1

a

$y_{5}' = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}$

b

$\frac{x^{5}}{5!} < \frac{1^{5}}{5!} = \frac{1}{120}$

c

d

Het verschil is $\frac{x^{50}}{50!} < \frac{17^{50}}{50!}$ $\approx 0,001095 < 0,0111$ .

e

$\frac{x^{n}}{n!}$

f

$c = 1$

2

${(x + y)}^{1} = x + y$ ;
${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ;
${(x + y)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$

3

a

Beide $1$

b

c

$(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = 21$ .

4

a

$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{4} + 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot a_{5} x^{1} + 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot a_{6} x^{2}$

b

Voor het linkerlid $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ en voor het rechterlid $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a_{4}$ .

c

Linker- en rechterlid zijn gelijk, dus na $0$ invullen vind je: $a_{4} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6!}{4! 2!} = (\begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array})$ .

5

a

$(\begin{array}{l} 10 \\ k \end{array}) p^{k} \cdot q^{10 - k}$

b

Rechts worden de kansen dat het kogeltje in bakje 0, 1, 2, ..., 10 opgeteld.
De som van deze kansen is $1$ .

c

Rechts moet elk van de termen met $a^{10}$ vermenigvuldigd worden.
En $a^{10} \cdot p^{k} \cdot q^{10 - k} = {(a p)}^{k} \cdot {(a q)}^{10 - k}$ voor $k = 0, 1, 2, \dots, 10$ .

d

$p + q = 1$ , dus $x + y = a p + a q = a$ .

6

a

${(x + 2)}^{5} = x^{5} + 2 \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}) \cdot x^{4} + 2^{2} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \cdot x^{3} + 2^{3} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}) \cdot x^{2} + 2^{4} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}) \cdot x^{1} + 2^{5} =$ $x^{5} + 10 \cdot x^{4} + 40 \cdot x^{3} + 80 \cdot x^{2} + 80 \cdot x^{1} + 32$

b

$\sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) 1^{k} \cdot 1^{n - k} = {(1 + 1)}^{n} = 2^{n}$