11.4  Onzekerheid >
Grenzen aan onzekerheid

MeteoConsult in Wageningen stelt dagelijks weersvoorspellingen op. Met ensemble- of pluimverwachtingen krijg je een idee van de onzekerheid in de weersverwachtingen. Meteo rekent het voorspellingsmodel vijftig keer door, steeds met kleine verschillen in de begingegevens. Soms is de temperatuur erg gevoelig voor kleine veranderingen; dan zullen de verwachtingen al snel uit elkaar gaan lopen en wordt de onzekerheid gaandeweg de periode erg groot. Als de verschillende verwachtingen weinig uiteenlopen is de weertoestand stabiel en de betrouwbaarheid hoog.
In de grafiek zie je:

  1. de hoofdverwachting van Meteo,

  2. de vijftig verwachtingen; die vormen een “pluim” die naar rechts steeds breder wordt,

  3. het gemiddelde van alle verwachtingen,

  4. de voorspelling van het Amerikaanse GFS (Global Forecasting System).

Hieronder zie je de temperatuurverwachting in Wageningen van 30 september 2012, 12:00 uur voor de komende 15 dagen.

1

Wat zijn de hoogste en de laagste temperatuur die in deze voorspelling zijn berekend voor 10 oktober 2012, 12:00 uur?

Het KNMI kan een waarschuwing of weeralarm uitgeven voor gladheid en sneeuwval, voor regen, zicht, onweer, windstoten, hitte en voor wind- en waterhozen.
Het KNMI maakt daarvoor gebruik van vier kleuren: groen, geel, oranje en rood.
Groen: geen waarschuwing,
Geel: waarschuwing voor gevaarlijk weer,
Oranje: waarschuwing voor extreem weer,
Rood: weeralarm.
De kleurcoderingen worden ook internationaal gehanteerd, zoals op de website meteoalarm.
Voor alle waarschuwingen geldt dat het weerverschijnsel wordt verwacht of optreedt in een gebied van minimaal 50 bij 50 kilometer.

2

Het KNMI verwacht met 65 % zekerheid dat er binnen 14 uur windstoten van 110 kilometer per uur voorkomen. Het KNMI geeft in dat geval een waarschuwing voor extreem weer af (kleur: oranje).
Dit is een voorbeeld uit de folder: KNMI Waarschuwingen Nederland.

Kun je zeggen wat voor het KNMI een zekerheid van 65 % betekent?

Met de trein reizen is onzeker. Veel treinen hebben vertraging. De overheid heeft met de NS afgesproken dat minstens 93 % van de treinen hoogstens 5 minuten vertraging mag hebben. Omdat die regel in 2010 werd overtreden, kreeg de de NS een boete van 2 miljoen euro van minister Schulz van Haegen.

3

Jan gaat vijf dagen per week met de trein naar zijn werk en weer terug naar huis. Jan heeft 40 werkweken per jaar.

Hoe vaak heeft Jan per jaar naar verwachting een grotere vertraging dan vijf minuten, aangenomen dat de NS zich precies aan de richtlijn houdt?

Schatten
4

Bij elke 10 euro aan boodschappen ontvang je een kraslot. Als het kraslot een PLUS blijkt te hebben, krijg je 10 euro; als het een MIN heeft, krijg je niets.
Anne heeft de afgelopen weken zeventien van die loten ontvangen. Slechts één ervan had een PLUS.

a

Wat denk je op grond hiervan dat het percentage PLUS-krasloten is?

Hoe zeker is zo’n schatting? Anne gokt dat het percentage loten met een PLUS tussen de 5 % en 15 % ligt. Mara denkt dat het percentage best flink groter dan 15 % kan zijn.

b

Welk standpunt lijkt jou het beste? Het is de bedoeling dat je intuïtief – zonder te rekenen – je mening geeft.

Stel dat het percentage PLUSkrasloten 15 % is. Dan is 0 of 1 PLUSkraslot onder de zeventien loten wel erg weinig.

c

Wat is dan de kans daarop?

d

Ga je je antwoord op vraag b nu herzien?

5

Er dreigt een griepepedemie; waarbij 25 % de griep zal krijgen. Grieppatiënten moeten het bed houden en kunnen dus niet naar hun werk.
Een bedrijf telt 400 personeelsleden.
Het bedrijf wil op zeker spelen en schatten hoeveel zieken er maximaal (redelijkerwijs) zullen zijn.

a

Wat is de verwachtingswaarde van het aantal zieke personeelsleden?

Het zou kunnen zijn dat 150 of nog meer personeelsleden de griep krijgen, maar de kans daarop is uiterst klein. Personeelszaken heeft het grensaantal g bepaald, waarvoor geldt dat de kans op meer dan g zieke personeelsleden minder dan 5 % is.

b

Welk getal is g ?

6

De selectie van een voetbalclub moet voldoende groot zijn om, wanneer er toevallig veel blessures zijn, toch een volwaardig elftal te kunnen opstellen.
Stel dat voor elke speler de kans om op een wedstrijddag geblesseerd te zijn 20 % is.

a

Bereken de kans dat geen volwaardig elftal kan worden opgesteld als de selectie uit slechts 16 spelers bestaat.

b

Hoe groot moet de selectie zijn als de club niet meer dan 5 % kans wil lopen dat er geen volwaardig elftal kan worden opgesteld?

7

Een partij lampen heeft een onbekend percentage foute exemplaren. De partij wordt afgekeurd als in een steekproef van 20 lampen twee (of meer)foute exemplaren worden aangetroffen.
De kans K dat de partij wordt afgekeurd is een functie van het percentage foute exemplaren p in de partij.
Hieronder staat (in twee delen) een tabel van de kansen.

p

0

2

4

6

8

10

12

14

16

K

0

0,06

0,19

0,34

0,48

0,61

0,71

0,79

0,85

p

18

20

22

24

26

28

30

32

34

K

0,90

0,93

0,95

0,97

0,98

0,99

0,99

1,00

1,00

a

Reken na: als p = 6 , dan K = 0,34 .

Hierboven staat de grafiek van K als functie van p .
De productieleider noemt een partij met hoogstens 4 % foute exemplaren “goed” en met minstens 8 % foute exemplaren “slecht”.

b

Wat is de kans dat een goede partij met maar 2 % slechte exemplaren wordt goedgekeurd?
Wat is de kans dat een slechte partij met zelfs 10 % slechte exemplaren wordt goedgekeurd?

c

Is deze procedure om de partij lampen te keuren geschikt?

Betrouwbaarheid

Vaak kan men niet de gehele populatie onderzoeken. Bijvoorbeeld als men de grootte van de aanhang van een politieke partij wil weten, is het ondoenlijk alle Nederlanders naar hun politieke voorkeur te vragen.
Dan moet men zich beperken tot een kleinere groep: men neemt dus een steekproef. Op grond van het resultaat in de steekproef wil men zeggen hoe groot de aanhang is in de gehele populatie. Hoe groter de steekproef, hoe betrouwbaarder de schatting van de grootte van de aanhang.

8

Voor de komende gemeenteraadsverkiezingen in Luilekkerdorp heeft de dorpskrant een enquête gehouden onder 200 dorpelingen. 66 van hen zeggen op de partij Van Alles Meer te zullen stemmen.

a

Welke schatting van het werkelijke percentage dat op Van Alles Meer zal stemmen levert de enquête op?

De dorpelingen kunnen natuurlijk nog van mening veranderen, maar daar gaat het nu niet om. Luilekkerdorp heeft 3456 stemgerechtigden die allen ook zullen gaan stemmen.
Neem aan dat de schatting precies goed is.

b

Simuleer de steekproef in VuStat. Ga uit van een aanhang van 33 %. Voer de steekproef 100 keer uit.
Tussen welke grenzen lagen de percentages stemmen op Van Alles Meer?

De uitersten komen zelden voor. Het werkelijke percentage ligt hoogstwaarschijnlijk dichter bij het geschatte percentage 33 %.

c

Hoe groot schat jij (op grond van de simulatie) de kans dat het werkelijke percentage ten hoogste 5 % verschilt van 33 %?

Meestal worden die grenzen zo gekozen dat minstens 95 % van de steekproeven daartussen ligt. Hoe dichter die grenzen bij elkaar liggen, des te nauwkeuriger de schatting is.
In plaats van 95 % wordt soms een ander percentage gekozen, bijvoorbeeld 90 % of 99 %.

9
a

Bepaal met de simulatie in VuStat het 95 %-interval voor het percentage stemmen op Van Alles Meer in de vorige opgave, symmetrisch om 33 .

b

Bepaal ook het 90 %-interval, symmetrisch rond 33 .

Je kunt deze intervallen ook zonder simulatie vinden.

c

Bepaal het 95 %-interval met behulp van de binomiale verdeling met n = 200 en p = 0,33 .

d

Bepaal ook het het 90 %-interval.

10
a

Vul in: het 99 %-interval is … (groter/kleiner) dan het 95 %-interval.

b

Vul in: hoe kleiner het 95 %-interval, des te … (onnauwkeuriger/nauwkeuriger) is de schatting.