8.1 Discreet en continu >

Hoofdstukken > Hypothesetoetsen

Verkeersdoden
Het aantal verkeersdoden in een zeker land is de laatste jaren normaal verdeeld met gemiddelde $105$ en standaardafwijking $15$ .
Hoe groot is in een jaar de kans op minder dan $100$ verkeersdoden? We volgen twee berekeningen.

$P (0 < X < 100 | 105, 15)$
"minder dan $100$ " is hetzelfde als "hoogstens $99$ ", dus $P (0 < X < 99 | 105, 15)$ .

Welke antwoorden geven deze berekeningen?

De antwoorden zijn niet hetzelfde.

Weet jij waarom?

We hebben dus een probleem. Dat wordt veroorzaakt doordat de stochast "het aantal verkeersdoden in een jaar" alleen gehele waarden kan aannemen. We benaderen hem met een normale verdeling, die ook andere waarden kan aannemen.

Stochasten, dus grootheden die bij een kansexperiment allerlei waarden kunnen aannemen, afhankelijk van het toeval, zijn te onderscheiden in twee soorten: discrete en continue

Een discrete stochast verandert trapsgewijs. De mogelijke uitkomsten zijn een rij losse punten op de getallenlijn. Bij twee opvolgende uitkomsten kan geen enkele waarde daartussen als uitkomst optreden.

Voorbeelden

Kansexperiment: je stopt zes verschillende brieven in zes verschillend geadresseerde enveloppen.
$X =$ het aantal brieven dat in de juiste envelop zit.
Kansexperiment: je gooit met een dobbelsteen tot je voor het eerst een zes gegooid hebt.
$Y =$ het aantal worpen dat daarvoor nodig is.

Welke waarden kan $X$ aannemen?

En welke waarden kan $Y$ aannemen?

Een continue stochast verandert traploos. De mogelijke uitkomsten zijn een interval op de getallenlijn. Bij elk tweetal uitkomsten kan elke waarde daartussen ook als uitkomst optreden.

Voorbeelden

Kansexperiment: je kiest een tomaat uit een grote partij tomaten.
$G =$ het gewicht van die tomaat.
Kansexperiment: je neemt de tijd op waarin iemand de $100$ meter loopt.
$H =$ de tijd die je klokt.
Kansexperiment: je kijkt op een willekeurig moment naar een klok.
$T =$ de tijd die de klok aangeeft (in minuten na het vorige hele uur.

Hoe, discreet of continu, is $T$ verdeeld en welke waarden kan $T$ aannemen in de volgende gevallen?

Bij een gewone (analoge) klok.

Bij een digitale klok (die niet de seconden aangeeft).

Continue en discrete stochasten worden grafisch verschillend weergegeven. Bij een discrete stochast teken je een kanshistogram, bij een continue stochast een vloeiende kromme.

Bij een kanshistogram is de oppervlakte van de staven een maat voor de bijbehorende kans en is de som van die oppervlaktes $1$ . De oppervlakte van twee staven, bijvoorbeeld de staven bij $17$ en $18$ , is gelijk aan de kans dat de uitkomst $17$ of $18$ is.
Bij een continue stochast is de totale oppervlakte onder de bijbehorende kromme gelijk aan $1$ . De oppervlakte onder de kromme op een interval, bijvoorbeeld dat met eindpunten $17$ en $18$ , is gelijk aan de kans dat een uitkomst in dat interval (dus $[17,18]$ ) ligt.

Opmerking:

Bij de continue stochast hierboven doet het er niet toe ofje de eindpunten van het interval 'meeneemt' of niet. De kans dat de uitkomst exact $17$ of $18$ is, is namelijk $0$ .

$X$ is het aantal keren kop bij een worp met vijf munten.

Wat is het verschil tussen $P (X = 3)$ en $P (2 < X < 4)$ ?

$Y$ is de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. $Y$ is normaal verdeeld met gemiddelde $μ = 80$ cm en standaardafwijking $σ = 15$ cm.

Wat is het verschil tussen $P (Y = 78)$ en $P (77 < Y < 79)$ ?

Opmerking:

In de praktijk worden de gemeten waarden van een continue stochast vrijwel altijd afgerond. Een jaarlijkse neerslag van $78$ cm betekent dan dat de hoeveelheid neerslag tussen $77,5$ en $78,5$ cm ligt.

