1

Melddag
In deze opgave gaan we uit van een jaar van $365$ dagen. In zo'n jaar telt januari $31$ , februari $28$ , maart $31$ en april $30$ dagen. We nummeren de dagen van het jaar vanaf 1 januari; 1 februari heeft dan nummer 32. Voor de bemesting van grasland gebruikt men stikstofkunstmest. Uit onderzoek is gebleken dat de eerste bemesting in het voorjaar het hoogste rendement geeft als men direct na het bereiken van een temperatuursom ( $T$ -som) van $200$ °C strooit. De $T$ -som is de som van de gemiddelde etmaaltemperaturen vanaf 1 januari. Elke volgende dag wordt de gemiddelde etmaal-temperatuur van die dag bij de vorige $T$ -som opgeteld. Zodra de $T$ -som meer dan $200$ is, worden de boeren hiervan via de radio op de hoogte gebracht. De dag waarop dit gebeurt, noemen we de melddag.
Uit gegevens over lange tijd blijkt dat het nummer van de melddag bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van $105$ en een standaardafwijking van $10$ .

a

Bereken de kans dat de melddag een dag in april is.

De mest moet beslist droog bewaard worden. Boeren en tussenhandelaren nemen deze daarom niet in voorraad. Zodra de melddag is aangebroken, wordt de mest bij kunstmestfabriek KF besteld. KF moet daar rekening mee houden. Bij het opstellen van een voorlopig jaarschema in december wenst KF dat het risico van een onvoldoende voorraad stikstofkunstmest op de melddag kleiner is dan $1$ %.

b

Bereken de uiterste datum die KF in het voorlopig jaarschema kan opnemen voor het op peil zijn van de voorraad kunstmest.

De boeren met veel grasland vormen een belangrijke afnemersgroep voor KF. Tot dusver bestelde $20$ % van hen de mest in zakken en kozen de overigen voor de iets goedkopere aanvoer van losse mest. Met deze percentages als uitgangspunt heeft KF al een voorraad opgebouwd als eind februari in een vakblad in een artikel gewezen wordt op enige lichte risico's die verbonden zijn aan het gebruik van losse mest. In het geval dit artikel een grote wijziging in het bestelgedrag veroorzaakt, moet KF alsnog haar productieschema herzien. De directie laat daarom een onderzoeksbureau een enquête houden onder $100$ boeren met veel grasland. Hen wordt de vraag voorgelegd of ze de kunstmest in zakken zullen bestellen. Als het artikel geen invloed heeft mag men verwachten dat het aantal dat ja antwoordt verwachtingswaarde $20$ heeft en standaardafwijking $4$ .
Het bleek dat $25$ van de boeren ja antwoordden.

c

Is deze uitslag, met een significantieniveau van $10$ %, voldoende reden om het productieschema te herzien?

2

Mendels bedrog?
Gregor Mendel (1822-1884) mag beschouwd worden als de vader van de genetica. Zijn experimenten werden onder andere uitgevoerd met erwtenplantjes. Die hadden gele en groene zaadjes en na kruising van de oudergeneraties ontstond een tweede generatie waarvan ongeveer $75$ % geel en $25$ % groen was.
Er is twijfel gerezen of Mendel wel eerlijk heeft gewerkt. Het bleek namelijk dat zijn resultaten wel akelig goed met zijn theorie klopten.
In een van zijn experimenten bijvoorbeeld kreeg Mendel $8023$ tweedegeneratie zaadjes waarvan er $2001$ groen waren. En dat is wel erg dicht in de buurt van het aantal dat er volgens de theorie uit moest komen.

a

Welk aantal moest er volgens de theorie uitkomen?

b

Wat is de kans dat in een binomiaal kansexperiment met $n = 8023$ en $p = 0,25$ minder dan $5$ afwijkt van de verwachtingswaarde?

