9.6 Appendix

A De e-macht als oneindige som

We gaan bewijzen dat de oneindige som
$\frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$ ,
dus $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$ gelijk is aan $e^{x}$ , voor elk getal $x$ .

We spreken af $y_{n} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}$ ,
dus $y_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}$ .
Bijvoorbeeld: $y_{5} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{5}}{5!}$ .

Bereken $y_{5}'$ , de afgeleide van $y_{5}$ .

$y_{5}'$ en $y_{5}$ lijken veel op elkaar. Deze twee functies verschillen slechts één term, namelijk $\frac{x^{5}}{5!}$ .
En als $| x | < 1$ is dat verschil kleiner dan $0,01$ .

Ga dat na.

Bekijk de functie $y_{50} = \sum_{k = 0}^{50} \frac{x^{k}}{k!} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{50}}{50!}$ .

Bereken $y_{50}'$ .

$y_{50}'$ en $y_{50}$ lijken veel op elkaar. Deze twee functies verschillen slechts één term, namelijk $\frac{x^{50}}{50!}$ .
En als $| x | < 17$ is dat verschil kleiner dan $0,0011$ .

Ga dat na.

Bekijk de eindige som $y_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}$ .

Wat is het verschil tussen $y_{n}$ en $y_{n}'$ ?

Voor elk getal $x$ geldt: De noemer $n!$ groeit op den duur (veel) sneller dan de teller $x^{n}$ .
Daarom wordt het verschil tussen $y_{n})^{'} x)$ en $y_{n} (x)$ voor grote waarden van $n$ zo klein als je maar wil.
Voor de oneindige som $y (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots$ geldt dus: $y^{'} (x) = y (x)$ .
En die functies kennen we: $y (x) = c \cdot e^{x}$ , waarbij $c$ een willekeurige constante is.

We moeten nog de waarde van $c$ bepalen. Dat lukt omdat we $y (0)$ kunnen uitrekenen.

Wat is de waarde van $c$ ?

Uit bovenstaande opgave volgt:

$e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \dots$

B Het binomium van Newton

In het vervolg bekijken we hoe je ${(x + y)}^{n}$ voor $n = 1, 2, 3, \dots$ zonder haakjes schrijft.

Een afleiding met haakjes wegwerken

Schrijf ${(x + y)}^{n}$ voor $n = 1, 2$ en $3$ met zo weinig mogelijk termen zonder haakjes.

Hoe gaat dit verder? Zit er enig systeem in? Wat zal ${(x + y)}^{10}$ opleveren? We gaan dat op verschillende manieren aanpakken.
Eerst bekijken we hoe we de haakjes in ${(1 + x)}^{n}$ wegwerken.

We gaan de haakjes in ${(1 + x)}^{7}$ wegwerken.
Als je de haakjes wegwerkt, krijg je een veelterm van graad $7$ , dus een som van de vorm:
$\dots + \dots x + \dots x^{2} + \dots x^{3} + \dots x^{4} + \dots x^{5} + \dots x^{6} + \dots x^{7}$ .
Om hier beter over te kunnen praten geven we de coëfficiënten (de getallen op de puntjes) namen:
${(1 + x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ .
Je weet waarschijnlijk bij voorbaat wel wat $a_{0}$ en $a_{7}$ zijn

Wat zijn die?

Stel dat je de uitwerking van ${(1 + x)}^{7}$ kent. Dan volgt daaruit de uitwerking van ${(1 + x)}^{8}$ als volgt.
${(1 + x)}^{8} = (1 + x) {(1 + x)}^{7} = 1 \cdot {(1 + x)}^{7} + x \cdot {(1 + x)}^{7} =$
$a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ $+ a_{0} x + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{3} + a_{3} x^{4} + a_{4} x^{5} + a_{5} x^{6} + a_{6} x^{7} + a_{7} x^{8}$ .
Dus: ${(1 + x)}^{8} = a_{0} + (a_{0} + a_{1}) x + (a_{1} + a_{2}) x^{2} + (a_{2} + a_{3}) x^{3} + (a_{3} + a_{4}) x^{4}$ $+ (a_{4} + a_{5}) x^{5} + (a_{5} + a_{6}) x^{6} + (a_{6} + a_{7}) x^{7} + a_{7} x^{8}$
Als je dus de coëfficiënten van de uitwerking van ${(1 + x)}^{7}$ kent, ken je die ook van de uitwerking van ${(1 + x)}^{8}$ : je moet gewoon steeds twee opvolgende coëfficiënten van de uitwerking van ${(1 + x)}^{7}$ optellen. Om aan de uitwerking van ${(1 + x)}^{7}$ te komen, moet je het schema invullen.

