Lijnen en vlakken

$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ ‐ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ ‐ 4 \\ 7 \end{matrix})$ is een vectorvoorstelling (vv) van de lijn door het punt $(1,2, ‐ 1)$ met richtingsvector $(\begin{matrix} 0 \\ ‐ 4 \\ 7 \end{matrix})$ .
De bijbehorende parametervoorstelling (pv) is:
$(x, y, z) = (1,2 - 4 t, ‐ 1 + 7 t)$ .

Opmerking
We schrijven in plaats van $(a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3})$ ook $(a_{1}, a_{2}, a_{3}) + (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ en in plaats van $(k \cdot a_{1}, k \cdot a_{2}, k \cdot a_{3})$ ook $k \cdot (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , dus bovenstaande pv schrijven we ook als $(x, y, z) = (1,2, ‐ 1) + t \cdot (0, ‐ 4,7)$ of als
$(x, y, z) = (1,2, ‐ 1) + (0, ‐ 4 t,7 t)$ .

Als twee lijnen niet in één vlak liggen, noemen we kruisend.
Als ze in één vlak liggen zijn ze evenwijdig of snijdend.
Met de hoek van twee (kruisende) lijnen bedoelen we de hoek die ze met elkaar maken als je (een van) beide evenwijdig verschuift, totdat ze elkaar snijden.

Gegeven is een vlak $V$ . Neem een punt $A$ in $V$ . Kies in het vlak door $O$ evenwijdig aan $V$ een onafhankelijk paar vectoren, $\vec{r}$ en $\vec{s}$ . Dan is $\vec{x} = \vec{a} + p \cdot \vec{r} + q \cdot \vec{s}$ , waarbij $p$ en $q$ alle mogelijke waarden aannemen, een vectorvoorstelling(vv) van $V$ , dat wil zeggen:
door voor $p$ en $q$ alle mogelijke waarden te nemen, krijg je voor $\vec{x}$ precies alle plaatsvectoren van punten van $V$ één keer.

Voorbeeld

$V$ is het vlak door de punten $(4,0,0)$ , $(0,3,0)$ en $(0,0,2)$ . Een onafhankelijk paar vectoren in het vlak door $O$ evenwijdig aan $V$ is: $(\begin{matrix} 4 \\ ‐ 3 \\ 0 \end{matrix})$ en $(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .
Een vv is dan: $(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + p \cdot (\begin{matrix} 4 \\ ‐ 3 \\ 0 \end{matrix}) + q \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ ‐ 1 \end{matrix})$ .
De bijbehorende parametervoorstelling van $V$ is dan:
$(x, y, z) = (4 + 4 p + 2 q, ‐ 3 p, ‐ q)$

Vergelijking van een vlak

In het volgende zijn $a$ , $b$ en $c$ getallen niet gelijk aan $0$ .

Het vlak dat de coördinaatassen snijdt in $(a,0,0)$ , $(0, b,0)$ en $(0,0, c)$ heeft vergelijking $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ , zie de figuur linksboven.
Het vlak evenwijdig met de $x$ -as, dat de $y$ -as snijdt in $(0, b,0)$ en de $z$ -as in $(0,0, c)$ , heeft vergelijking $\frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ , zie de figuur midden boven.
Het vlak evenwijdig met het $O x y$ -vlak dat de $z$ -as in $(0,0, c)$ snijdt heeft vergelijking $\frac{z}{c} = 1$ , zie de figuur rechtsboven.

Als $a x + b y + c z = d$ een vergelijking van een vlak is, dan staat de vector $(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ loodrecht op dat vlak.
Een vector die loodrecht op een vlak staat noemen we een normaalvector van dat vlak.
Een lijn die loodrecht op een vlak staat noemen we normaal van dat vlak.

Lengte, inproduct, afstand

Als $X = (x, y, z)$ , dan is de lengte van $\vec{O X} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ , voor alle $x$ , $y$ en $z$ .
De lengte van een vector $\vec{v}$ noteren we als $| \vec{v} |$ .
Het inproduct $\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$ en $\vec{w} = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix})$ is: $v_{1} \cdot w_{1} + v_{2} \cdot w_{2} + v_{3} \cdot w_{3}$ .
We noteren het inproduct van $\vec{v}$ en $\vec{w}$ als: $\vec{v} \cdot \vec{w}$ .
Er geldt: $\vec{v} \cdot \vec{w} = | \vec{v} | \cdot | \vec{w} | \cdot \cos (ϕ)$ ,waarbij $ϕ$ de hoek is tussen de vectoren $\vec{v}$ en $\vec{w}$ .
Als $V$ het vlak met vergelijking $n_{1} \cdot x + n_{2} \cdot y + n_{3} \cdot z - d = 0$ is en $P$ het punt $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ . Dan is de afstand van van $P$ tot $V$ gelijk aan: $\frac{| n_{1} \cdot p_{1} + n_{2} \cdot p_{2} + n_{3} \cdot p_{3} - d |}{\sqrt{{n_{1}}^{2} + {n_{2}}^{2} + {n_{3}}^{2}}}$ .

