Daar moet hij het personeel op aanpassen. Klanten die moeten wachten verliest hij anders.

-

Ze hebben niet afgesproken samen naar de winkel te gaan. Als een klant binnenkomt is dat van geen invloed op de aankomsttijd van een andere klant.

$\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\approx \mathrm{0,04395}$

Heel klein. Er is niet zo veel speling: als een volgende klant precies komt als de vorige net weg is, is er maar $10$ minuten in het uur over.

${\text{P}}_1\left(1\right)={\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)+{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)=2\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)$

${\text{P}}_1\left(3\right)={\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(3\right)+{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(2\right)+{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(2\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)+{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(3\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)=$
$2\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(3\right)+2\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(2\right)$

${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(6\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)$ is de kans dat het eerste half uur $6$ klanten komen en het tweede half uur $1$. Dus er komen in dat uur $7$ klanten waarvan er $1$ in het tweede halfuur. Dus ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(6\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)={\text{P}}_1\left(7\right)\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^7$.

Uit de eerste gelijkheid volgt: ${\text{P}}_1\left(7\right)={\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(7\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{‐7}$.
Vul dat in voor ${\text{P}}_1\left(7\right)$ in de tweede gelijkheid:
${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(6\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)=$ ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(7\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{‐7}\cdot 7\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^7=$ $7\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(7\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$.
Beide zijden delen door $7\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$ geeft:
${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(7\right)=$ $\frac{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(6\right)\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)}{7\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)}=$ $\frac{1}{7}\cdot \frac{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)}{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(6\right)$

${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(n\right)=\frac{1}{n}\cdot \frac{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)}{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(n-1\right)$

Voor $n=1$ krijg je: ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)=\frac{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)}{{\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$ en dat klopt.

Uit ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(n\right)=\frac{\text{λ}}{n}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(n-1\right)$ volgt ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(1\right)=\text{λ}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$, ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(3\right)=\frac{\text{λ}}{3}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(2\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{\text{λ}}^3\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$, ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(3\right)=\frac{\text{λ}}{3}\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(2\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{\text{λ}}^3\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$ en ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(5\right)=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {\text{λ}}^5\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$.

${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(n\right)=\frac{1}{n!}\cdot {\text{λ}}^n\cdot {\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$

Uit ${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{e}}^{\text{λ}}=1$ volgt: $\text{λ}=\text{ln(}10\text{)}$ $\approx \mathrm{2,3026}$

${\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\cdot {\text{e}}^{\text{λ}}=1\iff {\text{e}}^{‐\text{λ}}={\text{P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)\iff \text{λ}=‐{\text{ln(P}}_{\frac{1}{2}}\left(0\right)$

$\text{P}(X=0)={\text{e}}^{‐\text{λ}}$ en $\text{P}(Y=0)={\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}$. Er geldt: ${\text{e}}^{‐\text{λ}}={\left({\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}\right)}^2={\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}\cdot 2}={\text{e}}^{‐\text{λ}}$.

$\text{P}(X=0)={\text{e}}^{‐\text{λ}}$, $\text{P}(Y=0)={\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}$ en $\text{P}(Y=1)=\frac{1}{2}\cdot {\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}$. Er geldt: ${\text{e}}^{‐\text{λ}}=2\cdot {\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}\cdot \frac{1}{2}\cdot {\text{e}}^{‐\frac{1}{2}\text{λ}}$, dus het klopt.

Er zijn gemiddeld $\frac{123}{365}$ brandmeldingen per dag.
$X$ is het aantal brandmeldingen morgen.
Dan is $X$ Poissonverdeeld met $\text{λ}=\frac{123}{365}$$=\mathrm{0,3369}\dots$.
$\text{P}(X=2)=\frac{{\text{λ}}^2}{2!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}=\frac{1}{2}\cdot {\left(\mathrm{0,3369}\dots \right)}^2\cdot {\text{e}}^{‐\mathrm{0,3369}\dots }\approx \mathrm{0,04054}$

$X$ is het aantal fietsdoden morgen.
$X$ is Poissonverdeeld met $\text{λ}=\frac{810}{365}$$=\mathrm{2,2191}\dots$.
$\text{P}(X=3)=\frac{{\text{λ}}^3}{3!}\cdot {\text{e}}^{‐\text{λ}}=\frac{1}{6}\cdot {\left(\mathrm{2,2191}\dots \right)}^3\cdot {\text{e}}^{‐\mathrm{2,2191}\dots }\approx \mathrm{0,1980}$.

