1

$P (t) = a \cdot e^{- 0,3 t}$
Na het innemen van de eerste pil: $P (t) = 350.000 \cdot e^{- 0,3 t}$ . dan $P (t) = 100.000 \Leftrightarrow e^{- 0,3 t} = \frac{10}{35} \Leftrightarrow t = \frac{\ln (\frac{10}{35})}{‐ 0,3} \approx 4,18$ , dus $4$ uur.
Na het innemen van de tweede pil: $P (t) = 450.000 \cdot e^{- 0,3 t}$ , dan $P (t) = 100.000 \Leftrightarrow e^{- 0,3 t} = \frac{10}{45} \Leftrightarrow t = \frac{\ln (\frac{10}{45})}{‐ 0,3} \approx 5$ uur.
Daarna steeds $5$ uur.

2

a

$\frac{d K}{d t} = c \cdot K$

b

Negatief

c

$100$

d

$K (t) = 100. e^{c t}$

e

$100. e^{c \cdot 5730} = 50 \Leftrightarrow c = ‐ \frac{\ln (2)}{5730} \approx ‐ 0,00012$

3

a

De kans dat je minstens $0$ minuten moet wachten is $1$ .

b

De tijd die je al gewacht hebt is onafhankelijk van de tijd die je nog moet wachten.

c

Er geldt: $w (t) = a \cdot e^{c \cdot t}$ ; uit $w (0) = 1$ volgt: $a = 1$ . Verder geldt: $w (10) = \frac{1}{4}$ , dus $e^{c \cdot 10} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow c = 0,1 \cdot \ln (\frac{1}{4})$ , dus $w (t) = e^{0,1 \cdot \ln (\frac{1}{4}) \cdot t} = 4^{‐ 0,1 t}$ .

4

Er geldt: $p (h) = 1030 \cdot e^{c \cdot h}$ . Uit $p (5000) = 570$ volgt: $e^{c \cdot 5000} = \frac{570}{1030}$ , dus $c = 0,0002 \cdot \ln (\frac{570}{1030}) \approx ‐ 0,00012$ , dus $p (h) = 770 \Leftrightarrow$ $e^{‐ 0,00012 \cdot h} = \frac{770}{1030} \Leftrightarrow$ $h = ‐ \frac{\ln (\frac{770}{1030})}{0,00012} \approx 2424$ (m). (Tussendoor $c$ niet afronden geeft $h \approx 2458$ (m).)

5

a

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $P$ is die van lijn $X Y$ en die is: $‐ \frac{y}{x}$

b

Enerzijds: $f^{'} (x) = ‐ \frac{c}{x^{2}}$ , anderzijds $‐ \frac{y}{x} = ‐ \frac{\frac{c}{x}}{x} = ‐ \frac{c}{x^{2}}$ .
Klopt.

c

Teken de functie $x \to \frac{6}{x}$ .

6

a

Voer de rijen $a_{n}$ en $b_{n}$ , $n = 0, 1, \dots$ in in de GR met
$a_{n + 1} = a_{n} + 1$ met $a_{0} = 0$ en
$b_{n + 1} = b_{n} + 0,5 \cdot b_{n} (1 - \frac{b_{n}}{100}) - 10$ en met $b_{0} = 70$ .
Gevraagd is $b_{10}$ . Daarvoor vind je: $72,16$ %.

b

Je kunt $b_{n}$ voor steeds grotere waarden van $n$ uitrekenen. Op den duur verandert het antwoord nauwelijks nog: het blijft dan $72,36$ %.

7

a

$\frac{d y}{d x} = 2 y - y^{2} = 1 \cdot y (2 - y)$ : dus logistische groei met $c = 1$ en $M = 2$ , dus de oplossingsfuncties zijn van de vorm $y = \frac{2}{1 + b \cdot e^{‐ 2 x}}$ .
Uit $y (3) = 1$ volgt: $b = e^{6}$ , dus $f : x \to \frac{2}{1 + e^{‐ 2 x + 6}}$

b

Het verzadigingsniveau is $2$ , dus de oplossingsfuncties hebben een buigpunt op het halve niveau, dus met $y$ -coördinaat $1$ .

8

a

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in $P (x, y)$ is: de richtingscoëfficiënt van de lijn $P X$ . De coördinaten van $X$ zijn $(\frac{1}{2} x,0)$ , dus de richtingscoëfficiënt van lijn $P X$ is: $\frac{y}{x - \frac{1}{2} x} = \frac{2 y}{x}$ .

b

Die functies hebben formule $y = p \cdot x^{2}$ , met $p \neq 0$ .
Enerzijds $\frac{d y}{d x} = 2 p x$ , anderszijds $\frac{2 y}{x} = \frac{2 p x^{2}}{x} = 2 p x$ .

9

Oplossingsfuncties zijn: $i = c \cdot e^{‐ k s}$ , met $c$ een constante. Als $s = 0$ , dan $i = 100$ , dus $i = 100 \cdot e^{‐ k s}$ .
Als $s = 3$ dan $i = 40$ , dus $k = ‐ \frac{\ln (0,4)}{3} \approx 0,3$ .

10

a

Hoe meer prooidieren, hoe sneller het aantal roofdieren groeit.

b

$\frac{d P}{d t} = 600$ en $\frac{d R}{d t} = ‐ 12$ , dus dus $P$ wordt $120$ en $R$ wordt $19$

c

Als $a - b \cdot R = 0$ en $c \cdot P - d = 0$ , dus $R = 25$ en $P = 75$ .

11

a

Enerzijds $\frac{d y_{k}}{d x} = 3 \cdot ‐ 0,1 \cdot {(k - 0,1 x)}^{2} = ‐ 0,3 {(k - 0,1 x)}^{2}$ ,
anderszijds $‐ 0,3 {y_{k}}^{\frac{2}{3}} = ‐ 0,3 {({(k - 0,1 x)}^{3})}^{\frac{2}{3}} = ‐ 0,3 {(k - 0,1 x)}^{2}$ , klopt dus.

b

Voor deze functie geldt enerzijds $\frac{d y}{d x} = 0$ voor alle $x$ . Anderzijds geldt dat $‐ 0,3 y^{\frac{2}{3}} = 0$ voor alle $x$ .

12

Substitueer $y = a x^{2} + b x + c$ .
Dan: $2 a x + b = a x^{2} + b x + c - x^{2} + 4 x \Leftrightarrow$ $2 a x + b = (a - 1) x^{2} + (b + 4) x + c$ .
Links en rechts moet je dezelfde uitdrukking in $x$ krijgen, dus $a - 1 = 0$ , $2 a = b + 4$ en $b = c$ . Dus $a = 1$ , $b = ‐ 2$ en $c = ‐ 2$ , dus de oplossingsfunctie is: $y = x^{2} - 2 x - 2$ .