Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

In paragraaf 2 hebben we de bevolkingsgroei volgens Malthus bekeken. De bijbehorende differentiaalvergelijking was van de vorm: $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ , waarbij $c$ een of andere constante is. Een oplossingsfunctie van deze differentiaalvergelijking is een voorbeeld van ongeremde groei.
Hieronder zie je richtingsvelden van de differentiaalvergelijking als $c = 1,2$ (figuur 1) en als $c = ‐ 0,8$ (figuur 2).
We nemen $y$ positief.

Wat kun je zeggen over oplossingsfuncties bij $c = 1,2$ in vergelijking met oplossingsfuncties bij $c = ‐ 0,8$ ?

Oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ door $(0,1)$ zijn van de vorm $y = e^{c \cdot x}$ .

Controleer dat.

Ga na dat de functies $y = a \cdot e^{1,2 \cdot x}$ met $a$ positief, oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = 1,2 \cdot y$ zijn.
Geef een formule van de oplossingsfunctie die door het punt $(3,2)$ gaat.

Geef een formule van de oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = ‐ 0,8 \cdot y$ , die door $(1,1)$ gaat.

We bekijken de functies $y_{k} = e^{1,2 \cdot (x - k)}$ voor elke waarde $k$ . Omdat $y_{0} = e^{1,2 \cdot x}$ aan de differentiaalvergelijking voldoet, voldoet elk van de functies $y_{k}$ .

Hoe zie je dat aan het richtingsveld in figuur 1?

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ , voor alle mogelijke waarden van $c$ en de functies $y = a \cdot e^{c \cdot x}$ voor alle mogelijke waarden van $a$ .

Ga na dat de functie $y = a \cdot e^{c \cdot x}$ oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking is, voor elke waarde van $a$ .

We nemen $c = 1,5$ .

Geef een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking die door $(1,2)$ . Ook een die door $(1, ‐ 2)$ en een die door $(‐ 1, ‐ 2)$ gaat.

Het zal duidelijk zijn dat je bij gegeven waarde van $c$ bij elk punt van het vlak de waarde van $a$ berekenen, zó dat de functie $y = a \cdot e^{c \cdot x}$ door dat punt gaat.

Ongeremde groei
De differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ hoort bij ongeremde groei.
Oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking zijn van de vorm $y = a \cdot e^{c \cdot x}$ , voor alle mogelijke waarden van $a$ .
Door elk punt van het vlak gaat een functie van deze vorm. Een oplossingsfunctie met domein $ℝ$ (de verzameling van alle reële getallen) is door zijn startpunt vastgelegd.

De laatste bewering bewijzen we in opgave 25.

Opmerking:

Neem de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = 2 \cdot y$ .
Functies die ontstaan door "knippen en plakken" uit de oplossingsfuncties $y = a \cdot e^{2 \cdot x}$ bijvoorbeeld de functie:
${\begin{cases} y = 3 \cdot e^{2 \cdot x} als x > 0 \\ y = 2 \cdot e^{2 \cdot x} als x < 0 \end{cases}$
voldoen ook aan de differentiaalvergelijking.
Die 'plakfunctie' heeft niet als domein $ℝ$ en de functie:
${\begin{cases} y = a \cdot e^{2 \cdot x} als x \geq 0 \\ y = 2 \cdot e^{2 \cdot x} als x < 0 \end{cases}$ heeft $ℝ$ wel als domein maar is niet differentieerbaar in $0$ .

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ . Neem aan dat $f$ een oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking is met domein $ℝ$ .

Toon aan dat de functie $y = f (x) \cdot e^{‐ c \cdot x}$ als afgeleide de $0$ -functie heeft.

Uit het vorige onderdeel volgt dat de functie $y = f (x) \cdot e^{‐ c \cdot x}$ constant is.

Hoe volgt nu dat $f$ een functie van de vorm $y = a \cdot e^{c \cdot x}$ is?

Radioactief verval
Radioactieve stoffen worden naarmate de tijd verstrijkt minder radioactief. Experimenteel is vastgesteld dat de snelheid waarmee de radioactiviteit afneemt (de vervalsnelheid) evenredig is met de hoeveelheid aanwezige stof. Als $h$ de hoeveelheid radioactive stof (in gram) is, geldt dus: $\frac{d h}{d t} = ‐ c \cdot h$ .
We rekenen de tijd $t$ in dagen.

Verklaar het minteken in de differentiaalvergelijking.

In de geneeskunde wordt vaak jodium-125 gebruikt. De halveringstijd hiervan is $60$ dagen.

