Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

Van een functie $f$ is gegeven $f (1) = 3$ en $f^{'} (1) = 2$ .

Hoe groot schat je op grond hiervan $f (1,01)$ ?

In hoofdstuk 6 wiskunde B Inleiding differentiëren heb je gezien: $f^{'} (a) = \lim_{Δ a \to 0} \frac{f (a + Δ a) - f (a)}{Δa}$ .
Dus $f^{'} (a) \approx \frac{f (a + Δ a) - f (a)}{Δa}$ en die benadering is beter naarmate $Δ a$ dichter bij $0$ ligt.
Hieruit vind je het volgende.

$f (a + Δ a) \approx f (a) + f^{'} (a) \cdot Δ a$ voor kleine waarden van $Δ a$

Bovenstaande gebruiken we om oplossingen van differentiaalvergelijkingen te benaderen.

We bekijken de volgende differentiaalvergelijking: $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x y$ . Het richtingsveld van de differentiaalvergelijking is hiernaast getekend en staat ook op het werkblad.
$f$ is de oplossingsfunctie met $f (0) = 1$ .

Schets de grafiek van $f$ op het werkblad.

We gebruiken de regel $f (a + Δ a) \approx f (a) + f^{'} (a) \cdot Δ a$ , waarbij we voor $Δ a$ steeds $1$ nemen om uitgaande van $f (0)$ achtereenvolgens $f (1)$ , $f (2)$ , ... enzovoort te benaderen.
In $(0,1)$ heeft het raaklijnstukje richtingscoëfficiënt $0$ , dus $f (1) \approx f (0) + 0 \cdot 1 = 1$ .
In $(1,1)$ heeft het raaklijnstukje richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2}$ , dus $f (2) \approx f (1) + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 \frac{1}{2}$ .
In $(2,1 \frac{1}{2})$ heeft het raaklijnstukje richtingscoëfficiënt $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ , dus $f (3) \approx 1 \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2} \cdot 1 = 3$ .

Geef, op dezelfde manier verder gaand, een benadering voor $f (4)$ .

Zijn de benaderingen die we hierboven voor $f (1)$ , $f (2)$ , $f (3)$ en $f (4)$ gegeven hebben groter of kleiner dan de echte functiewaarden van $f$ in $1$ , $2$ , $3$ en $4$ ?

We hebben benaderingen van de functiewaarden van $f$ gekregen door stappen van lengte $1$ in de $x$ -richting te nemen. Je krijgt betere benaderingen, door in de $x$ -richting stappen kleiner dan $1$ te nemen, bijvoorbeeld $\frac{1}{2}$ . Je gaat dn vervolgens zó verder,
$f (\frac{1}{2}) \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot 1 = 1$ .
In $(\frac{1}{2},1)$ heeft het raaklijnstukje richtingscoëffiënt $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$ , dus $f (1) \approx 1 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{8}$ .

Welke benadering vind je zo voor $f (1 \frac{1}{2})$ en $f (2)$ ?

In de voorgaande opgave hebben we de oplossingsfunctie $f$ van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x y$ met beginwaarde $f (0) = 1$ benaderd met een rij punten $(a_{n}, b_{n})$ $n = 0, 1, \dots$ , met $(a_{0}, b_{0}) = (0,1)$ .
Als de stapgrootte in de $x$ -richting $1$ is, dan is $a_{n + 1} = a_{n} + 1$ en
$b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{2} \cdot a_{n} b_{n} \cdot 1$ voor $n = 0, 1, \dots$ .

De rijen $a_{n}$ en $b_{n}$ , $n = 0, 1, \dots$ kun je met de GR berekenen.

We gaan verder met opgave 18.

Voer de bovenstaande berekening uit op je GR.
Controleer of je uitkomsten in overeenstemming zijn met je antwoord op vraag 18b

Veronderstel dat je de oplossingsfunctie van het beginwaardeprobleem uit opgave 18 met een rij punten $(a_{n}, b_{n})$ benadert, waarbij de stapgrootte in de $x$ -richting $\frac{1}{2}$ is.

Schrijf de recursieve betrekkingen voor de rijen $a_{n}$ en $b_{n}$ op.
Controleer of je dezelfde waarde voor $f (2)$ vindt.

Leonard Euler 1707-1783

Hoe kleiner de stapgrootte genomen wordt, hoe beter de benaderingen zijn.
Deze manier om de oplossingsfunctie te benaderen, heet de methode van Euler.

