1

Bekijk opnieuw de differentiaalvergelijking van opgave 5:
$\frac{d y}{d x} = ‐ 0,24 \cdot y$ .

a

Teken het richtingsveld bij deze differentiaalvergelijking.

b

Schets een oplossingsfunctie met startpunt $(0,4)$ .

2

Bekijk de functies $f$ met de eigenschap: $f^{'} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

a

Schrijf op aan welke differentiaalvergelijking de functies met die eigenschap voldoen: $\frac{d y}{dx} = \dots$ .

b

Teken het richtingsveld van de differentiaalvergelijking.

c

Lees uit het richtingsveld af welke functies $f$ kan zijn.

d

Ga na dat voor deze functies $f$ inderdaad geldt: $f^{'} (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

3

Gegeven de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} {(x + y)}^{2} - 2$ .
Hieronder is het richtingsveld van deze differentiaalvergelijking getekend.

Twee oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking zijn lineair, namelijk $y = ‐ x + 2$ en $y = ‐ x - 2$ .

a

Controleer dat in het richtingsveld op het werkblad.

Dat de lijn $y = ‐ x + 2$ inderdaad aan de differentiaalvergelijking voldoet, kun je als volgt controleren.
Enerzijds: in elk punt van de grafiek van $y = ‐ x + 2$ geldt dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn $‐ 1$ is.
Anderzijds: in elk punt van de lijn $y = ‐ x + 2$ geldt: $\frac{1}{4} {(x + y)}^{2} - 2 = \frac{1}{4} {(x + ‐ x + 2)}^{2} - 2 = ‐ 1$ .
Dus in elk punt van de functie $y = ‐ x + 2$ is de groeisnelheid gelijk aan de door de differentiaalvergelijking voorgeschreven groeisnelheid.
We noemen dit controle door substitutie.

b

Controleer zo ook door substitutie dat $y = ‐ x - 2$ aan de differentiaalvergelijking voldoet.

c

Wat is de kleinste waarde van de richtingscoëfficiënt van de raaklijnstukjes? In welke punten is de richtingscoëfficiënt gelijk aan deze minimale waarde?

d

Schets op het werkblad van enkele oplossingsfuncties de grafiek.

4

Hiernaast staat het richtingsveld van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = ‐ \frac{x}{y}$ .

a

Ga voor enkele raaklijnstukjes na dat ze de juiste richting hebben.

b

Hoe zien de oplossingskrommen eruit?

We bekijken de cirkel met middelpunt $O (0,0)$ en straal $4$ . Een vergelijking van de cirkel is: $x^{2} + y^{2} = 16$ .
De bovenste helft van de cirkel is de grafiek van de functie $f$ .

c

Geef een formule van de functie $f$ en ga door substitutie na dat deze functie oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking is.

$g$ is de functie waarvan de onderste helft van de cirkel de grafiek is.

d

Geef de formule van $g$ .

e

Controleer ook door substitutie dat de functie $g$ oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking is.

5

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = y - x^{2} + 4 x$ .

a

Teken de verzameling punten $(x, y)$ waarin het raaklijnstukje richtingscoëfficiënt $0$ heeft.

Een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking heeft als grafiek een parabool.

b

Geef een vergelijking van die parabool.

(hint)

Je zoekt een oplossingsfunctie van de vorm:

y = a x^{2} + b x + c

, voor zekere

a

,

b

en

c

, met

a \neq 0

.

6

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = 0,2 {(x + y)}^{2}$ .
Hieronder staat het richtingsveld van deze differentiaalvergelijking.

a

Schets op het werkblad van enkele oplossingsfuncties de grafiek.

Alle oplossingsfuncties zijn stijgend.

b

Hoe zie je dat aan de differentiaalvergelijking?

c

In welke punten is de richtingscoëfficiënt van het raaklijnstukje gelijk aan $1$ ? En waar is de richtingscoëfficiënt gelijk aan $4$ ?

7

Een kegelvormige kaars is $20$ cm hoog en aan de onderkant $10$ cm breed. Hiernaast staat ook het zijaanzicht van de kaars na $t$ branduren. We beschouwen de hoogte $h$ van de kaars (in cm) als functie van de tijd $t$ dat de kaars brandt (in uren).

a

Welke van de drie grafieken hieronder past het best bij deze functie?

$r (h)$ is de straal van de doorsnede van de kaars op hoogte $h$ .

b

Toon aan dat $r (h) = 5 - \frac{1}{4} h$ .

$O (h)$ is de oppervlakte van de doorsnede van de kaars op hoogte $h$ . Er geldt: $O (h) = π {(r (h))}^{2}$ .
Een redelijke veronderstelling is: de snelheid waarmee de kaars korter wordt is omgekeerd evenredig met $O (h)$ .

c

Laat zien dat $h$ voldoet aan het beginwaardeprobleem $\frac{d h}{dt} = ‐ c \cdot \frac{1}{{(20 - h)}^{2}}$ en $h (0) = 20$ . Hierbij is $c$ een positieve constante die bijvoorbeeld afhangt van de kwalititeit van de was van de kaars.

d

Toon aan dat $h = 20 - \sqrt[3]{3 c t}$ oplossingsfunctie van het beginwaardeprobleem is.

De kaars is na $8$ uur opgebrand.

e

Bereken $c$ .

8

Een leegstromend vat
Een cilindervormig vat is gevuld met water. Onderin zit een gaatje waardoor water wegstroomt. We bekijken de hoogte $h$ (in cm) van de waterspiegel als functie van de tijd $t$ (in minuten). Een wet uit de hydrodynamica zegt:
$\frac{d h}{d t} = ‐ c \sqrt{h}$ . Hierbij hangt de positieve evenredigheidsconstante $c$ af van de vorm en grootte van het gaatje en van de straal van het vat. Voor $c$ nemen we $2$ .

a

Hoe snel daalt de waterspiegel als het water nog maar $25$ cm hoog staat?

b

Laat zien dat voor elke $p > 0$ de functie $h = {(p - t)}^{2}$ oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking is voor $0 \leq t \leq p$ .

Op tijdstip $0$ staat het water $1$ meter hoog.

c

Bereken $p$ .

d

Na hoeveel minuten is het vat leeg?