1

$p (x) = \sqrt{x}$ en $q (x) = \sqrt{y}$
Niet te scheiden
$p (x) = x$ en $q (y) = ‐ \frac{1}{y}$
$p (x) = x$ en $q (y) = y + 1$

2

Enerzijds $\frac{d y}{d x} = d \cdot e^{\frac{1}{2} x^{2}} \cdot x$ , anderszijds $x \cdot y = x \cdot e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ . Klopt.

3

a

Volgens de kettingregel geldt: $\frac{d R}{d x} = \frac{d R}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = \frac{1}{q (y)} \cdot \frac{d y}{d x}$ ; maar

b

$\frac{d R}{d x} = \frac{d P}{d x} = p (x)$

c

Uit de antwoorden van de vorige onderdelen volgt:
$\frac{1}{q (y)} \cdot \frac{d y}{d x} = p (x)$ , dus $\frac{d y}{d x} = p (x) \cdot q (y)$ .

4

a

Variabelen scheiden: $h^{2} \cdot d h = 4 \cdot d t$ , dus $\frac{1}{3} h^{3} = 4 t + c$ .
$(t, h) = (0,0)$ invullen levert: $c = 0$ , dus $h = \sqrt[3]{4 t}$ .

b

Variabelen scheiden: $y \cdot d y = ‐ x \cdot d x$ , dus $\frac{1}{2} y^{2} = ‐ \frac{1}{2} x^{2} + c$ .
$(x, y) = (0,4)$ invullen geeft: $c = 8$ , dus $x^{2} + y^{2} = 16$ .
Een oplossingsfunctie met $y (0) = 4$ is: $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

c

$\frac{d h}{d t} = ‐ 2 \sqrt{h}$ geeft: $‐ \frac{1}{2 \sqrt{h}} d h = d t$ , dus $\sqrt{h} = ‐ t + c$ , dus $h = {(‐ t + c)}^{2}$ . Uit $h (0) = 100$ volgt: $h = {(‐ t + 10)}^{2}$ .

d

Variabelen scheiden: $\frac{3}{\sqrt{y}} \cdot d y = 4 \sqrt{x} \cdot d x$ .
Dus:

e

Dan $G^{‐ \frac{2}{3}} \cdot d G = ‐ 0,3 \cdot d t$ , dus $G^{\frac{1}{3}} = ‐ 0,3 \cdot t + c$ voor een of ander getal $c$ . Dus $G = {(‐ 0,3 \cdot t + c)}^{3}$ ; uit $G (0) = 8$ volgt: $c = 2$ , dus $G = {(‐ 0,3 \cdot t + 2)}^{3}$ .

f

Variabelen scheiden: $\frac{1}{T - 20} \cdot d T = ‐ 0,2 \cdot d t$ , dus $\ln | T - 20 | = ‐ 0,2 \cdot t + c$ , dus $| T - 20 | = e^{‐ 0,2 \cdot t + c}$ , dus $T = 20 \pm e^{c} \cdot e^{‐ 0,2 \cdot t}$ . Uit $T (0) = 100$ volgt: $T (t) = 20 + 80 \cdot e^{‐ 0,2 \cdot t}$ .

5

a

Dus ${(20 - h)}^{2} \cdot d h = c \cdot d t$ (variabelen scheiden). Hieruit volgt: $‐ \frac{1}{3} {(20 - h)}^{3} = c \cdot t + d$ waarbij $d$ een constante is.

b

$‐ \frac{1}{3} {(20 - h)}^{3} = c \cdot t + d \Leftrightarrow {(20 - h)}^{3} = p \cdot t + q$ $\Leftrightarrow 20 - h = \sqrt[3]{p \cdot t + q}$ $h = 20 - \sqrt[3]{p \cdot t + q}$ .
Uit $h (0) = 20$ volgt $q = 0$ en uit $h (8) = 0$ volgt dan vervolgens $p = 1000$ , dus $h = 20 - 10 \sqrt[3]{t}$ .

6

a

$‐ \frac{1}{y} + C$ , voor willekeurige getallen $C$ .

b

$\frac{1}{y} + \frac{1}{a - y} = \frac{a - y + y}{y (a - y)} = \frac{a}{y (a - y)}$ , dus op de stippellijnen moet $\frac{1}{a}$ staan.

c

Een primitieve van $\frac{1}{y}$ is $\ln (| y |)$ en een primitieve van $\frac{1}{a - y}$ is $‐ \ln (| y - a |)$ .

d

$1 - \frac{a}{y} = d \cdot e^{‐ a c x} \Leftrightarrow \frac{a}{y} = 1 - d \cdot e^{‐ a c x} \Leftrightarrow y = \frac{a}{1 - d \cdot e^{‐ a c x}}$

e

Substitueer $a = M$ en $d = ‐ b$ .

7

$\int e^{y} \cdot d y = \int 2 x \cdot d x$
$e^{y} = x^{2} + c$ , beginwaarde $(0,0)$ ,
oplossingsfunctie $y = \ln (x^{2} + 1)$ .
$\int y \cdot d y = \int \cos (x) \cdot d x$ ,
$\frac{1}{2} y^{2} = \sin (x) + c$ , beginwaarde $(\frac{1}{2} π,1)$ ,
oplossingsfunctie $y = \sqrt{2 \sin (x) - 1}$ .
$\int \frac{1}{y + 2} \cdot d y = \int x \cdot d x$
$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + c$ , beginwaarde $(0,3)$
oplossingsfunctie $y = 5 \cdot e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 3$
$\int \frac{1}{y + 2} \cdot d y = \int x \cdot d x$
$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + c$ , beginwaarde $(0, ‐ 3)$
oplossingsfunctie $y = ‐ e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2$
$\int e^{‐ y} \cdot d y = \int e^{x} \cdot d x$
$‐ e^{‐ y} = e^{x} + c$ , beginwaarde $(0,0)$ ,
oplossingsfunctie $y = ‐ \ln (2 - e^{x})$
$\int \frac{1}{y} \cdot d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} \cdot d x$
$\ln (| y |) = \ln (e^{x} + 1) + c$ , beginwaarde $(0, ‐ 2)$ ,
oplossingsfunctie $y = ‐ e^{x} - 1$