9.1 Wachten >

Hoofdstukken > Poissonverdeling

Een winkel heeft gemiddeld per uur $10$ klanten. Wat is de kans dat in de komende vijf minuten geen klant komt?

Dit is een voor de handliggende vraag. Met de kansrekening die je tot nu toe geleerd hebt kun je deze vraag niet beantwoorden. We gaan proberen grip te krijgen op deze vraag. We nemen aan dat de klanten onafhankelijk van elkaar in de winkel komen. Ook nemen we aan dat elk moment van binnenkomst voor elk van de klanten even waarschijnlijk.

We nummeren de tien klanten die gemiddeld per uur in de winkel komen: $1, 2, \dots, 10$ ; bijvoorbeeld op volgorde van lichaamslengte (de kleinste krijgt nummer $1$ ), of op grond van iets anders dat niets met hun aankomsttijden te maken heeft.

Wat is de kans dat klant nummer $1$ niet in de komende vijf minuten arriveert?

Wat is de kans dat klant nummer $5$ niet in de komende vijf minuten arriveert?

Wat is de kans dat geen van de tien klanten in de komende vijf minuten arriveren?

Zijn we nu klaar? Misschien denk je dat hiermee de vraag beantwoord is. Maar er was gegeven dat er gemiddeld tien klanten per uur zouden komen. Dat is iets anders dan dat er elk uur precies tien klanten komen. En waarom kijken we per uur. Je zou het gegeven ook kunnen vervangen door: "Er komen gemiddeld twintig klanten per twee uur".

Ga uit van $20$ klanten per twee uur.

Bereken de kans op geen klanten in de komende vijf minuten.

Vergelijk je antwoord met dat van de vorige opgave.

Je antwoorden zijn niet gelijk, maar verschillen ook weer niet zo heel veel.

Neem aan dat er (precies) tien klanten per uur komen.

Bereken de kans op precies één klant in de komende vijf minuten.

Bereken ook de kans op precies twee klanten de komende vijf minuten.

Onder de aanname dat er (precies) tien klanten per uur komen, is het aantal klanten in de komende vijf minuten binomiaal verdeeld met parameters $n = 10$ 0 en "succes"- kans $p = \frac{1}{12}$ .
Dat is een goede reden om nog eens naar de binomiale verdeling te kijken, en wel zonder GR.

Gegeven: er zullen onafhankelijk van elkaar $10$ klanten komen tussen 14:00 en 15:00 uur. We gaan zonder GR de kans berekenen dat $3$ van de $10$ klanten tussen 14:15 en 14:30 uur komen. Zodoende wordt de theorie nog eens duidelijk.

Het aantal klanten dat tussen 14:15 en 14:30 uur arriveert is een typisch voorbeeld van een binomiaal verdeelde stochast.
Eén deelexperimentje dat hier speelt is: een klant komt in de winkel. Die komt tussen 14:15 en 14:30 uur met kans $\frac{1}{4}$ : de zogenaamde succeskans, meestal $p$ geheten.
Er zijn $10$ klanten: het experiment wordt dus $10$ keer herhaald: $n = 10$ . Het aantal klanten dat tussen 14:15 en 14:30 uur komt noemen we $X$ .

Welke waarden kan $X$ aannemen?

We nummeren de klanten $1, 2, \dots,10$ .

Wat is de kans dat klant $2$ , $6$ en $9$ tussen 14:15 en 14:30 uur komen en alle andere niet?

Deze mogelijkheid noteren we met: NJNNNJNNJN.

Hoeveel rijtjes zijn er met $3$ J's en $7$ N's?

Al die rijtjes hebben dezelfde kans; die kans heb je in onderdeel b berekend.

Wat is dus $P (X = 3)$ , de kans dat er drie klanten tussen 14:15 en 14:30 uur komen?