Hoeken

De hoek van een lijn met een vlak α is de hoek de lijn met zijn (loodrechte) projectie op dat vlak maakt, zie de figuur linksboven.
Als β de hoek tussen de lijn en een normaal van het vlak is (de hoek die de lijn uit het lood staat), dan is $α + β = 90 °$ .

De hoek van twee vlakken is de hoek van de vlakken die je ziet als je langs de snijlijn kijkt, dus de hoek die de snijlijnen van de twee vlakken met een vlak loodrecht op de snijlijn met elkaar maken, zie de figuur rechtsboven.
Deze hoek heeft dezelfde grootte als de hoek tussen normalen van de twee vlakken.

De determinant

Gegeven zijn twee vectoren $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .
Met het parallellogram opgespannen door $\vec{a}$ en $\vec{b}$ bedoelen we het parallellogram $O A B C$ waarbij $C$ het punt is met plaatsvector $\vec{a} + \vec{b}$ , zie figuur 1.

figuur 1

figuur 2

De determinant in dimensie 2
Gegeven zijn de vectoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$ en $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$ .
Draai $\vec{a}$ over de kleinste hoek om $O$ naar $\vec{b}$ .

Als dat linksom is, noemen we het paar vectoren $(\vec{a}, \vec{b})$ positief georiënteerd, anders negatief georiënteerd, zie figuur 2.
Met de determinant van het paar $(\vec{a}, \vec{b})$ ook wel de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram opgespannen door $(\vec{a}, \vec{b})$ bedoelen we

de oppervlakte van dat parallellogram als het paar $(\vec{a}, \vec{b})$ positief georiënteerd is,
het tegengestelde van die oppervlakte als het paar $(\vec{a}, \vec{b})$ negatief georiënteerd is.

We noteren dit als $det (\vec{a}, \vec{b})$ , de determinant van $(\vec{a}, \vec{b})$ ). Stelling
$det (\vec{a}, \vec{b})$ $= a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}$ .
In plaats van $det (\vec{a}, \vec{b})$ schrijven we vaak $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |$ .

De determinant in dimensie 3

parallellepipedum

Gegeven is een rij van drie vectoren $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ .
In de figuur hiernaast is het parallellepipedum opgespannen door $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ getekend.
Als je (over de kleinste hoek van $\vec{a}$ naar $\vec{b}$ draaiend, een kurkentrekker in dezelfde richting gaar als $\vec{c}$ , noemen we de rij $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ positief georiënteerd, anders negatief georiënteerd
In de figuur hieronder zie je drie voorbeelden.

De determinant $det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ is de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ als $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ positief georiënteerd is, anders het tegengestelde van de inhoud.

Stelling
Gegeven zijn de vectoren $\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ en $\vec{c} = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})$ , dan:
$det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) =$
$a_{1} \cdot b_{2} \cdot c_{3} +$ $a_{2} \cdot b_{3} \cdot c_{1} +$ $a_{3} \cdot b_{1} \cdot c_{2} +$
$- a_{3} \cdot b_{2} \cdot c_{1} -$ $a_{2} \cdot b_{1} \cdot c_{3} -$ $a_{1} \cdot b_{3} \cdot c_{2}$ .
In plaats van $det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ schrijven we wel: $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} |$ .

Er geldt:

$det (\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{x}$

Het uitproduct

Gegeven is een onafhankelijk paar vectoren $(\vec{a}, \vec{b})$ met
$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ en $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$ .
We definiëren de vector $\vec{a} \times \vec{b}$ als $(\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})$ .
We noemen $\vec{a} \times \vec{b}$ het uitproduct van $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .
Er geldt:

$\vec{a} \times \vec{b}$ staat loodrecht op $\vec{a}$ en op $\vec{b}$ .
$| \vec{a} \times \vec{b} |$ is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door $\vec{a}$ en $\vec{b}$ .

De inhoud van een parallellepipedum

parallellepipedum

De inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ en $\vec{c}$ is de absolute waarde van $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ .