Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

De wereldbevolking 1
Op 1 januari 2010 telt de wereld $6,84$ miljard mensen en groeit jaarlijks met $1,1$ %. Veronderstel dat dit percentage de komende jaren hetzelfde blijft.

Bereken dan de wereldbevolking 1 januari van de jaren 2011 tot en met 2015.

Merk op dat in dit model de wereldbevolking niet lineair groeit.

Leg dat uit.

Geef een formule voor de wereldbevolking in het jaar 2000 $+ t$ .

Opmerking
De Verenigde Naties gaat ervan uit dat de bevolkingsgroei na 2020 zal afzwakken.

Een ketel kokend water
Een ketel kokend water wordt in de buitenlucht geplaatst. Volgens een principe uit de natuurkunde is het temperatuurverlies van de ketel per minuut evenredig met het temperatuurverschil tussen de ketel en zijn omgeving. De buitenlucht heeft een temperatuur van $0 °$ C. Wij nemen voor de evenredigheidsconstante $0,2$ . Dus na $1$ minuut is de temperatuur $100 - 0,2 \cdot 100 = 80 °$ C.

Bereken de temperatuur na $2$ , $3$ , $4$ en $5$ minuten.

Geef een formule voor de temperatuur $T$ van het water in de ketel in $°$ C na $t$ minuten.

Je laat dezelfde ketel kokend water in de kamer afkoelen. De kamertemperatuur is $20$ $°$ C.

Geef een formule voor de temperatuur $U$ van het water in de ketel in $°$ C na $t$ minuten.

Discussie

Hoe snel de temperatuur afneemt hangt af de grootte van de temperatuur op dat moment.
Hoe snel een bevolking toeneemt, hangt af van de grootte van de bevolking op dat moment.
Zoiets komt vaker voor:
Hoe snel een spaarkapitaal groeit, hangt af van de grootte van het kapitaal.
Hoe snel een griep om zich heen grijpt, hangt af van het aantal mensen dat de griep al heeft en van het aantal mensen dat de griep nog niet heeft (de vatbaren)

Dit zijn voorbeelden van een dynamisch model. Hiermee heb je in het hoofdstuk Discrete dynamische modellen al kennis gemaakt.
We spreken van een model omdat de werkelijkheid (sterk) wordt vereenvoudigd.
Bij de afkoeling van de ketel water is bijvoorbeeld de buitenlucht op constant $0 °$ C gesteld.
Bij de bevolkingsgroei zijn de aannames erg twijfelachtig dat het percentage geboortes en door migratie constant zijn.
Een model beschrijft de werkelijkheid zelden helemaal goed. Toch is het zinvol om met modellen te werken, omdat ze inzicht geven hoe het proces zich globaal zou kunnen ontwikkelen.
We hebben de bevolkingtoename per heel jaar bekeken en de afkoeling per minuut. Maar de bevolking groeit voortdurend en de ketel water koelt voortdurend af. In feite zijn dit dus continue processen. Zo gaan we ze nu bekijken.
De Nederlandse bevolking neemt weliswaar steeds met één mens toe of af, maar omdat het over zulke grote aantallen gaat, kunnen we het toch als (nagenoeg) continu beschouwen.

De Engelse dominee Malthus publiceerde in 1798 het boek An Essay on the principle of population. In dat boek beschreef hij een model voor bevolkingsgroei. Binnen een gesloten bevolking zal zowel het aantal geboorten als het aantal sterfgevallen gedurende een zeker tijdsinterval evenredig zijn:
- met het aantal leden van de bevolking op het tijdstip $t$ , zeg $N (t)$ of kortweg $N$ , en
- met de lengte van het tijdsinterval, zeg $Δ t$ .

De wereldbevolking 2
Als dat het geboortepercentage per jaar gelijk is aan $g$ en het sterftepercentage aan $s$ , dan wordt de toename $Δ N$ van de bevolking gedurende een tijdsinterval van lengte $Δ t$ gegeven door: $Δ N = \frac{g - s}{100} \cdot N \cdot Δ t$ .

Ga dat na.

Het getal $\frac{g - s}{100}$ heet de groei-index, ook wel het bevolkingsoverschot genoemd.
De groei-index korten we af met $k$ . Als we $Δ t$ tot $0$ laten naderen, dan gaat $\frac{Δ N}{Δ t}$ naar $\frac{d N}{d t}$ . De bevolkingsgroei volgens Malthus wordt dan beschreven door: $\frac{d N}{d t} = k \cdot N$ , Het bevolkingsoverschot is $17$ per duizend mensen. Dat wil zeggen dat de wereldbevolking in één jaar tijd met $17$ duizendste deel toeneemt. We rekenen de tijd $t$ in jaren sinds 1900 en de bevolking $N$ in miljarden ( $t = 0$ in 1900).
Er geldt dus: $\frac{d N}{d t} = 0,017 \cdot N$ .

Ga na dat de functie $N = a \cdot e^{0,017 t}$ voor elke getal $a$ hieraan voldoet.

In 1987 werd de vijfmiljardste aardbewoner geboren.

Bereken $a$ .

Voorspel op grond van dit model wanneer de wereld haar tienmiljardste bewoner kan verwelkomen.

Het is duidelijk dat er maar één functie $t$ is waarvoor geldt: $\frac{d N}{d t} = 0,017 N$ en $N (87) = 5$ .
$\frac{d N}{d t} = 0,017 N$ is weer een differentiaalvergelijking.
Tezamen met de waarde $N (87) = 5$ beschrijft de differentiaalvergelijking het continue dynamische proces.

Het volgende schrijft Peter Ekamper in het blad Demos in 2017.
Stond de teller in 2011 nog op $7$ miljard, inmiddels is de wereldbevolking de grens van $7 \frac{1}{2}$ miljard mensen gepasseerd. En hoewel het groeitempo daalt verwachten de Verenigde Naties nog een verdere bevolkingsgroei, op de lange termijn mogelijk tot ruim $11$ miljard mensen.

Thomas Malthus 1766-1834

Malthus was een pessimistisch econoom. Hij voorspelde dat de wereldbevolking exponentieel zou groeien en dat de voedselproductie lineair zou groeien. Er zouden daarom hongersnoden uitbreken, tenzij er maatregelen werden getroffen om de bevolkingsgroei af te remmen.
Malthus profeteerde dus overbevolking. Achteraf bleek zijn theorie niet te kloppen. De landbouw is namelijk zo sterk gegroeid dat veel meer mensen konden worden gevoed dan Malthus dacht. Maar het idee dat de bevolkingsgroei en de groei van de landbouw op elkaar moeten worden afgestemd blijft overeind.
Het befaamde Rapport van de Club van Rome uit 1972 is daarop gebaseerd.

Afkoeling
De temperatuur van de ketel water in opgave 3 noemen we $T$ (in $° C$ ), de tijd $t$ (in minuten). In het begin is de temperatuur van de ketel $100 ° C$ , dus $T (0) = 100$ .
Het verlies aan warmte tussen de tijdstippen $t$ en $t + Δ t$ is evenredig met $Δ t$ en met $T (t)$ . Hierbij is $c$ een negatieve constante.
Dus $T (t + Δ t) - T (t) = c \cdot T (t) \cdot Δ t$ .

Laat zien dat hieruit volgt dat $\frac{d T}{d t} = c \cdot T$ .

Toon aan dat de functie $T = a \cdot e^{c \cdot t}$ hieraan voldoet voor elk getal $a$ .

Bereken hoe groot in dit geval $a$ is.

Veronderstel dat de temperatuur na $5$ minuten $30 ° C$ is.

Bereken de evenredigheidsconstante $c$ .

Na hoeveel minuten is de temperatuur $10 ° C$ ?

Het is duidelijk dat er maar één functie $T$ is waarvoor geldt: $\frac{d T}{d t} = ‐ 0,24 \cdot T$ en $T (0) = 100$ .
$\frac{d T}{d t} = ‐ 0,24 \cdot T$ is een differentiaalvergelijking. Tezamen met met de waarde $T (0) = 100$ beschrijft de differentiaalvergelijking het continue dynamische proces.

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking voor een functie waarin, naast eventueel de functie zelf, de afgeleide van die functie voorkomt. Als er bovendien één waarde van de functie gegeven is, is de functie in het algemeen helemaal bepaald. Het is zaak die ene functie te vinden: dat is de oplossing van de differentiaalvergelijking.

Leibniz

Differentialen
In een differentiaalvergelijking wordt een verband gelegd tussen twee differentialen, hierboven $d T$ en $d t$ . Differentialen werden geïntroduceerd door Duitse wiskundige G.W.Leibniz (1646-1716); zie ook wiskunde B, hoofdstuk 6 Inleiding differentiëren.
In de opgaven komt steeds een verhouding van differentialen voor, zoals $\frac{d T}{d t}$ . Die kun je, zoals je gewend bent, steeds lezen als de afgeleide van $T$ als functie van $t$ .

Een trechter vullen
We laten een kegelvormige trechter vol water lopen. De vulsnelheid is constant, dat wil zeggen dat er elke minuut evenveel water uit de kraan stroomt. Als we beginnen is de trechter nog leeg. We bekijken de hoogte $h$ (in dm) van de vloeistofspiegel als functie van de tijd $t$ (in minuten).
$\frac{d h}{d t}$ is de snelheid waarmee de hoogte van de waterspiegel toeneemt (in dm/min). Die snelheid is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de hoogte. Immers, als de hoogte $3$ keer zo groot is, is de oppervlakte van de vloeistofspiegel $9$ keer zo groot en neemt de hoogte dus $9$ keer zo langzaam toe.)
In formule: $\frac{d h}{d t} = c \cdot \frac{1}{h^{2}}$ .
De evenredigheidsconstante $c$ hangt af van de vulsnelheid en van de tophoek van de kegel. We nemen $c = 4$ .

Bereken $\frac{d h}{d t}$ als $h = 1$ , $h = 2$ , $h = 3$ en $h = 4$ .

Wat is de groeisnelheid van $h$ , als $h = 0$ ?
Wat betekent dit voor de grafiek van $h$ ?