Veronderstel dat je de oplossingsfunctie van het beginwaardeprobleem met een rij punten $(a_{n}, b_{n})$ benadert, waarbij de stapgrootte in de $x$ -richting $\frac{1}{100}$ is.

Schrijf de recursieve betrekkingen voor de rijen $a_{n}$ en $b_{n}$ op.
Welke waarde vind je voor $f (2)$ (afgerond op drie decimalen)?

$g$ is de oplossingsfunctie van het beginwaardeprobleem:
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x y$ en $g (2) = 1$ .

Schets de grafiek van $g$ op het werkblad van opgave 18.

Schrijf de recursieve betrekkingen voor de rijen $a_{n}$ en $b_{n}$ met stapgrootte $\frac{1}{2}$ op.

We gaan verder met opgave 18.
Voor elk getal $c$ definiëren we: $y_{c} = c \cdot e^{\frac{1}{4} x^{2}}$ . de functie

Toon aan dat de functie $y_{c}$ voor elke waarde van $c$ aan de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x y$ voldoet.

Geef formules voor de functies $f$ en $g$ uit de voorgaande twee opgaven.

Uit je antwoord op vraag b volgt dat $f (2) = e$ .

Vergelijk dit met je benadering van $f (2)$ in opgave 19c.

Opmerking:

Je kunt de rijen $(a_{n}, b_{n})$ $n = 0, 1, \dots$ op de GR plotten. Het resultaat is een stippengrafiek die de oplossingsfunctie benadert.

Mottenbal
Een mottenbal is een bolletje kamfer. Door verdamping wordt het bolletje steeds kleiner.

Wat is de oppervlakte (in mm² nauwkeurig) van een mottenbal met een volume van $1,2$ cm³?

(hint)

De inhoud van een bol met straal

r

en de oppervlakte is is

4 π r^{2}

Stel een formule op voor de oppervlakte $O$ van een mottenbal (in cm²) als functie van zijn volume $V$ (in cm³).

Het gewicht van de mottenbal noemen we $G$ (in grammen), de tijd noemen we $t$ (in weken). Hoe groter de oppervlakte van de mottenbal, hoe groter de verdamping. We nemen aan dat de snelheid waarmee het gewicht afneemt evenredig is met de oppervlakte van het bolletje. Deze aanname leidt tot de volgende differentiaalvergelijking: $\frac{d G}{d t} = ‐ c \cdot G^{\frac{2}{3}}$ voor een of ander getal positief getal $c$ .
$c$ hangt af van de omstandigheden en kan experimenteel bepaald worden. We nemen voor $c = 0,03$ .
Een mottenbal weegt $8$ gram.

Bepaal met de methode van Euler hoeveel gram de mottenbal weegt na $1$ week. Neem stapgrootte $0,1$ .
Licht je antwoord toe.

De methode van Euler
Gegeven een differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c (x, y)$ met beginwaarde $(p, q)$ .
Een benadering van de oplossingsfunctie met stippen $(a_{n}, b_{n})$ met waarbij $(a_{0}, b_{n}) = (p, q)$ met stapgrootte $Δ$ in de $x$ -richting vind je met:
$a_{n + 1} = a_{n} + Δ$ en $b_{n + 1} = b_{n} + c (a_{n}, b_{n}) \cdot Δ$ .

Opmerking:

In opgave 18 en 19 is $c (x, y) = \frac{1}{2} x y$ .
Bij de functie $f$ is $(p, q) = (0,1)$ en de stapgrootte $Δ$ achereenvolgens $1$ , $\frac{1}{2}$ en $\frac{1}{100}$ .
Bij de functie $g$ is $(p, q) = (2,1)$ .
In opgave 21 is $c (x, y) = ‐ 0,3 y^{\frac{2}{3}}$ .

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{3} \sqrt{x y}$ , met $x$ en $y$ positief.
De oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking door het punt $(1,4)$ noemen we $f$ .

Benader $f (2)$ met de methode van Euler met stapgrootte $0,01$ .
Schrijf je werkwijze op.

Toon aan dat de functies $x \to {(\frac{4}{9} x \sqrt{x} + c)}^{2}$ met $c$ positief aan de differentiaalvergelijking voldoen.

Geef een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking die door $(1,4)$ gaat.