$X$ is het aantal keren kop bij negen worpen met een munt.

Is $X$ een discrete of een continue stochast?

Ga na: $Sd (X) = 1,5$ en $E (X) = 4,5$ .

Bereken in vier decimalen: $P (X) = 6$ .

Hiernaast is het kanshistogram van $X$ getekend. Erbij is de kromme getekend van de normaal verdeelde stochast $U$ die het best bij $X$ past.
Dat wil zeggen: $E (U) = E (X) = 4,5$ en $Sd (U) = Sd (X) = 1,5$ .

Bereken ook $P (5,5 < U < 6,5)$ en ga na dat dit een redelijke benadering is van $P (X = 6)$ .

Bereken $P (X < 6)$ en $P (U < 5,5)$ en ga na dat de uitkomsten ongeveer gelijk zijn

Bereken $P (X \leq 6)$ en $P (U < 6,5)$ en ga na dat de uitkomsten ongeveer gelijk zijn.

Laat $X$ een discrete stochast zijn die alleen gehele waarden aanneemt en laat $U$ de continue benadering zijn van $X$ . Dan geldt:

$P (X = 6) \approx P (5,5 < U < 6,5)$
$P (3 \leq X \leq 8) \approx P (2,5 < U < 8,5)$
$P (3 < X \leq 8) = P (4 \leq X \leq 8) \approx P (3,5 < U < 8,5)$
$P (3 \leq X < 8) = P (3 \leq X \leq 7) \approx P (2,5 < U < 7,5)$

Als je $U$ gebruikt om kansen voor $X$ te benaderen moet je de waarden dus corrigeren met $0,5$ . Dit heet de continuïteitscorrectie.

Laat $X$ en $U$ zijn als in het theorieblok hiervoor.
Neem over en vul de ontbrekende getallen in.

$P (X < 7) \approx P (U < \dots)$

$P (X \geq 9) \approx P (U > \dots)$

$P (5 < X < 12) \approx P (\dots < U < \dots)$

$P (10 > X \geq 2) \approx P (\dots > U > \dots)$

We gaan terug naar opgave 1 Het aantal verkeersdoden is bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde $105$ en standaardafwijking $15$ .

Hoe groot is in een jaar de kans op minder dan $100$ verkeersdoden?

Bereken de kans op precies $100$ verkeersdoden.

In een diepvriespak lekkerbekjes zitten volgens de verpakking $4$ tot $6$ wijtingfilets in beslag die samen een gewicht hebben van $300$ gram. Neem aan dat het gewicht $Y$ in zo'n pak normaal verdeeld is met een gemiddelde van $300$ gram en een standaardafwijking van $15$ gram.

Waarom zal de standaardafwijking in dit gewicht waarschijnlijk groter zijn dan de standaardafwijking in het gewicht van bijvoorbeeld een pak suiker?

Hoe groot is de kans dat het gewicht $Y$ meer dan $10$ % afwijkt van de $300$ gram die op de verpakking staat?

Pim koopt drie van deze diepvriespakken met een totaal gewicht van $T$ gram.

Hoe groot zijn $E (T)$ , $Var (T)$ en $Sd (T)$ ?

Hoe groot is de kans dat dit totale gewicht $T$ meer dan $10$ % afwijkt van het te verwachten totale gewicht $E (T)$ ?

Kun je verklaren waarom de kans op deze afwijking van $10$ % duidelijk kleiner is dan de kans op een afwijking van $10$ % bij één pak?

Neem aan dat er evenveel pakken zijn met $4$ filets, met $5$ filets en met $6$ filets.
Coen koopt ook drie diepvriespakken lekkerbekjes.

Hoe groot is de kans:

dat er in één pak $4$ , in één pak $5$ en in één pak $6$ filets zitten?
dat in elke pak $5$ filets zitten?
dat hij in totaal $15$ filets koopt?

De duur van een zwangerschap
Als een vrouw zwanger is, wordt berekend op welke dag de geboorte valt te verwachten. Dat is de dag waarop de vrouw is "uitgeteld". $4$ % van de geboortes vindt inderdaad plaats op de dag dat de vrouw is uitgeteld. Een zwangerschap duurt gemiddeld $281$ dagen. We veronderstellen dat de duur normaal verdeeld is.

Bereken de standaardafwijking van de duur van de zwangerschap.

Bereken het percentage zwangerschappen dat langer dan $295$ dagen duurt.