Voorbeeld:

Vraag
Het aantal klanten is Poissonverdeeld met gemiddelde $3$ per uur.
Wat is de kans dat de eerste klant ten minste $0,5$ uur op zich laat wachten?

Berekening
Het aantal klanten per half uur is Poissonverdeeld met gemiddelde $3 \cdot \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ .
De eerste aankomsttijd (in uren) noemen we $T$ ; dat is de tijd die het duurt voordat de eerste klant binnenkomt.
$P (T \geq \frac{1}{2}) =$ $P(0 klanten in de eerste \frac{1}{2} uur) =$ $= e^{‐ 1,5} \approx 0,2231$ .

We gaan verder met de context van bovenstaande vraag.

Bereken de kans dat de eerste klant meer dan $\frac{1}{2}$ uur, maar minder dan $1 \frac{1}{2}$ uur op zich laat wachten.

Bereken de kans dat de derde en vierde klant in het derde kwartier komen.

(hint)

Dan moeten er in het eerste half uur

2

klanten komen en in het daarop volgende kwartier

2

of dan moeten er in het eerste half uur

1

klant komen en in het daarop volgende kwartier

3

of
dan moeten er in het eerste half uur geen klanten komen en in het daarop volgende kwartier

4

Het aantal klanten $X$ is Poissonverdeeld met gemiddelde $λ$ per uur.
$T$ is de tijd die het duurt voordat de eerste klant komt.

Welke waarden kan $T$ aannemen?

Is $X$ discreet of continu verdeeld? En $T$ ?

Toon aan: $P (T \leq t) = 1 - e^{‐ λ \cdot t}$ , voor alle $t > 0$ .

Controleer de formule in onderdeel c voor de “randgevallen" $t = 0$ en $t$ nadert tot oneindig.

Als een aantal "successen" $X$ Poissonverdeeld is met gemiddelde $λ$ en $T$ is de tijdsduur dat je op het eerste succes moet wachten, dan $P (T \leq t) = 1 - e^{‐ λ \cdot t}$ .

Definitie
Een stochast $T$ heet exponentieel verdeeld met parameter $λ$ als $T$ alle positieve getallen als waarde kan aannemen en
$P (T \leq t) = 1 - e^{‐ λ \cdot t}$ voor alle $t > 0$ .

Teken de grafiek van de functie $F : t \to 1 - e^{‐ λ \cdot t}$ als functie van $t$ , voor enkele waarden van $λ$ in één figuur.

Teken de grafiek van de afgeleide $f = F^{'}$ voor dezelfde waarden van $λ$ , ook in één figuur.

Ga na: $P (T \leq t) = \int_{0}^{t} f (x) d x$ .

Opmerking:

Stel dat een winkelier gemiddeld $λ$ klanten per uur krijgt.
De kans dat hij hoogstens $t$ uur hoeft te wachten voordat de eerste klant komt, is dus de oppervlakte onder de grafiek van de functie $f : x \to λ \cdot e^{‐ λ \cdot t}$ .
Iets dergelijks heb je al eerder ontmoet: ook bij een normaalverdeelde stochast $X$ is de kans $P (X \leq t)$ de oppervlakte onder een grafiek, namelijk van de klokkromme.

Definitie
$T$ is exponentieel verdeeld met parameter $λ$ .
Dan noemen we $f : x \to λ \cdot e^{‐ λ \cdot t}$ de dichtheidsfunctie van $T$ en $F : t \to 1 - e^{‐ λ \cdot t}$ de verdelingsfunctie.

Stelling
Er geldt: $P (T \leq t) = F (t)$ is de oppervlakte onder de grafiek van $f$ 'links' van $t$ .

Study probeert elke vrijdagavond een lift te krijgen om het weekend bij haar ouders door te brengen. De helft van de keren duurt het minder dan $30$ minuten voordat ze een lift krijgt.

Wat is de kans dat ze op een vrijdag binnen $5$ minuten een lift krijgt?

En wat is de kans dat ze na $1$ uur nog geen lift heeft?

Op een vrijdagavond heeft Study zonder succes al $40$ minuten staan liften. Ze zegt bij zichzelf: "Ik sta hier nu al veertig minuten, terwijl ik gemiddeld niet meer dan een half uur op een lift hoef te wachten. Ik zal nu dus wel snel een lift krijgen."

Geef commentaar op Study's gedachte.

Opmerking:

De exponentiële verdeling heeft geen geheugen. Dat betekent het volgende.
Als je al bijvoorbeeld $10$ minuten (zonder succes) hebt staan liften, wordt de kans dat je een lift krijgt daar niet groter (of kleiner) door.

Choice speelt Mens erger je niet. Ze heeft op het ogenblik geen enkele pion op het speelbord. Pas als ze "een zes" (dat is $6$ ogen) gegooid heeft, mag ze een pion op het bord zetten. De eerste vijf keer dat ze aan de beurt is, werpt ze $2$ , $2$ , $1$ , $4$ en $5$ ogen.

Wat is de kans dat ze in de volgende beurt $6$ ogen werpt?

Heeft de dobbelsteen een geheugen?

We zeggen dat een stochast X geen geheugen heeft, als $P (X > a + b) = P (X > a) \cdot P (X > b)$ voor alle getallen $a$ en $b$ .

Een exponentieel verdeelde stochast heeft geen geheugen.

Bewijs dat.

Hiernaast staat de grafiek van de dichtheidsfunctie
$f : x \to 2 \cdot e^{‐ 2 \cdot x}$ van een exponentieel verdeelde stochast $T$ met parameter $2$ .
De verwachtingswaarde van $T$ is: $\int_{0}^{\infty} x \cdot f (x) d x$ .
In appendix D wordt toegelicht dat je de verwachtingswaarde van de stochast $T$ met dichtheidsfunctie $f$ zo kunt berekenen.

Hieronder staat de grafiek van de functie $x \to x \cdot f (x)$ in een rooster.

Maak een schatting van $E (T)$ , dat is de oppervlakte onder de grafiek van $g$ .

Toon aan dat de functie $G : x \to ‐ x \cdot e^{‐ 2 \cdot x} - \frac{1}{2} \cdot e^{‐ 2 \cdot x}$ een primitieve functie van $g$ is.

Bereken $E (T)$ exact.

Hoe groot is de verwachtingswaarde van een exponentieel verdeelde stochast met parameter $λ$ ?

De verwachtingswaarde van een exponentieel verdeelde stochast met parameter $λ$ is $\frac{1}{λ}$ .

Opmerking:

Hét voorbeeld van een exponentieel verdeelde stochast is de wachttijd.

Study gaat weer liften. Gemiddeld stopt er elke tien minuten een auto om een lifter mee te nemen. Als Study op de liftplaats aankomt, staan er al drie anderen te liften, die een voor een een lift moeten krijgen voor dat Study aan de beurt is.

Wat is de verwachtingswaarde van de wachttijd voor Study?

Wat is de kans dat Study binnen een half uur een lift heeft?