Toon aan dat $c = \frac{\ln (2)}{60}$ .

De differentiaalvergelijking die het verval van een andere radioactieve stof beschrijft luidt: $\frac{d h}{d t} = ‐ 0,0035 \cdot h$ .

Wat is de halveringstijd van deze radioactieve stof?

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot y$ .
De oplossingsfuncties zijn exponentiële-groeifuncties.

Wat is het verband tussen $c$ en de groeifactor?

Afkoeling
De eerste opgave van dit hoofdstuk ging over het afkoelen van een ketel water in een omgeving van $0 °$ C. Voor de temperatuur $T$ in $° C$ $t$ minuten afkoelen, gold: $\frac{d T}{d t} = ‐ 0,2 \cdot T$ .
Veronderstel dat de begintemperatuur $80 ° C$ is.

Bepaal de temperatuur van de ketel na $5$ minuten afkoelen.
Doe dit ook als de begintemperatuur $60 ° C$ is.

De afkoelingswet van Newton zegt dat de snelheid waarmee de temperatuur $T$ afneemt evenredig is met het verschil met de omgevingstemperatuur. Dus als de omgevingstemperatuur $20 °$ is, luidt de differentiaalvergelijking $\frac{d T}{d t} = ‐ 0,2 \cdot (T - 20)$ .

De omgevingstemperatuur is $20 ° C$ .

Bepaal de temperatuur van de ketel na $5$ minuten afkoelen.
Doe dit ook als de begintemperatuur van de ketel $100 ° C$ is.
En ook als die $80 ° C$ en als die $60 ° C$ is.

Geef de oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking $\frac{d T}{d t} = ‐ 0,2 \cdot T$ met $T (0) = 100$ .
Geef ook de oplossingsfunctie van de differentiaalvergelijking $\frac{d T}{d t} = ‐ 0,2 \cdot (T - 20)$ met $T (0) = 100$ .

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c (y - p)$ , waarbij $p$ en $c$ gegeven constanten zijn.
De oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking zijn:
$y = a \cdot e^{c \cdot x} + p$ voor alle waarden van $a$ .

Toon aan dat de functies $y = a \cdot e^{c x} + p$ voor elke waarde van $a$ oplossing zijn van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d x} = c \cdot (y - p)$

Haringvangst
Internationaal is afgesproken hoeveel haring er jaarlijks gevangen mag worden: elk land heeft een zekere hoeveelheid (quotum) toegewezen gekregen. Dit om te voorkomen dat de Noordzee overbevist wordt en er na een paar jaar geen haring meer over is. In 1988 zat er $700.000$ ton haring in de Noordzee.
$H (t)$ is de haringstand (in honderdduizenden tonnen) $t$ jaar na 1988.
Als er geen haring zou worden gevangen is de groeisnelheid van $H$ evenredig met $H$ zelf, met evenredigheidsconstante $0,5$ . Het totale jaarlijkse quotum bedraagt $q$ (in honderdduizenden tonnen).

Leg uit dat geldt: $\frac{d H}{d t} = 0,5 H - q$ .

Bepaal de functie $H (t)$ , uitgedrukt in $q$ .

Neem aan dat elk jaar het quotum $q$ even groot is.

Bij welke waarden van $q$ zal de haring in de Noordzee uitsterven?

In een kamer van $50$ m³ is de concentratie CO₂-gas $0,2$ volumeprocent. Op zeker ogenblik zet iemand de ventilator aan. Zo wordt er per minuut $5$ m³ van de lucht in de kamer vervangen door buitenlucht met slechts $0,05$ % CO₂-gas. $C (t)$ is de concentratie CO₂ na $t$ minuten in %. De toename van $C$ gedurende de tijd $Δ t$ noemen we $Δ C$ .

Toon aan: $Δ C = ‐ 0,1 C \cdot Δ t + 0,05 \cdot 0,1 \cdot Δ t$ voor kleine $Δ t$ .

Welke differentiaalvergelijking voor $C$ volgt uit a?

Geef de formule van $C$ , uitgedrukt in $t$ .

Hoe lang duurt het voordat de CO₂-concentratie is teruggelopen tot $0,07$ %?

Een kapitaal $K$ groeit met $10$ % per jaar. In het begin van elk jaar wordt $10.000$ euro opgenomen.
$K (t)$ is het kapitaal (in euro) na $t$ jaar.

Vul in: het kapitaal voldoet aan de differentiaalvergelijking; $\frac{d K}{d t} = \dots \cdot (K - \dots)$

Geef een formule voor $K (t)$ , als $K (0) = 100.000$ .