Vul de coëfficiënten op het werkblad van bovenaf in.

Dit schema is een oude bekende. Met precies hetzelfde schema maak je namelijk de driehoek van Pascal.

Kennelijk is de coëfficiënt van bijvoorbeeld $x^{5}$ in de uitwerking van ${(1 + x)}^{7}$ gelijk aan $(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}) = 21$ .

Wat is de coëfficiënt van $x^{4}$ in de uitwerking van ${(1 + x)}^{10}$ ?

Uit bovenstaande volgt:
${(1 + x)}^{7} =$
$(\begin{array}{l} 7 \\ 0 \end{array}) x^{0} + (\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array}) x^{1} + (\begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}) x^{2} + (\begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}) x^{3} + (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) x^{4} + (\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}) x^{5} + (\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}) x^{6} + (\begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}) x^{7}$ .
In de $Σ$ -notatie: ${(1 + x)}^{7} = \sum_{k = 0}^{7} (\begin{array}{l} 7 \\ k \end{array}) x^{k}$ .

${(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k}$

Opmerking:

We hebben nog geen uitwerking voor ${(x + y)}^{n}$ .
Deze volgt uit de formule hierboven als volgt.
${(x + y)}^{n} = y^{n} \cdot {(1 + \frac{x}{y})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) y^{n} \cdot {(\frac{x}{y})}^{k} =$
$\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) y^{n} \cdot x^{k} \cdot y^{‐ k} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k} \cdot y^{n - k}$ .

Een afleiding met differentiëren

Bekijk ${(1 + x)}^{6} = a_{0} x^{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ .
We gaan linker- en rechterlid vier keer differentiëren. De vierde afgeleide van het linkerlid is $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot {(1 + x)}^{2}$ .

Schrijf de vierde afgeleide van het rechterlid op.

Nu vullen we voor $x$ in beide vierde afgeleides $0$ in en vereenvoudigen de uitkomsten.

Wat zijn die uitkomsten?

Hieruit volgt: $a_{4} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = (\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array})$ .

Ga dat na.

Opmerking:

Wat je in opgave 4 gedaan hebt, kun je algemeen uitvoeren. De coëfficiënt van $x^{k}$ in ${(1 + x)}^{n}$ vind je door beide leden van ${(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ $k$ keer te differentiëren en vervolgens voor $x = 0$ in te vullen.

Een afleiding met kansrekening

We bekijken het asymmetrische Galtonbord met 10 rijen. Voor een kogeltje is de kans om naar links te vallen $p$ en de kans om naar rechts te vallen $q = 1 - p$ . We nummeren de bakjes van links naar rechts: 0, 1, 2, …, 10.

Wat is de kans dat een kogeltje in bakje met nummer $k$ terecht komt?

Leg uit: $1 = \sum_{k = 0}^{10} (\begin{array}{l} 10 \\ k \end{array}) p^{k} \cdot q^{10 - k}$ .

Als je beide leden van de formule in onderdeel b vermenigvuldigt met $a^{10}$ krijg je:
$a^{10} = \sum_{k = 0}^{10} (\begin{array}{l} 10 \\ k \end{array}) {(a p)}^{k} \cdot {(a q)}^{10 - k}$ .

Leg dat uit.

Vervang $a p$ door $x$ en $a q$ door $y$ . Dan krijg je :
${(x + y)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} (\begin{array}{l} 10 \\ k \end{array}) x^{k} \cdot y^{10 - k}$ .

Leg dat uit.

Voor alle getallen $x$ en $y$ en alle positieve gehele getallen $n$ geldt:
${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) x^{k} \cdot y^{n - k}$ .
Deze formule staat bekend als het binomium van Newton.

$x + y$ is een tweeterm (binomus); vandaar de naam.

Schrijf ${(x + 2)}^{5}$ zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Laat met het binomium van Newton zien dat $\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) = 2^{n}$ .