + b .

In het volgende bekijken we hoe je de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b met behulp van de kentallen van hun kentallen kunt berekenen.

1

In de figuur hieronder zijn A en B roosterpunten. In de laatste twee roosters zijn de rollen van A en B verwisseld ten opzichte van de eerste twee.

a

Bereken de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b exact.

b

Bereken in de vier gevallen a b R .

Er lijkt een verband te bestaan tussen de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b en het inproduct van a en b R .
Dit bekijken we in de volgende opgave.

2

We gaan er vanuit dat a en b een echt parallellogram opspannen.
De hoek tussen a en b R noemen we α.
Je draait over de kleinste hoek van a naar b .
Als je linksom moet draaien, dan 0 ° < α < 90 ° ,
als je rechtsom moet draaien, dan 90 ° < α < 180 ° .

a

Ga na dat dit in de vier gevallen in de figuur klopt.

De oppervlakte van een parallellogram is p q sin ( β ) , waarbij p en q twee aanliggende zijden van het parallellogram zijn en β de hoek tussen die zijden, zie hoofdstuk 2 paragraaf 5 van 4vb deel 1, ook op internet te zien
De oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b is a b R als 0 ° < α < 90 ° en a b R als 90 ° < α < 180 ° .

b

Toon dat aan.

Als a = ( a 1 a 2 ) en b = ( b 1 b 2 ) , dan is a b R = a 1 b 2 a 2 b 1 .

c

Ga dat na.

Gegeven zijn de vectoren a = ( a 1 a 2 ) en b = ( b 1 b 2 ) .
Draai a over de kleinste hoek om O naar b , zie figuur.

Als dat linksom is, noemen we het paar vectoren ( a , b ) positief georiënteerd;
als dat rechtsom noemen we het paar negatief georiënteerd.
Met de determinant van het paar ( a , b ) ook wel de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram opgespannen door ( a , b ) bedoelen we

  1. de oppervlakte van dat parallellogram als het paar ( a , b ) positief georiënteerd is,

  2. het tegengestelde van die oppervlakte als het paar ( a , b ) negatief georiënteerd is.

We noteren dit als det ( a , b ) , de determinant van ( a , b ) .

Stelling 1
det ( a , b ) = a 1 b 2 a 2 b 1 .

Opmerking:

In plaats van det ( a , b ) schrijven we vaak | a 1 b 1 a 2 b 2 | .

Een roosterdriehoek is een driehoek waarvan de hoekpunten roosterpunten zijn.

3
a

Bereken de oppervlakte van de twee parallellogrammen van opgave 74 met een determinant.

Gegeven zijn de punten A ( 4,7 ) , B ( 10,3 ) en C ( 8,10 ) .

b

Bereken de oppervlakte van driehoek A B C met een determinant.

Als je de oppervlakte van een roosterdriehoek met 2 vermenigvuldigt, krijg je een geheel getal.

c

Leg dat uit.

De oppervlakte van een roosterdriehoek is minstens 1 2 .

4
a

Bereken | 1 2 3 4 | , | 2 2 3 4 | , | 2 2 3 4 | en | 1 2 3 6 | .

We veranderen de eerste determinant: we vermenigvuldigen de eerste kolom met 2 ; je krijgt: | 2 2 6 4 | .

b

Kun je zonder veel te rekenen zeggen hoe groot de determinant nu is?

De eerste twee determinanten hebben de tweede kolom hetzelfde. We tellen de eerste kolommen op: | 1 + 2 2 3 + 3 4 | = | 3 2 6 4 |

c

Bereken de determinant die je zo krijgt.

Neem aan det ( a , b ) = 20 .

d

Wat is dan det ( b , a ) ?

5

Als een roosterdriehoek een inwendig roosterpunt heeft, is zijn oppervlakte minstens 1 1 2 .

a

Toon dat aan.

Op de zijde van een roosterdriehoek ligt een roosterpunt. Dan is de oppervlakte van de driehoek minstens 1 .

b

Toon dat aan.