3

Alcohol beïnvloedt de rijvaardigheid. De politie houdt daarom regelmatig alcoholcontroles.
Enkele jaren geleden meende Veilig Verkeer Nederland dat er aan de alcoholcontroles nog wel wat verbeterd zou kunnen worden. Zie het artikel hiernaast.

Bij een alcoholcontrole werd $1,45$ % van de gecontroleerde automobilisten bestraft. Neem aan dat het percentage van $35$ in de tweede zin van het artikel juist is. Als alle automobilisten die te veel hadden gedronken, waren bestraft dan zou het percentage niet $1,45$ zijn geweest, maar hoger.

a

Bereken dat hogere percentage.

In het artikel speelt de onnauwkeurigheid van de apparatuur een belangrijke rol: de metingen geven bijna nooit de werkelijke waarde van het promillage alcohol dat in het bloed aanwezig is. Het verschil tussen het gemeten promillage en het werkelijke promillage noemen we de meetfout.
We gaan er in deze opgave van uit dat de meetfout normaal verdeeld is, met een gemiddelde van $0$ promille. Afwijkingen naar boven en afwijkingen naar beneden zijn dus even waarschijnlijk. Neem aan dat de standaardafwijking van de meetfout $0,1$ promille is.
Een automobilist met $0,48$ promille alcohol in het bloed is wettelijk niet strafbaar. Stel dat deze automobilist wordt gecontroleerd. Als de meting meer dan $0,7$ promille aangeeft, dan wordt deze automobilist (ten onrechte) bestraft.

b

Bereken de kans dat de meetfout zo groot is dat deze automobilist (ten onrechte) wordt bestraft.

Toen de grens in de apparatuur op $0,7$ promille werd gesteld, was de apparatuur nog zo onnauwkeurig dat een ruime marge noodzakelijk was: er zouden anders te veel mensen ten onrechte bestraft worden. Volgens een woordvoerder van VVN is nauwkeurigheid tegenwoordig geen probleem meer. Kennelijk is de standaardafwijking van de meetfout bij de huidige apparatuur kleiner geworden.
Neem aan dat de standaardafwijking van de meetfouten tegenwoordig $0,02$ promille is. Justitie wil de grens waarop de apparatuur wordt afgesteld zo kiezen dat van de gecontroleerde automobilisten met $0,5$ promille alcohol in het bloed slechts $1$ % (ten onrechte) bestraft wordt.

c

Bereken in twee decimalen nauwkeurig boven welk gemeten promillage automobilisten dan bestraft worden.

4

The Great Black Out
Op 9 november 1965 viel de stroom uit in New York City, een storing die $24$ uur duurde: "the Great Black Out". Negen maanden later schreven de kranten over een geboorte-explosie in New York. Nevenstaande tabel vermeldt het aantal geboorten per dag in New York gedurende de periode van $270$ tot $290$ dagen na de "the Great Black Out", in augustus 1966. Het gemiddelde aantal geboorten per dag dat over deze periode ongeveer $435$ bedraagt, blijkt echter niet zoveel hoger te liggen dan het gemiddelde over het jaar 1966 dat $430$ bedraagt.
Neem aan dat het aantal geboorten per dag over het hele jaar in New York redelijk constant is.

a

Laat zien dat het aantal dagen in de periode van 4 tot en met 23 augustus 1966 waarop het aantal geboorten boven het gemiddelde van $430$ ligt, niet significant hoog is. Neem een significantieniveau van $5$ %.

In de $20$ dagen voorafgaande aan 4 augustus 1966 bleek op zoveel dagen het aantal geboorten kleiner te zijn dan $430$ , dat men van een significante afwijking kan spreken bij een significantieniveau van $5$ %.

b

Wat weet je van het aantal dagen dat het aantal geboorten beneden het jaargemiddelde lag?