$\frac{d h}{d t} = \frac{4}{h^{2}}$ is een differentiaalvergelijking.
De differentiaalvergelijking legt tezamen met de beginwaarde $h (0) = 0$ het continue dynamische proces vast. In dit voorbeeld kun je niet zo gemakkelijk een oplossing vinden. Hoe dat kan zullen we in het vervolg zien.

We bekijken een functie $y$ van $x$ waarvoor geldt: $\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{1}{4} x y$ .
Door deze formule is de functie $y$ nog niet helemaal vastgelegd.
We gaan de grafieken van mogelijke functies $y$ benaderen.
Stel dat de grafiek door $(2,3)$ gaat. Dan is in het punt met eerste coördinaat $2$ de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ gelijk aan $‐ 1 \frac{1}{2}$ .

Ga dat na.

Dit is hiernaast aangegeven met een stukje raaklijn. De lengte van het stukje doet niet ter zake.

Bereken zo ook de groeisnelheid van $y$ als de grafiek door de punten $(2,2)$ , $(2,1)$ , $(2,0)$ en $(2, ‐ 1)$ .

Teken de raaklijnstukjes uit het vorige onderdeel en ook de raaklijnstukjes in de volgende punten: $(‐ 1,3)$ , $(‐ 1,2)$ , $(‐ 1,0)$ , $(0,3)$ , $(0,2)$ , $(0,1)$ , $(0,0)$ en $(0, ‐ 1)$ .

Als je genoeg raaklijnstukjes tekent, krijg je een aardig beeld van de grafieken van de mogelijke functies $y$ .

Schets op het werkblad de grafiek van enkele mogelijke functies die voldoen aan de differentiaalvergelijking.

In GeoGebra kun je een heleboel raaklijnstukjes tekenen met het commando: Raakveld<f(x,y)>. Zo'n plaatje heet ook wel een richtingsveld.
De lengte van de lijnstukjes kun je regelen met de 'Length Multiplier a'. Voor a kun je een getal tussen $0$ en $1$ invullen.
Tenslotte kun je een oplossing tekenen door een punt tekenen met het commando MeetkundigePlaats(<Slopefield>, <Punt>).

$\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{1}{4} \cdot x y$ is een differentiaalvergelijking. Als je de functiewaarde $y$ bij een zekere waarde van $x$ kent, kun je de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ uitrekenen.
Als je de waarde van $y$ voor een bepaalde waarde van $x$ kent, bijvoorbeeld $y (2) = 3$ , heb je een startpunt (in dit geval $(2,3)$ ). En met de differentiaalvergelijking kun je de groeisnelheid $\frac{d y}{d x}$ in dat punt uitrekenen. Het verloop van de functie is dan door de differentiaalvergelijking meestal vastgelegd.
Deze gegeven waarde van $y$ voor een zekere $x$ heet de beginwaarde (ook als hij niet aan het begin van het domein van de functie ligt). Verderop in dit hoofdstuk zullen we zien welke de formules van de mogelijke functies zijn.

Een differentiaalvergelijking geeft de groeisnelheid van een functie in een punt als je de coördinaten van dat punt kent.
Een functie die in elk punt van de grafiek de door de differentiaalvergelijking voorgeschreven groeisnelheid heeft, dus in het richtingsveld 'past', is een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking.

Galileo Galilei, 1564-1642

De vrije val
Een steen valt van een toren. Hierbij verwaarlozen we de wrijving: er is sprake van een “vrije val”. Neem aan dat de steen na $t$ seconden $y$ meter gevallen is.
Galileï heeft twee modellen voor de vrije val beschouwd.
Eerste model: de valsnelheid is evenredig met de valweg.
Tweede model: de valsnelheid is evenredig met de valtijd.
Een differentiaalvergelijking die bij het eerste model past is van de vorm: $\frac{d y}{d t} = ‐ c \cdot y$ , voor een of ander getal $c > 0$ .
(Het minteken staat er omdat de beweging naar beneden gaat.)

Schrijf een differentiaalvergelijking op die bij het tweede model hoort.

Ga na dat functies van de vorm $y = a \cdot e^{‐ c \cdot t}$ aan de differentiaalvergelijking bij het eerste model voldoen.

Galileï had zich vergist: het eerste model kan onmogelijk goed zijn. We komen hier nog op terug.
De differentiaalvergelijking bij het tweede model is: $\frac{d y}{d t} = ‐ c \cdot t$ , waarbij $c$ de valversnelling is. We ronden $c$ af op $10$ , zodat de differentiaalvergelijking bij het tweede model wordt: $\frac{d y}{d t} = ‐ 10 \cdot t$ .

Bedenk oplossingsfuncties $y$ die aan de differentiaalvergelijking bij het tweede model voldoen.

Het tweede model blijkt correct te zijn.

De toren is $50$ meter hoog. De oplossingsfunctie heeft dus startpunt $(0,50)$ .

Bepaal de formule voor $y$ bij het tweede model met startpunt $(0,50)$ .

Bereken met welke snelheid de steen de grond raakt.