Hoofdstukken > Continue dynamische modellen

Petrischaal
Onder ideale omstandigheden (voldoende voedsel en warmte) breiden gistcellen zich exponentieel uit.
Op een petrischaal wordt een kolonie gistcellen geënt. Aanvankelijk zijn de omstandigheden nog ideaal: de kolonie groeit exponentieel. De schaal raakt vol, de omstandigheden worden slechter, de groei remt af. Op een gegeven moment is de schaal zo goed als vol: het verzadigingsniveau is nagenoeg bereikt.
Een grafiek bij zo'n groei heeft de volgende vorm.

Een dergelijke grafiek heet S-kromme of sigmoïde. De hoeveelheid gistcellen (in grammen) op de schaal na $t$ uur noemen we $G (t)$ .
We bekijken een model voor de groeisnelheid van $G$ . Veronderstel dat de petrischaal maximaal $500$ gram gistcellen kan bevatten, dus dat het verzadigingsniveau $500$ is.

Van de ene kant is de groeisnelheid van $G$ evenredig met de al aanwezige hoeveelheid gistcellen, dus met $G$ (als er tweemaal zoveel gistcellen zijn, groeit de kolonie tweemaal zo hard).
Van de andere kant is de groeisnelheid. van $G$ evenredig met de ruimte die er nog op de schaal is (als er half zoveel ruimte (voedsel) is, groeit de kolonie half zo hard).

Dit leidt tot de volgende differentiaalvergelijking:
$\frac{d G}{d t} = c \cdot G (500 - G)$ . Hierbij is $c$ een evenredigheidsconstante. Groei die zich volgens deze differentiaalvergelijking gedraagt, heet logistische groei. We nemen voor $c = 0,003$ .
De differentiaalvergelijking wordt: $\frac{d G}{d t} = 0,003 \cdot G (500 - G)$

Ga door substitutie na dat de functie $G = \frac{500}{1 + 100 \cdot e^{‐ 1,5 \cdot t}}$ aan de differentiaalvergelijking voldoet.

Hoe kun je het verzadigingsniveau uit de formule van $G$ afleiden?

Logistische groei
De hoeveelheid $y$ groeit logistisch met verzadigingsniveau $M$ als de groeisnelheid evenredig is met $y \cdot (M - y)$ , dus $\frac{d y}{d t} = c \cdot y \cdot (M - y)$ voor een of ander positief getal $c$ .
De oplossingsfuncties van deze differentiaalvergelijking zijn: $y = \frac{M}{1 + b \cdot e^{‐ c M t}}$
Hierbij wordt $b$ bepaald door het beginwaarde van de oplossingsfunctie.

Gegeven is de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d t} = c \cdot y \cdot (M - y)$

Laat door substitutie zien dat de functies $y = \frac{M}{1 + b \cdot e^{‐ c M t}}$ voor willekeurige waarden van $b$ aan de differentiaalvergelijking voldoen.

Druk $b$ uit in de startwaarde $y (0)$ .

$H = \frac{1000}{1 + 99 \cdot e^{‐ 0,2 t}}$ is een voorbeeld van een logistische groeifunctie. Hieronder staat de grafiek.

Wat moet je in de formule $H = \frac{M}{1 + b \cdot e^{‐ c M t}}$ voor $M$ , $b$ en $c$ invullen om de gegeven functie te krijgen?

Schrijf de bijbehorende differentiaalvergelijking op.

Waarom ligt het buigpunt van de grafiek op hoogte $H = 500$ ?

Voor welke $H$ is $0,0002 \cdot H \cdot (1000 - H)$ maximaal?

Bereken de bij het buigpunt behorende waarde van $t$ .

Je kunt de differentiaalvergelijking waaraan $H$ voldoet schrijven als: $\frac{d H}{d t} = 0,2 H - 0,0002 H^{2}$ .
Aan het begin van het proces ( $t = 0$ ) is $H$ klein. Dan speelt de term $0,0002 H^{2}$ bijna geen rol, dus dan is voldoet $H$ bij benadering aan de dv $\frac{d H}{d t} = 0,2 H$ .
De groei van $H$ gaat dan ongeveer exponentieel.

Bepaal de groeifactor van de oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking: $\frac{d y}{d x} = 0,2 y$ .