Het aantal geboorten per dag op de drie zondagen in de periode 4 - 23 augustus 1966 is kleiner dan $379$
Men wil onderzoeken of het aantal geboorten op zondag opvallend laag is. Neem aan dat het aantal geboorten per dag in New York normaal is verdeeld met een gemiddelde van $430$ en een standaardafwijking van $40$ in de $50$ weken die volgen op de periode van 4 - 23 augustus 1966.

c

Toon aan dat de kans dat op een willekeurig gekozen dag het aantal geboorten kleiner is dan $379$ ongeveer $0,10$ is.

In de $50$ weken die volgen op de periode 4 - 23 augustus 1966 blijken er $10$ zondagen te zijn met een aantal geboorten kleiner dan $379$ .

d

Is het aantal zondagen met het aantal geboorten kleiner dan $379$ significant hoog? Neem een significantieniveau van $3$ %.

5

Quiz
Ad en Bob zijn de spelers in een kennisquiz. De quiz bestaat uit een serie vragen op een gebied waar Ad en Bob even bekwaam zijn: ze beantwoorden allebei $60$ % van de vragen goed.
Als een vraag gesteld wordt aan Ad en hij het antwoord niet weet, krijgt Bob de gelegenheid te antwoorden. En omgekeerd.

a

Toon aan dat de kans dat een vraag goed wordt beantwoord (door een van beide spelers) gelijk is aan $0,84$ .

Degene die als eerste de gelegenheid krijgt te antwoorden krijgt voor het goede antwoord $100$ euro en de ander krijgt voor het goede antwoord $200$ euro.

b

Is degene die als eerste mag antwoorden in het voordeel, dat wil zeggen is het verwachte bedrag dat hij zal winnen groter dan dat van zijn tegenspeler?

Veronderstel dat voor beide spelers de kans om het goede antwoord te geven $p$ is (in plaats van $0,6$ ).

c

Bij welke waarde van $p$ maakt het niet uit wie als eerste de vraag mag beantwoorden?

Hierna geldt weer dat beide spelers kans $0,6$ hebben om een vraag goed te beantwoorden. Ad mag als eerste antwoorden.

d

Bereken de variantie van het bedrag dat Ad verdient bij deze vraag.
Bereken de variantie van het bedrag dat Bob verdient bij deze vraag.

Het bedrag dat Ad bij deze vraag meer verdient dan Bob heeft verwachtingswaarde $12$ en standaardafwijking $124,3$ .

e

Zijn "het bedrag dat A verdient" en "het bedrag dat B verdient" onafhankelijk?

Bij de tien vragen die A als eerste mocht beantwoorden won Ad $700$ euro meer dan Bob.

f

Is dit voldoende aanleiding om het uitgangspunt dat beide $60$ % van de vragen konden beantwoorden te verwerpen, bij significantieniveau van $5$ %?

6

Heupoperaties
Patiënten lopen na een operatie in het ene ziekenhuis veel meer gevaar een infectie te krijgen dan in het andere. In het jaar 2003 werden in een bepaald ziekenhuis $120$ heupoperaties uitgevoerd, waarna $6$ patiënten een infectie kregen. De directie vond het percentage van $5$ % infectiegevallen te hoog en nam extra preventieve maatregelen. In 2004 werden $154$ heupoperaties uitgevoerd, met nu $2$ infectiegevallen.
Men vroeg zich af of dit betere resultaat toeval was of door de extra preventieve maatregelen kwam.

a

Bereken de kans op hoogstens $2$ infectiegevallen bij $154$ operaties voor het geval dat de kans op infectie per operatie $0,05$ is.

Omdat de zojuist berekende kans klein is, neemt men aan dat na de extra preventieve maatregelen de kans op infectie na een operatie is afgenomen. De kans op infectie na een operatie na de extra preventieve maatregelen noemen we $p$ .

b

Bereken voor welke waarde van $p$ geldt: de kans op hoogstens $2$ infectiegevallen bij $154$ patiënten is $0,05$ .

