12.3  Toetsen met de binomiale verdeling >
1

In een kantine staan vierkante tafeltjes met vier stoelen er omheen. Een psycholoog observeert het gedrag van de mensen die zich daar in de middagpauze ophouden. In het bijzonder kijkt hij naar de tafeltjes waaraan twee mensen zitten. Die twee kunnen tegenover elkaar zitten of naast elkaar aan de hoek van het tafeltje.

In de loop van enkele dagen ziet hij 87 keer twee mensen aan een tafeltje: 34 keer tegenover elkaar en 53 keer naast elkaar. De psycholoog concludeert hieruit dat er een uitgesproken voorkeur is voor de hoekopstelling. (Een mogelijke verklaring is dat men oogcontact wil vermijden en dat kan moeilijk als men tegenover elkaar zit.)
Statistisch verdedigt hij zijn bevinding als volgt: als er geen voorkeur zou zijn tussen beide opstellingen, zullen deze met gelijke kans worden gekozen, dus allebei met kans 1 2 . Laat p de kans zijn op de hoekpositie en neem als toetsingsgrootheid X het aantal keer dat de hoekopstelling wordt gekozen.

a

Formuleer de H0- en H1-hypothese, in termen van p .

De psycholoog deed 87 observaties. X is binomiaal verdeeld met 87 herhalingen en onbekende kans p .

b

Bereken de kans dat - onder H0 - daarbij 53 of meer keer de hoekopstelling wordt geconstateerd.

c

Waarom is hier sprake van een tweezijdige toets?

d

Wat is je conclusie bij een significantieniveau van 10 %?

e

Ben je het eigenlijk wel eens met p = 1 2 als je ervan uitgaat dat de twee mensen zonder een bepaalde voorkeur aan een tafeltje gaan zitten?

We bekijken nog even de situaties van paragraaf 1.

2

In tien worpen valt een munt zeven keer op kop. Iemand beweert daarom dat de munt vals is.

a

Geef je hem gelijk, bij een significantieniveau 0,1 ?

“Ik had graag een stuk Edammer van een pond”. De kaasboer snijdt op het oog een stuk kaas voor de klant. In acht van de tien keer blijkt het meer dan 500 gram te zijn. Een klant beweert dat de kaasboer systematisch teveel snijdt.

b

Geef je hem gelijk, bij een significantieniveau 0,1 ?

Een dictator beweert dat 70 % van de bevolking zijn beleid steunt. Van de eerste tien mensen die je ondervraagt zeggen er vijf dat ze het beleid van de dictator afkeuren.

c

Verwerp je de bewering van de dictator, bij significantieniveau 0,05 ?

J. Barry beweerde dat men met zijn gedachten de groei van paddenstoelen kan vertragen. In een experiment bleek dat bij negen van de tien proefpersonen de experimentele groep paddenstoelen trager groeide dan de controlegroep.

d

Kun je, bij significantieniveau 0,05 , concluderen dat J. Barry gelijk heeft?

3

Een examen bestaat uit twintig multiple-choicevragen. Bij elk van de twintig vragen moet je een van de vier antwoorden aankruisen. Heb je negen of meer antwoorden goed dan ben je geslaagd.
Iemand die niets van het onderwerp begrijpt en alle vragen op de gok beantwoordt kan door stom geluk toch slagen.

a

Hoe groot is zijn kans om te slagen?

Van een leerling vermoedt de leraar dat hij de toets volledig op de gok heeft ingevuld. Die leerling scoorde 8 goede antwoorden.

b

Is deze score voldoende reden om het vermoeden van de leraar te verwerpen, bij een significantieniveau van 10 %?

Een andere leerling heeft zich beter op de test voorbereid. Zijn kans p op het aankruisen van een juist antwoord is duidelijk groter dan 0,25 . De kans om te slagen hangt af van p . Bij elke waarde van p kun je die kans op de GR uitrekenen.

c

Zoek uit hoe dat op jouw GR gaat.

d

Voer die kans op je GR in bij Y = (dus als functie) en teken op de GR de grafiek van die functie.

e

Voor welke p is de slaagkans 90 %?