Er geldt: $H (0) = 10$ .

Vergelijk op de GR de grafiek van $H$ met die van de exponentiële groeifunctie $G$ met beginhoeveelheid $10$ en groeifactor $e^{0,2}$ .

Je ziet dat de grafieken van $G$ en $H$ aan het begin nagenoeg gelijk lopen.

Het buigpunt bij een logistische groeifunctie ligt half zo hoog als het verzadigingsniveau.
Logistische groei bij de differentiaalvergelijking
$\frac{d y}{d t} = c \cdot y \cdot (M - y)$
is aanvankelijk nagenoeg exponentiëel met groeifactor $e^{c M}$ .

De bevolkingsgroei in de VS
De tabel hieronder geeft informatie over de bevolkingsgroei in de VS.

Met de GR kun je een plaatje bij deze gegevens maken.

Zoek uit hoe dat op jouw machine gaat.

De grafiek heeft een S-vorm. We proberen de bevolkingsgroei in de VS met een logistische groeifunctie te benaderen:
$B = \frac{M}{1 + b \cdot e^{‐ c M t}}$ .
Hierbij is $B$ het aantal inwoners in duizendtallen en $t$ de tijd in tientallen jaren vanaf 1790.
Aanvankelijk (tot 1840), is de groei van de bevolking nagenoeg exponentieel.

Bepaal de groeifactor per $10$ jaar uitgaande van exponentiële groei van $B$ , waarbij $B = 3929$ in 1790 en $B = 17069$ in 1840.

Neem aan dat het buigpunt van de grafiek bij 1920 ligt.

Wat is het verzadigingsniveau $M$ ?

Bepaal nu met behulp van de onderdelen b en c de waarde van $c$ .

Bereken nu ook $b$ met behulp van de beginwaarde.

Vergelijk de logistische groeifunctie met de waarden uit de tabel hierboven.

Opmerking:

De differentiaalvergelijking bij logistische groei:
$\frac{d y}{d t} = c \cdot y \cdot (M - y)$
kom je ook wel in de volgende gedaante tegen:
$\frac{d y}{d t} = k \cdot y \cdot (1 - \frac{y}{M})$ .

Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{d y}{d t} = 0,3 y \cdot (1 - \frac{1}{200} y)$ met beginwaarde $y (10) = 80$ .

Geef een formule voor $y (t)$ .

Zoals in het theorieblok hierboven vermeld, kun je de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d t} = c \cdot y \cdot (M - y)$ schrijven als: $\frac{d y}{d t} = k \cdot y \cdot (1 - \frac{y}{M})$ .

Geef het verband tussen $k$ en $c$ .

Geef een formule voor de oplossingsfuncties van de differentiaalvergelijking $\frac{d y}{d t} = k \cdot y \cdot (1 - \frac{y}{M})$ .

Verzeping
Een ester en een loog geven een zuurrest en een alcohol. Hieronder zie je een voorbeeld.

De concentraties (in mol per liter) van de ester en van het loog op tijdstip $t$ noemen we respectievelijk $E (t)$ en $L (t)$ . De reactiesnelheid (dat is de groeisnelheid van $E$ ) is evenredig met de concentratie van de ester en met de concentratie van het loog. Dus $\frac{d E}{d t} = ‐ c \cdot E \cdot L$ waarbij $c$ een positieve evenredigheidsconstante is.
De beginconcentraties zijn gegeven: $E (0) = 0,005$ en
$L (0) = 0,01$ .
Op elk tijdstip is er evenveel van de ester als van het loog omgezet: $E (0) - E (t) = L (0) - L (t)$ .
Bij een zekere temperatuur is $c = 0,06$ liter per mol sec.
Uit de gegevens valt het volgende beginwaardenprobleem af te leiden:
$\frac{d E}{d t} = ‐ 0,06 \cdot E \cdot (0,005 + E)$ met beginwaarde $E (0) = 0,005$ .

Leg dat uit.

Los dit beginwaardenprobleem op, dat wil zeggen geef de formule van $E (t)$ .

Teken de grafiek van $E$ op de GR. Waarom lijkt die niet op een logistische groeikromme?

Na hoeveel tijd is $50$ % van de ester omgezet?
Deze tijdsduur wordt de halfwaardetijd van de reactie genoemd.