Georg Alexander Pick 1859-1942
Pick bewees de volgende stelling.
Als een roosterveelhoek r roosterpunten op de rand heeft en i in het inwendige, dan is de oppervlakte gelijk aan i + 1 2 r 1 .
Een mooi bewijs van de stelling staat in een artikel van de Delftse wiskundige Dion Gijswijt.
Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: “Waarom ben ik daar niet op gekomen!” Dit stukje gaat over precies zo’n stelling: eenvoudiger dan de stelling van Pythagoras, maar onbekend zelfs bij veel professionele wiskundigen. De stelling wordt vernoemd naar haar ‘ontdekker’: de Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick, geboren in 1859 in Wenen en omgekomen in 1942 in het concentratiekamp Theresienstadt, waarheen hij op 82–jarige leeftijd om zijn joodse afkomst gedeporteerd werd. (De inleiding van dat artikel.)

Eigenschappen van de determinant

  1. det ( a , b ) = det ( b , a )

  2. det ( a + b , c ) = det ( a , b ) + det ( a , c ) en
    det ( a , b + c ) = det ( a , b ) + det ( a , c )

  3. det ( k a , b ) = det ( a , k b ) = k det ( a , b )

  4. det ( a , b ) = 0 ( a , b ) afhankelijk.

Je kunt de eigenschappen 1 tot en met 4 van de determinant ook 'meetkundig' bewijzen. Daar kijken we in de volgende opgave naar.

6

In de figuur hiernaast zijn de vectoren a , b , c en b + c getekend.

a

Laat met behulp van de figuur zien dat det ( a , b + c ) = det ( a , b ) + det ( a , c ) .

b

Laat met een plaatje zien dat det ( 2 a , b ) = 2 det ( a , b ) .

Met alleen de eigenschappen 1 tot en met 4 van de determinant hierboven en de definitie , kun je de formule in stelling 1 ook vinden. Dat doen we in de volgende opgave.

7

We schrijven e 1 = ( 1 0 ) en e 2 = ( 0 1 ) , dan
( a 1 a 2 ) = a 1 e 1 + a 2 e 2 en ( b 1 b 2 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2 .
Er geldt: det ( a 1 e 1 + a 2 e 2 , b 1 e 1 + b 2 e 2 ) =
a 1 b 1 det ( e 1 , e 1 ) + a 1 b 2 det ( e 1 , e 2 ) + a 2 b 1 det ( e 2 , e 1 ) + a 2 b 2 det ( e 2 , e 2 ) .

a

Ga dat na.

Er geldt: det ( e 1 , e 1 ) = 0 , det ( e 1 , e 2 ) = 1 , det ( e 2 , e 1 ) = 1 en det ( e 2 , e 2 ) = 0 .

b

Leg dat uit.

Dus det ( a , b ) = a 1 b 2 a 2 b 1 .

8

Gegeven is de lijn k met vergelijking y = 2 x + 7 en de punten A ( 3,7 ) en B ( 5,5 ) .
Op k ligt een punt C , zó, dat de oppervlakte van driehoek A B C 15 is.

Bereken de coördinaten van C .

De determinant in dimensie 3.

Definitie

figuur 1
figuur 2

Je hebt een rijtje van drie vectoren ( a , b , c ) niet in één vlak.
We gaan de determinant van dit drietal definiëren.
Daarvoor spreken we eerst een oriëntatie af.
Leg je duim in de richting van a en je wijsvinger in de richting van b . Als de middelvinger van je rechterhand in de richting van c kan wijzen, noemen we het rijtje positief georiënteerd en anders (dus als je je linkerhand nodig hebt) negatief georiënteerd, zie figuur 1.
Als de vectoren a , b en c niet in één vlak liggen, bedoelen we met het parallellepipedum opgespannen door die drie vectoren het parallellepipedum in figuur 2 en met de determinant det ( a , b , c ) de inhoud van dat parallellepipedum als ( a , b , c ) positief georiënteerd is en anders het tegengestelde van die inhoud. Als a , b en c in een vlak liggen, dan det ( a , b , c ) = 0 .