-

${\text{P}}_{\text{Poisson}}(X\le \mathrm{450,}\text{λ}=496)\approx \mathrm{0,0193}$

${\text{P}}_{\text{Poisson}}(X\le \mathrm{799,}\text{λ}=810)\approx \mathrm{0,3580}$

$X$ en $Y$ nemen positieve gehele waarden aan en nul. Als $X+Y=10$, is $X=0$ en $Y=10$ of $X=1$ en $Y=9$ of $\dots$ of $X=10$ en $Y=0$.
Omdat $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn, volgt het beweerde.
$\text{P}(X=k)\cdot \text{P}(Y=10-k)=$ $\frac{{\text{λ}}^k}{k!}{\text{e}}^{‐\text{λ}}\cdot \frac{{\text{μ}}^{10-k}}{(10-k)!}{\text{e}}^{‐\text{μ}}=$ $\frac{1}{10!}\frac{10!}{k!(10-k)!}\cdot {\text{e}}^{‐(\text{λ+μ})}\cdot {\text{λ}}^k\cdot {\text{μ}}^{10-k}$.
Er geldt (binomium van Newton): ${\displaystyle \sum _{k=0}^{10}\left(\begin{array}{c}10\\ k\end{array}\right)\cdot {\text{λ}}^k\cdot {\text{μ}}^{10-k}={\left(\text{λ}+\text{μ}\right)}^{10}}$,
dus ${\displaystyle \sum _{k=0}^{10}\text{P}(X=k)\cdot \text{P}(Y=10-k)}=\frac{{\left(\text{λ}+\text{μ}\right)}^{10}}{10!}\cdot {\text{e}}^{‐(\text{λ+μ})}$.

Klopt.

Elke klant gaat met $2$ keer zo grote kans naar de tweede winkel dan naar de eerste. De kans dat hij dus naar de eerste winkel gaat is $\frac{1}{3}$.

$X$ is het aantal klanten dat in $A$ komt in $1$ uur,
$Y$ is het aantal klanten dat in $B$ komt in $1$ uur,
$\text{P}(\text{de winkels krijgen samen }1\text{ klant in een uur})$ $=\text{P}(X+Y=1)=3\cdot {\text{e}}^{‐3}$,
$\text{P}(A\text{ krijgt }1\text{ klant in een uur})$$=\text{P}(X=1)=1\cdot {\text{e}}^{‐1}$,
$\text{P}(B\text{ krijgt }0\text{ klanten in een uur})$$=\text{P}(Y=0)={\text{e}}^{‐2}$.

De in b berekende kansen vullen we in in:
$\text{P}(\text{winkels krijgen samen }1\text{ klant})\cdot \text{P}(\text{die klant gaat naar }A)=$
$\text{P}(A\text{ krijgt }1\text{ klant })\cdot \text{P}(B\text{ krijgt geen klant})$.
Je vindt: $3\cdot {\text{e}}^{‐3}=\text{P}(\text{die klant gaat naar }A)\cdot {\text{e}}^{‐1}\cdot {\text{e}}^{‐2}$, dus $\text{P}(\text{die klant gaat naar }A)=\frac{1}{3}$.
?

$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4\approx \mathrm{0,2561}$

$800000\cdot \mathrm{0,00001}=8$

$\mathrm{0,122138}$

$\mathrm{0,122138}$

$\left(\begin{array}{c}800000\\ 6\end{array}\right)=$ $\frac{800000}{6}\cdot \frac{799999}{5}\cdot \frac{799998}{4}\cdot \frac{799997}{3}\cdot \frac{799996}{2}\frac{799995}{1}\approx$ $\frac{800{000}^6}{6!}$, dus $\left(\begin{array}{c}800000\\ 6\end{array}\right)\cdot {\mathrm{0,00001}}^6\approx \frac{8^6}{6!}$.

${\mathrm{0,99999}}^6\approx 1$, dus ${\mathrm{0,99999}}^{799994}\approx {\mathrm{0,99999}}^{800000}$.
En ${\mathrm{0,99999}}^{800000}={\left(1-\frac{8}{800000}\right)}^{800000}\approx {\text{e}}^{‐8}$.

Uit het voorgaande volgt dat $\text{P}(X=6)\approx \frac{8^6}{6!}\cdot {\text{e}}^{‐8}$. Deze laatste uitdrukking is $\text{P}(Y=6)$.

Er zijn $\left(\begin{array}{c}45\\ 6\end{array}\right)$ mogelijkheden om zes nummers aan te kruisen en je hebt de keus uit zes kleuren, dus het aantal keuzemogelijkheden is $\left(\begin{array}{c}45\\ 6\end{array}\right)\cdot 6$. De kans is dus: $\frac{1}{\left(\begin{array}{c}45\\ 6\end{array}\right)\cdot 6}\approx \mathrm{2,05}\cdot {10}^{‐8}$

Noem het aantal deelnemers met alles goed $Y$. $Y$ is Poissonverdeeld met $\text{λ}={10}^6\cdot \mathrm{2,05}\cdot {10}^{‐8}=\mathrm{2,05}\cdot {10}^{‐2}$. $\text{P}(Y=0)={\text{e}}^{‐\mathrm{0,0205}}\approx \mathrm{0,9797}$.

$\text{P}(Y\ge 2)=1-\text{P}(Y=0)-\text{P}(Y=1)=1-{\text{e}}^{‐\mathrm{0,0205}}-\mathrm{0,0205}\cdot {\text{e}}^{‐\mathrm{0,0205}}\approx \mathrm{0,0002}$