De afgelopen vijf jaar was de verpleegduur in Nederlandse ziekenhuizen bij heupoperaties ongeveer normaal verdeeld met een gemiddelde van $4,5$ dagen en een standaardafwijking van $1,8$ dagen. Enkele chirurgen hebben de laatste tijd bij heupoperaties een infectieremmend medicijn toegediend. Een zorgverzekeraar beweert dat door behandeling met dit medicijn de gemiddelde verpleegduur korter is dan $4,5$ dagen.
Men neemt een aselecte steekproef van $100$ patiënten die behandeld zijn met het medicijn. Van deze $100$ patiënten blijkt de gemiddelde verpleegduur $4,1$ dagen te zijn. Neem aan dat de standaardafwijking van de verpleegduur bij heupoperaties onveranderd $1,8$ dagen is.

c

Onderzoek of door de uitkomst $4,1$ dagen de zorgverzekeraar bij een significantieniveau van $5$ % gelijk krijgt.

7

Bij een onderzoek in de VS rond de volksgezondheid werd het gewicht van mannelijke baby's bij de geboorte geregistreerd. Dit geboortegewicht bleek normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van $3592$ gram en een standaardafwijking van $96$ gram.

a

Toon aan dat ruim $32$ % van deze baby's minder dan $3548$ gram weegt.

b

Bereken de kans dat van tien willekeurig gekozen jongetjes er precies vier bij de geboorte minder dan $3548$ gram wegen.

Lange tijd werd aangenomen dat ook voor de Nederlandse situatie diezelfde normale verdeling met gemiddelde $3592$ gram en standaardafwijking $96$ gram gold. Een Nederlandse onderzoeker is echter van mening dat het gemiddelde geboortegewicht bij mannelijke baby’s in Nederland hoger ligt. Van een aselecte steekproef van $200$ Nederlandse jongetjes is het gemiddelde geboortegewicht gelijk aan $3605$ gram. We nemen aan dat de standaardafwijking $96$ gram is.

c

Onderzoek of dit steekproefresultaat voldoende aanleiding geeft deze onderzoeker gelijk te geven. Neem als significantieniveau $0,05$ .

8

Soepverkoop op school
In de schoolkantine verkoopt Hennie Gerritsen soep aan de scholieren. Het aantal bekers dat hij per dag verkoopt wisselt nogal sterk. Dat aantal is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde $40$ en standaardafwijking $10$ .

Hennie maakt 's ochtends de soep voor de hele dag. Hij besluit om soep voor $50$ bekers te maken.

a

Bereken de kans dat Hennie $5$ of meer bekers overhoudt.

Elke verkochte beker soep levert Hennie $35$ cent winst op. Op elke niet verkochte (maar wel bereide) beker soep lijdt hij een verlies van $20$ cent.

b

Druk de nettowinst (in centen) uit in het aantal verkochte bekers $x$ .
Wat is de verwachtingswaarde en wat is de standaardafwijking van de nettowinst?

Hennie wil niet te veel soep maken, want daar blijft hij dan mee zitten.

c

Voor hoeveel bekers moet Hennie soep maken, opdat hij maximaal $20$ % kans heeft om te weinig te hebben?

Op een gegeven moment gaat Hennie het anders aanpakken: hij maakt soep voor twee dagen tegelijk en wel de dubbele hoeveelheid, dus voor $100$ bekers.

d

Wat is nu de kans dat hij na twee dagen $10$ of meer bekers overhoudt?

In vier opeenvolgende dagen worden $180$ bekers soep verkocht. Dat is meer dan Hennie normaal mag verwachten. Dit kan een gevolg zijn van een structurele verandering in de verkoop, maar het kan ook een toevallige schommeling zijn.

e

Bepaal op grond van de oude aannames de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van de totale verkoop over vier dagen.

Hennie denkt dat zijn verkoop structureel is gestegen.

f

Onderzoek of deze conclusie gerechtvaardigd is bij een significantieniveau van $10$ %.

9

De badkuipkromme
Bij veel in massaproductie vervaardigde apparaten is de levensduur afhankelijk van het toeval. Bij de modellering daarvan onderscheidt men drie tijdsintervallen:

een korte beginperiode, waarin fabricage- en materiaalfouten aan het licht komen; er gaan dan relatief veel apparaten stuk,
een lange normale werkperiode, waarin slechts weinig apparaten stukgaan,
een korte eindperiode, waarin vrijwel alle apparaten door veroudering en slijtage stukgaan.

Bovenstaande figuur illustreert een wiskundig model dat voor de analyse van de levensduur van een bepaald type apparaten gebruikt wordt. Het gaat om apparaten waarbij de begin- en eindperiode beide ongeveer een half jaar duren en de normale werkperiode ongeveer $10$ jaar bedraagt. De apparaten worden maximaal $11$ jaar oud.

Op de horizontale as staat de tijd $t$ , gemeten in jaren. De figuur toont de grafiek van een functie $f$ waarvoor geldt dat de oppervlakte onder de grafiek op het interval $0 \leq t \leq 11$ gelijk is aan $1$ . Voor ieder tijdstip $a$ tussen $0$ en $11$ jaar is de kans dat een willekeurig apparaat stukgaat vóórdat het een leeftijd van $a$ jaren bereikt, gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van $f$ tussen de tijdstippen $t = 0$ en $t = a$ . In de figuur is voor $a = 1$ die oppervlakte gekleurd aangegeven. De grafiek van $f$ wordt vanwege de vorm een badkuipkromme genoemd.
In dit geval heeft de badkuipkromme de volgende eigenschappen:

de grafiek is symmetrisch in de lijn $t = 5,5$ ,
de oppervlakte onder de grafiek tussen $t = 0$ en $t = 1$ is ongeveer $0,14$ ,
de grafiek loopt tussen $t = 1$ en $t = 10$ ongeveer horizontaal.

a

Bereken met behulp van bovenstaande eigenschappen de kans dat een apparaat een levensduur bereikt tussen $2$ en $7$ jaar.

De fabrikant geeft één jaar garantie op het apparaat. Als het binnen één jaar stukgaat, wordt het gratis vervangen door een nieuw exemplaar. Ook dat kan weer binnen een jaar stukgaan, waarna ook dat exemplaar gratis wordt vervangen, enzovoort.
Iemand koopt vier van deze apparaten.

b

Bereken de kans dat precies één keer een apparaat van deze persoon gratis wordt vervangen door een nieuw exemplaar.

Men kiest aselect $150$ van deze apparaten en bekijkt hun levensduur. De standaardafwijking van de levensduur van één apparaat is $3,5$ jaar.

c

Wat is de standaardafwijking van de gemiddelde levensduur van de $150$ apparaten?

Van de groep van $150$ apparaten bleek de gemiddelde levensduur slechts $5,1$ jaar te zijn.

d

Geeft dit voldoende aanleiding om de veronderstelde gemiddelde levensduur van een apparaat naar beneden bij te stellen? Neem een significantieniveau van $10$ %.

10

Kwartetten
Een supermarktketen houdt een actie: “Kwartetten”. Bij elke vijf euro aan boodschappen krijg je een kaart waarop één van de volgende zes producten staat afgebeeld: aardbeienijs, kauwgum, chocoladereep, frisdrank, chips, douchegel.
Als je vier kaarten met hetzelfde product erop hebt (een kwartet), krijg je dat product als prijs. Op sommige kaarten staat geen product, maar een hand met kaarten: dat is een joker. In plaats van vier kaarten met hetzelfde product kun je ook drie kaarten met dat product en één joker gebruiken voor een prijs. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken.
De eigenaar van de supermarktketen heeft er voor gezorgd dat $4$ % van alle kaarten joker is. Verder zijn er van elk product evenveel kaarten gemaakt, dus $16$ % kaarten met aardbeienijs, $16$ % met kauwgum, enzovoort. De kaarten die de klanten krijgen, zijn willekeurig over de supermarkten verdeeld.
Er zijn $200.000$ kaarten gedrukt. De actie duurt twee weken.