9

Gegeven een drietal vectoren ( a , b , c ) . Die kun je op 6 manieren rangschikken. Neem aan dat ( a , b , c ) positief georiënteerd is.

Geef de oriëntatie van de andere vijf.

Eigenschappen van de determinant in dimensie 3

  1. det ( a , b , c ) = det ( b , c , a ) = det ( c , a , b ) = ‐det ( b , a , c ) = ‐det ( a , c , b ) = ‐det ( c , b , a )

  2. det ( a + d , b , c ) = det ( a , b , c ) + det ( d , b , c ) ,
    det ( a , b + d , c ) = det ( a , b , c ) + det ( a , d , c ) en det ( a , b , c + d ) = det ( a , b , c ) + det ( a , b , d )

  3. det ( k a , b , c ) = det ( a , k b , c ) = det ( a , b , k c ) = k det ( a , b , c )

  4. det ( a , b , c ) = 0 ( a , b , c ) afhankelijk

Evenals in dimensie 2 kun je uit deze eigenschappen een formule afleiden waarmee je de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door ( a , b , c ) kunt berekenen uit de kentallen van die drie vectoren.
Dat is het onderwerp van het vervolg. Maar eerst bewijzen we de eigenschappen hierboven.
Een aanpak met plaatjes is lastig in dimensie 3.
We pakken het nu anders aan.

Stelling 2

Gegeven is een lijn n door de oorsprong O ; n is een normaalvector van n met lengte 1 .
Dan is de projectie van een vector a op n gelijk aan: ( a n ) n .
De projectie van een vector a noemen we P ( a ) .
De projectie P is lineair, dat wil zeggen:

  1. P ( a + b ) = P ( a ) + P ( b ) ,

  2. P ( k a + b ) = k P ( a ) .

Bewijs
Omdat n lengte 1 heeft, is de lengte van ( a n ) n gelijk aan de absolute waarde van het getal a n , dus aan de absolute waarde van | a | | n | cos ( α ) = | a | cos ( α ) , waarbij α de hoek tussen a en n is. Daarmee heeft ( a n ) n de juiste lengte. Ga zelf na dat de richting ook juist is.
Dat de afbeelding P lineair is volgt uit het feit dat het inproduct dat is:
( a + b ) n = a n + b n en ( k a ) n = k ( a n ) .
Nu kunnen we de eigenschappen van de determinant bewijzen.
Bewijs van de eigenschappen
a , b c en d zijn vier vectoren. en V is het vlak waarin de vectoren a en b liggen; n is een normaalvector van V met lengte 1 zó, dat ( a , b , n ) positief georiënteerd is.
O p p is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b .
Dan det ( a , b , v ) = ± O p p | P ( v ) | , al naar gelang de oriëntatie van ( a , b , v ) . Neem even aan dat ( a , b , c ) en ( a , b , d ) positief georiënteerd zijn, dan det ( a , b , c + d ) = O p p | P ( c + d ) | = O p p ( | P ( c ) + P ( d ) | ) = O p p ( | P ( c ) | + | P ( d ) | ) = det ( a , b , c ) + det ( a , b , d ) .
Bij andere oriëntaties gaat het ook goed. Dat eigenschap 2 ook op de andere plaatsen in de determinant klopt volgt dan uit eigenschap 4.
Eigenschap 3 volgt ook uit de lineariteit van P .

In de volgende opgave leiden we een formule voor de determinant af.

10

We schrijven e 1 = ( 1 0 0 ) , e 2 = ( 0 1 0 ) en e 3 = ( 0 0 1 ) , dan
( x y z ) = x e 1 + y e 2 + z e 3 .
Neem aan a = ( a 1 a 2 a 3 ) , b = ( b 1 b 2 b 3 ) en c = ( c 1 c 2 c 3 ) .
Als je de eigenschappen van de determinant gebruikt, krijg je, als je det ( a , b , c ) uitschrijft zoals in opgave 77 gedaan is 27 termen, bijvoorbeeld:
a 1 b 1 c 2 det ( e 1 , e 1 , e 2 ) en a 3 b 2 c 1 det ( e 3 , e 2 , e 1 ) enzovoort.

a

Ga dat na.