4

Bij een Aa × Aa-kruising is de kans p dat een nakomeling van type aa is gelijk aan 1 4 . Bij alle andere kruisingen, bijvoorbeeld Aa × aa of Aa × AA, heeft p een andere waarde. In een bepaalde situatie was het type van de ouders niet duidelijk. Wel vermoedde men dat beide ouders van het type Aa zouden zijn. Door middel van een toets wil men vaststellen of het vermoeden juist is.

a

Wat zijn de hypothesen? Wat is de toetsingsgrootheid?
Is het een éénzijdige toets?

Van de 36 nakomelingen bleken er 15 van het type aa te zijn.

b

Wat is je conclusie bij een significantieniveau van 5 %?

5

Volgens de VVV van het eiland Texel regent het daar in de zomer maar op 15 % van de dagen. Anja gaat daar drie weken kamperen. X is het aantal dagen dat het regent in de eenentwintig dagen dat Anja op Texel kampeert. Neem aan dat X binomiaal verdeeld is.
Veronderstel dat de VVV gelijk heeft (dat is H0).

a

Wat zijn dan E ( X ) en Var ( X ) ?

Anja weet alles van hypothesetoetsen en zegt dat ze de bewering van de VVV op grond van haar vakantie-ervaring kan verwerpen bij significantieniveau 0,05 .

b

Hoeveel dagen heeft Anja regen gehad?

c

Waarom is het eigenlijk twijfelachtig of X wel binomiaal verdeeld is?

De tekentoets
6

Een panel deskundigen proeft van acht bekende wijnen de jaargangen 2010 en 2011 en gaat daarbij na of er kwaliteitsverschil is. Na het proeven bleek dat zes van de acht wijnen van 2010 als beter werden beoordeeld.

Concludeer je, bij een significantieniveau van 10 %, dat er sprake is van kwaliteitsverschil?

Bij elk van de wijnen wordt beslist welke de beste is: de wijn van 2010 of die van 2011. Het gaat er niet om hoeveel beter. De beste krijgt een +, de andere een −. Vervolgens worden het aantal +'en (of −'en) geteld. Daarom wordt zo'n toets een tekentoets genoemd.

Voorbeeld tekentoets
We vergelijken de resultaten van paren planten. Het enige verschil tussen twee planten in een paar is dat bij de een wel kunstmest is toegepast, bij de andere niet. Als de kunstmestplant het beter doet dan de plant in zijn paar zonder kunstmest, noteer je dat met +, anders met −.

De toetsingsgrootheid X is het aantal +’en.
p is de kans op een + met H0 : p = 1 2
Voor H1 : zijn er drie mogelijkheden:
H1 : p 1 2 ; H0 wordt verworpen als de tweezijdige overschrijdingskans kleiner dan α is. (Dus elk van beide overschijdingskansen is dan kleiner dan 1 2 α.)
H1 : p > 1 2 ; H0 wordt verworpen als de eenzijdige overschrijdingskans kleiner dan α is.
H1 : p < 1 2 ; H0 wordt verworpen als de eenzijdige overschrijdingskans kleiner dan α is.

Opmerking:

Wat doe je als er bij een tekentoets twee gelijke voorkomen (twee planten met en zonder kunstmest presteren even goed)?
Dat moet je van tevoren afspreken. Je zou die bij de resultaten weg kunnen laten. Je zou ze ook voor de helft mee kunnen tellen bij de ene groep en voor de helft bij de andere groep.

7

Soms scoort een leerling bij een herkansing ineens veel hoger dan bij de eerste toets, maar het omgekeerde komt ook voor. Een docent wiskunde zegt dat herkansingen zinloos zijn, omdat ze even vaak slechter als beter gemaakt worden dan de eerste toets. Dit jaar heeft hij veertien keer een leerling een herkansing gegeven. De resultaten staan hieronder.

Tot welke conclusie leidt een tekentoets bij significantie 0,05 ?

8

Twaalf mensen met een hoge bloeddruk werden behandeld met een nieuw medicijn. Hieronder staat hun bloeddruk vóór en na de behandeling.

Concludeer je dat het medicijn helpt? Gebruik een tekentoets met significantie 5 %.