De afleiding van de binomiale verdeling
In opgave 4 werd gevraagd naar de kans op $3$ successen, als het aantal herhalingen $n = 10$ is en de succeskans $p = \frac{1}{4}$ .
De kans op één speciaal rijtje met $3$ successen (en dus $7$ mislukkingen) is ${(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{7}$ .
Er zijn $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})$ van zulke rijtjes. Dus is de kans op $3$ successen is $(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{7}$ .

Jan zit in een klas van $25$ leerlingen.

Bereken zonder gebruik te maken van de GR de kans dat er precies twee klasgenoten zijn die in dezelfde week jarig zijn als Jan. Je kunt aan het eind wel een gewoon rekenmachientje gebruiken.

Controleer je antwoord op de GR.

Een vliegtuig heeft $200$ zitplaatsen. Van de geboekte vluchten komt $5$ % van de passagiers niet opdagen. Daarom verkoopt de maatschappij niet $200$ maar $204$ zitplaatsen.

Bereken zonder GR de kans dat er precies één zitplaats te weinig zal blijken te zijn.

Controleer die kans op de GR.

Algemeen
Laat $X$ het aantal successen zijn bij een binomiaal kansexperiment met $n$ herhalingen, elk met succeskans $p$ , dan is $P (X = k) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$ .

De formule laat zich vereenvoudigen in het geval $p = \frac{1}{2}$ . Hoe?

Welke afspraak moet je maken voor $0^{0}$ om de formule ook te laten gelden in het geval $p = 0$ ?

In de binomiale verdeling spelen de combinatiegetallen $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ een belangrijke rol.
Dat doen ze ook in het Binomium van Newton. Daarom worden ze ook wel binomiaalcoëfficiënten genoemd.
In Hoofdstuk 2 Binomiale en normale verdelingen, paragraaf 3, is de binomiumformule van Newton afgeleid.

Het binomium van Newton
Voor alle getallen $x$ en $y$ en positieve gehele getallen $n$ geldt:
${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k} y^{n - k}$ .

Sir Isaac Newton
(1642-1727)
hoogleraar te Cambridge

De formule is genoemd naar Isaac Newton, ofschoon hij hem niet heeft uitgevonden. De formule was toen al minstens vijf eeuwen bekend (bij Arabische en Chinese wiskundigen). Newton heeft de formule gegeneraliseerd voor niet-gehele exponenten.
$x + y$ is een tweeterm, ofwel een binomium (latijn: bi = twee, nomus = term).

In Appendix B bij dit hoofdstuk wordt het binomium van Newton op nog andere manieren afgeleid.

Gegeven ${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k} y^{n - k}$ .

Hoe ziet de formule eruit in de gevallen $n = 1$ en $n = 2$ ?

Leg uit dat uit het binomium van Newton volgt:
$2^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) + \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix})$

Neem $y = 1 - x$ .

Wat is de uitkomst van:
$(\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) \cdot x^{0} \cdot {(1 - x)}^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) \cdot x^{1} \cdot {(1 - x)}^{n - 1} + \dots + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) \cdot x^{n} \cdot {(1 - x)}^{0}$ ?

Wat betekent het voorgaande in termen van een binomiaal kansexperiment?

De vraag waarmee we deze paragraaf begonnen is van het volgende type:
gegeven een gemiddeld aantal per tijdseenheid, gevraagd de kans op een zeker aantal tijdens een tijdsinterval.
Dit type komt vaak voor. Bijvoorbeeld:

het aantal brandmeldingen op een dag als er gemiddeld $523$ zijn per jaar;
het aantal telefoontjes dat de belastingdienst in een uur krijgt als er gemiddeld $444$ per dag binnenkomen;
het aantal dodelijke ongevallen van fietsers op een dag als er gemiddeld $120$ per jaar zijn;
het aantal typfouten op een bladzijde, als er gemiddeld $292$ zijn in een boek van $400$ bladzijden.

Verzin zelf ook twee (heel) andere voorbeelden van dit type.