Meneer De Vries krijgt in deze twee weken in totaal $10$ kaarten. Het aantal jokers dat hij krijgt, noemen we $X$ . De kansverdeling van $X$ mag benaderd worden met een binomiale verdeling.

a

Waarom mag de kansverdeling van $X$ benaderd worden met een binomiale verdeling? Geef de twee argumenten die hiervoor nodig zijn.

b

Bereken de kans dat er bij die $10$ kaarten van meneer De Vries minstens één joker is.

De eigenaar van de supermarktketen probeert van tevoren in te schatten hoeveel inkomsten hij door deze actie misloopt. In de tabel hiernaast staan de prijzen van de producten in euro’s.

We gaan uit van de volgende denkbeeldige situatie: er zijn $10.000$ klanten, die gemiddeld elk $20$ kaarten krijgen tijdens de twee weken dat de actie duurt. Bij elke kaart is voor precies $5$ euro aan boodschappen gedaan. Door kaarten te ruilen of door samen te werken, kunnen klanten meer prijzen winnen tijdens deze actie. We nemen aan dat al deze klanten hun kaarten onderling ruilen of aan elkaar weggeven, zodat alle $200.000$ kaarten gebruikt worden voor een kwartet. De klanten gebruiken de jokers bij het duurste product.
In de hierboven beschreven situatie heeft de eigenaar maximaal inkomstenverlies. Dit bedrag is een klein percentage van het bedrag dat de klanten hebben uitgegeven voor de kaarten.

c

Bereken dit percentage.

Deze kwartetactie wordt in een 6e klas bij wiskunde A besproken. Zoals in het begin van de opgave vermeld wordt, heeft de eigenaar van de supermarktketen ervoor gezorgd dat elk product op $16$ % van de kaarten afgebeeld is. De leerlingen van de 6e klas vermoeden echter dat er te weinig kaarten met de duurste producten zijn. Om hun vermoeden te onderzoeken, voeren ze een hypothesetoets uit. Ze houden de komende week bij welke kaarten ze krijgen. Na afloop van die week hebben ze in totaal $123$ kaarten waarvan $51$ kaarten met de drie duurste producten.

d

Tot welke conclusie komen ze op grond van hun hypothesetoets, bij een significantieniveau van $5$ %?

11

Spreekuur
Een (vrouwelijke) huisarts heeft op elke werkdag twee uren gereserveerd voor een spreekuur. De ervaring heeft haar geleerd dat zij tijdens het spreekuur gemiddeld tien minuten voor een patiënt nodig heeft. De huisarts deelt de patiënten die van haar spreekuur gebruik maken in drie groepen in:

gemakkelijke patiënten die hoogstens $5$ minuten tijd kosten;
gewone patiënten die tussen de $5$ en $15$ minuten tijd kosten;
tijdrovende patiënten die minstens $15$ minuten tijd kosten.

We maken bij deze situatie het volgende wiskundige model:

elke werkdag komen er $12$ patiënten op het spreekuur;
de tijd die de huisarts tijdens het spreekuur voor een patiënt nodig heeft, is normaal verdeeld met een gemiddelde van $10$ minuten en een standaardafwijking van $4$ minuten.

a

Bereken de verwachtingswaarde van het aantal tijdrovende patiënten tijdens een spreekuur.

b

Bereken de kans dat de huisarts tijdens een spreekuur $2$ gemakkelijke en $10$ gewone patiënten krijgt.

c

Bereken de kans dat tijdens een spreekuur minstens zes patiënten meer dan $10$ minuten kosten.

In een week had de arts voor de $60$ patiënten op haar spreekuur in totaal $654$ minuten nodig. Dat is aanzienlijk meer dan je zou verwachten bij $60$ patiënten.

d

Onderzoek of deze gegevens voldoende aanleiding geven om de veronderstelde gemiddelde tijd van $10$ minuten te verhogen, bij een significantieniveau van $5$ %.

De huisarts beweert dat zij de afgelopen vijf jaar van haar ruim $3000$ patiënten $30$ % wel eens een keer doorverwezen heeft naar een specialist in het ziekenhuis. Haar plaatsvervanger (tijdens een vakantie) denkt dat dit percentage minder is en neemt een steekproef van $50$ patiënten.

d

Bij welke aantallen die worden doorverwezen zal de plaatsvervanger de bewering van de huisarts verwerpen. bij significantieniveau $10$ %?

12

Stoppen met roken
Veel mensen beginnen op jonge leeftijd met roken en proberen daar op latere leeftijd weer mee op te houden. Dat lukt niet altijd.
Het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS) publiceert regelmatig cijfers waarmee het rookgedrag van Nederlanders kan worden bestudeerd. In de tabel hieronder vind je enkele getallen.

jaar	$2001$	$2005$
aantal Nederlanders, in miljoenen	$16,0$	$16,3$
percentage rokers	$33,3$	$29,5$
gemiddeld aantal sigaretten per roker per jaar	$4526$	$4271$

a

Bereken met hoeveel procent het totale aantal gerookte sigaretten in 2005 is afgenomen ten opzichte van 2001.

Er zijn veel hulpmiddelen om minder te gaan roken of er zelfs helemaal mee te stoppen. Eén daarvan is het gebruik van tabletten van het merk Fumostop. Om na te gaan of Fumostop een middel is dat inderdaad helpt, wordt het volgende onderzoek uitgevoerd.

Uit alle zware rokers wordt aselect een groep van $18$ proefpersonen gekozen. Elke proefpersoon krijgt $10$ tabletten die uiterlijk niet van elkaar verschillen. De tabletten zijn genummerd verpakt in doordrukstrips.
Elke proefpersoon moet $10$ dagen lang iedere dag bij het opstaan een willekeurig gekozen tablet innemen, het nummer van dat tablet noteren en bijhouden hoeveel sigaretten hij die dag rookt. Wat de proefpersonen niet weten maar de onderzoekers wel, is dat $5$ van de tabletten inderdaad van het merk Fumostop zijn. De andere $5$ tabletten bevatten geen enkele werkzame stof. We geven de ‘echte’ tabletten aan met F en de andere tabletten met NF. Aan de genoteerde tabletnummers kunnen de onderzoekers zien wanneer de F- en wanneer de NF-tabletten ingenomen zijn.

Nico is één van de $18$ proefpersonen. Het is mogelijk dat hij om de dag een F-tablet inneemt, waarmee bedoeld wordt dat hij steeds na een F-tablet de volgende dag een NF-tablet inneemt en omgekeerd.

b

Bereken de kans dat hij om de dag een F-tablet inneemt.

De onderzoekers vermoeden dat het gebruik van F-tabletten leidt tot het roken van minder sigaretten. Om dat na te gaan, wordt van elke proefpersoon bijgehouden hoeveel sigaretten hij in totaal heeft gerookt op de vijf dagen met een F-tablet en op de vijf dagen met een NF-tablet. Het resultaat vind je in de tabel hieronder.

c

Onderzoek met behulp van een tekentoets of er voldoende aanleiding is om het vermoeden van de onderzoekers te bevestigen. Neem hierbij als significantieniveau $5$ %.

Van de mensen die in 2006 rookten, rookte $24,5$ % per dag $20$ sigaretten of meer. Rokers rookten toen gemiddeld $11,4$ sigaretten per dag. Tine wil onderzoeken of het aantal sigaretten per dag normaal verdeeld zou kunnen zijn.
Ze bedenkt de volgende aanpak: “Als er sprake is van een normale verdeling, dan kan ik de bijbehorende standaardafwijking berekenen. Daarna kan ik nagaan of die waarde – in combinatie met dat gemiddelde $11,4$ – tot een conclusie leidt.”

d

Bereken die standaardafwijking en toon daarmee aan dat het aantal sigaretten dat een roker per dag in 2006 rookte, niet normaal verdeeld kan zijn.