Van de 27 uitdrukkingen als det ( e 1 , e 1 , e 2 ) en det ( e 3 , e 2 , e 1 ) zijn er 6 niet 0 .

b

Welke zijn dat? Welke waarde hebben ze?

Dus: det ( a , b , c ) =
a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 +
a 3 b 2 c 1 a 2 b 1 c 3 a 1 b 3 c 2 .

c

Leg dat uit.

Gegeven zijn de vectoren a = ( a 1 a 2 a 3 ) , b = ( b 1 b 2 b 3 ) en c = ( c 1 c 2 c 3 ) .
Dan: det ( a , b , c ) =
a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 +
a 3 b 2 c 1 a 2 b 1 c 3 a 1 b 3 c 2 .

In plaats van det ( a , b , c ) schrijven we wel: | a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | .

Opmerking:

Een manier om bovenstaande formule voor de determinant te onthouden is de volgende.
Schrijf de kentallen van a , b , c twee keer op zoals hieronder.

Vermenigvuldig de drie getallen op elke blauwe lijn en tel ze op, dat geeft een getal B . Doe dat ook voor de getallen op de oker lijnen, dat geeft een getal G . De determinant is B G .

Voorbeeld:

| 1 4 7 2 5 8 3 6 9 | =
1 5 9 + 4 8 3 + 7 2 6 ( 6 8 1 + 9 2 4 + 3 5 7 ) = 0

Voorbeeld
| 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | = 1 + 0 + 1 ( 0 + 0 + 0 ) = 2

Je kunt een determinant ook op de GR berekenen.

11

Bereken de volgende determinanten.
| 1 0 3 1 1 0 1 2 1 | , | 3 2 3 1 1 4 1 2 1 | , | 3 12 3 1 1 0 0 12 1 |
Controleer je antwoorden met de GR.

12

Gegeven is het parallellepipedum A B C D . E F G H met A ( 2,0,0 ) , B ( 4,2,1 ) , C ( 5,‐1,0 ) en E ( 2,0,10 ) .

a

Bereken de coördinaten van H .

De inhoud van het parallellepipedum is 40 .

b

Reken dat na met een determinant.

c

Wat is de inhoud van het viervlak A B D E ? En van viervlak E F C G ?

13

Een viervlak met roosterpunten als hoekpunten heeft een inwendig roosterpunt.

Toon aan dat zijn inhoud minstens 2 3 is.

14

Gegeven zijn de vectoren r = ( 2 0 1 ) en s = ( 1 1 1 ) . We vragen ons af wat het verband tussen de getallen a en b is als het punt A ( a , b ,2 ) in het vlak met vv x = p r + q s ligt.
Dat komt op hetzelfde neer als: | a 2 1 b 0 1 2 1 1 | = 0 .

a

Leg dat uit.

b

Schrijf in dat geval het verband tussen a en b zo eenvoudig mogelijk.

V is het vlak met vv x = c + p r + q s , waarbij c = ( 3 0 0 ) .

c

Wat is het verband tussen a en b als A in V ligt?
Schrijf dat verband zo eenvoudig mogelijk.

15

Bekijk de vergelijking | 1 4 x 2 1 y 3 0 z | = 0 .

a

Schrijf deze vergelijking zo eenvoudig mogelijk.

De vergelijking is die van een vlak door de oorsprong O , zeg V

b

Toon aan dat ( 1,2,3 ) en ( 4, 1,0 ) in V liggen.

Wat je in de vorige opgave gezien hebt geldt algemeen.
Neem aan a = ( a 1 a 2 a 3 ) en b = ( b 1 b 2 b 3 ) .
De vergelijking | a 1 b 1 x a 2 b 2 y a 3 b 3 z | = 0 is een vergelijking van het vlak door de oorsprong waarin de vectoren a en b liggen, want det ( a , b , a ) = 0 en det ( a , b , b ) = 0 .

16

Laat zien dat | a 1 b 1 x a 2 b 2 y a 3 b 3 z | = | a 2 b 2 a 3 b 3 | x | a 1 b 1 a 3 b 3 | y + | a 1 b 1 a 2 b 2 | z .

Definitie
Gegeven is een onafhankelijk paar vectoren ( a , b ) met
a = ( a 1 a 2 a 3 ) en b = ( b 1 b 2 b 3 ) .
We definiëren de vector a × b als ( a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 ) .
We noemen a × b het uitproduct van a en b .
Er geldt:

  1. det ( a , b , x ) = ( a × b ) x

  2. a × b staat loodrecht op a en op b .

  3. | a × b | is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b .

We hebben het uitproduct zó gedefinieerd dat de eerste eigenschap klopt.
De tweede eigenschap volgt uit de eerste:
( a × b ) a = 0 en ( a × b ) b = 0 , want det ( a , b , a ) = 0 en det ( a , b , b ) = 0 .
Dus a × b staat loodrecht op a en op b .
Om de derde eigenschap te bewijzen nemen we een vector n loodrecht op a en b van lengte 1 en zó, dat ( a , b , n ) positief georiënteerd is. Dan enerzijds det ( a , b , n ) is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b , anderzijds het inproduct van a × b met n , maar dat is de lengte van a × b .

Je kunt het inproduct gebruiken om een normaalvector van een vlak te vinden.

Voorbeeld:

Gegeven is het vlak V met pv
( x , y , z ) = ( 2,1,3 ) + s ( 2,2,3 ) + t ( 1,2,0 ) .
We zoeken een vergelijking van V .
Een normaalvector van V is
( 2 2 3 ) × ( 1 2 0 ) = ( 2 0 3 2 3 1 2 0 2 2 2 1 ) = ( 6 3 6 ) .
Een vergelijking is dan 2 x y + 2 z = 9 .

17

Gegeven zijn de vectoren a = ( 1 2 3 ) , b = ( 1 1 1 ) en c = ( 3 1 1 ) .

Bereken a × b , b × c en c × a .

18

Gegeven is het parallellepipedum A B C D . E F G H met A ( 2,0,0 ) , B ( 4,2,1 ) , C ( 5,‐1,0 ) en E ( 2,0,10 ) , zie opgave 82.

Bereken de oppervlakte van het parallellepipedum.

Het uitproduct is niet commutatief en ook niet associatief. Wel gelden de volgende regels (die je met 'uitschrijven' kunt bewijzen).

  1. a × a = 0

  2. a × b = b × a

  3. a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 (identiteit van Jacobi)

  4. a × ( b + c ) = a × b + a × c en a × ( k b ) = k ( a × b ) (lineariteit)

Dit maakt de driedimensionale ruimte tot een Liealgebra.

19

Gegeven zijn de vlakken V met vv x = p + s a + t b en en W met vv x = q + s c + t d .

Welke speciale vector is ( a × b ) × ( c × d ) voor de vlakken V en W ?

Albert Einstein en Hendrik Lorentz, Leiden, 1921
Foto Wikipedia

In de natuurkunde speelt het uitproduct een grote rol. Een voorbeeld is de Lorentzkracht, genoemd naar de Nederlandse wiskundige Hendrik Lorentz (1853-1928).
Een stroom i die door een draad in een magnetisch veld B loopt, ondervindt een kracht F volgens de regel
F = c i × B , waarbij c een constante is die van de gekozen eenheden afhangt.
Lorentz won de Nobelprijs voor natuurkunde (samen met Zeeman) in 1902. Voor meer informatie zie Wikipedia.

Opmerking:

In plaats van met je vingers te werken, kun je ook een kurkentrekker werken.
Je draait (over de kleinste hoek) van a naar b . Als de kurk in de richting van c draait, dan is ( a , b , c ) positief georiënteerd, anders negatief.