13

Multiple choice
Een student moet een test afleggen die bestaat uit $10$ meerkeuzevragen. Elke vraag bestaat uit drie alternatieven. De score op iedere vraag is $0$ (fout) of $1$ (juist).
Een student haalt een score van $8$ en beweert gegokt te hebben.

Geloof je hem?

14

Antropometrie
Voor sommige doeleinden wordt onderscheid gemaakt tussen oudere mensen ( $70$ jaar en ouder) en jongere mensen. Universiteit Delft heeft in 1998 uitgebreid antropometrisch onderzoek gedaan bij oudere mensen. Hierbij is onder andere de vuisthoogte gemeten. De vuisthoogte is van belang voor bijvoorbeeld koffers en tassen met wieltjes. Omdat oudere mensen gemiddeld minder lang zijn dan jongere mensen, verwacht men dat de vuisthoogte van oudere mannen kleiner is dan die van mannen van $20$ tot $60$ jaar.

De vuisthoogte van mannen van $20$ tot $60$ jaar is gemiddeld $817$ mm met een standaardafwijking van $47$ mm.
Bij een steekproef van $128$ mannen van $70$ jaar en ouder was gemiddelde vuisthoogte $761$ mm. Dit steekproefresultaat ( $761$ mm) was ruim voldoende aanleiding om te concluderen dat de vuisthoogte van mannen van $70$ jaar en ouder kleiner is dan die van mannen van $20$ tot $60$ jaar.

Bereken bij een steekproef van $128$ mannen van $70$ jaar en ouder tot welke waarde van het steekproefresultaat men deze conclusie nog kan trekken. Neem een significantieniveau van $5$ %.

15

Stollingstijd
Artsen schrijven aspirines voor aan hartpatiënten voor om te voorkomen dat bloedklonters aders zullen verstoppen. De volgende studie werd uitgevoerd om na te gaan of het gebruik van aspirines een positieve invloed heeft op klontervorming in het bloed, dat wil zeggen dat de de stollingstijd groter wordt. Bij twaalf volwassen mannen observeerde men de stollingstijd (de tijd die het duurt voordat bloedklonter is gevormd). De stollingstijd (in minuten) werd gemeten vóórdat de mannen aspirines innamen en drie uur na het innemen van twee aspirines. De data vind je hieronder (bovenste rij is vóór inname; onderste rij is na inname).

Toets hiermee met een tekentoets of het toedienen van aspirines een positieve invloed heeft op klontervorming, met $5$ % significatieniveau.

16

Toevalsgetallen
Een grafische rekenmachine heeft een randomgenerator; die genereert toevalsgetallen van tien decimalen, van $0,0000000000$ tot en met $0,9999999999$ .
Het toevalsgetal $X$ is uniform verdeeld; Het gemiddelde van $X$ is (nagenoeg) $0,5$ .

a

Genereer honderd randomgetallen en bereken het gemiddelde van deze honderd getallen.

b

Genereer vijfhonderd getallen en bereken daarvan het gemiddelde.

(hint)

Op de TI gaat dat zó:

LIST / OPS / 5:seq( ENTER
Voer in: rand,k,1,500)
Sla de 500 getallen op: STO L1
Bereken het gemiddelde met STAT / CALC / 1 – Var Stats ENTER
voer in L1 ENTER

Op de Casio gaat dat zó:

MENU Statistics=2
Je komt dan in het lijsten invoerscherm.
Zet de cursor op het woord List 1
Dan OPTN PROB=F5 RAND=F4 List=F5
Zorg nu voor RanList#(500)

Dit geeft 500 Random getallen in Lijst 1

c

Toets hiermee of de randomgenerator op je rekenmachine goed werkt, met $5$ % significatieniveau.