13.2 Exponentiële groei >

Hoofdstukken > Groei van groei

Het eeuwige leven
Van een nieuwe generatie zoetwaterpoliepen sterft de helft in het eerste levensjaar. Van de dieren die het tweede jaar halen, sterft weer de helft. Van de dieren die het derde jaar halen, sterft ook weer de helft. Enzovoort.

Welk deel haalt het (begin van het) vierde jaar? En welk deel het (begin van het) zesde jaar?

Hoe oud kan een poliep eigenlijk worden?

Huizenprijs
Op de site van het CBS vind je het volgende.
Het prijsindexcijfer van bestaande koopwoningen was in augustus 2008: $113,5$ en in augustus 2011: $103,8$ .
Het prijsindexcijfer van augustus 2005 is op $100$ gesteld.
De prijs van bestaande woningen is dus in de periode van augustus 2005 to augustus 2008 gestegen met $13,5$ %.

Met hoeveel procent is de prijs gedaald in de periode van augustus 2008 tot augustus 2011? Geef je antwoord in twee decimalen.

In een recent verleden was dat wel anders. De huizen zijn in Nederland tussen 1985 en 1995 anderhalf keer zo duur geworden. Maar de mensen zijn ook meer gaan verdienen: $1,2$ keer zo veel.

Zijn huizen dus wel echt duurder geworden ten opzichte van het inkomen?

Om de stijging van de huizenprijs goed te kunnen beoordelen, is het eerlijker om te kijken hoeveel keer zo duur een huis is geworden ten opzichte van het inkomen van de mensen.

Hoeveel procent duurder zijn huizen dan geworden?

Procenten en vermenigvuldigingsfactoren
We gaan nog even verder met de huizenprijs uit de vorige opgave. Deze werd, zoals we zagen, tussen 1985 en 1995 anderhalf keer zo groot: de prijs steeg met $50$ %.

Hoeveel keer zo duur wordt een product als de prijs toeneemt met: $15$ %, $1,5$ %, $247$ % en $0,24$ % ?
En als de prijs afneemt met: $15$ %, $1,5$ %, $99$ % en $0,24$ % ?

Met hoeveel procent neemt de prijs toe of af, als het product $3$ keer zo duur wordt? Als het $0,75$ keer zo duur wordt? Als het $1,03$ keer zo duur wordt? En als het $0,15$ keer zo duur wordt?

We bekijken de hoeveelheid $H$ van een zeker goedje. $H$ varieert in de tijd. Als $H$ toeneemt met $p$ %, dan wordt $H$ $1 + \frac{p}{100}$ keer zo groot.
Als $H$ $x$ keer zo groot wordt, dan neemt $H$ toe met
$(x - 1) \cdot 100$ %.

Controleer bovenstaande voor $p = 50$ .

Controleer bovenstaande voor $x = 1 \frac{1}{2}$ .

De aandelen WM zijn in 2010 met $50$ % gestegen. In 2011 daalden ze met $10$ % maar in 2012 stegen ze weer, nu met $30$ %.

Met hoeveel procent zijn de aandelen in totaal gestegen in de drie jaren?

Een bouwmarkt houdt een BTW-actie. Je krijgt de BTW van $21$ % terug. Er wordt gesuggereerd dat je dan $21$ % korting krijgt.

Hoeveel procent korting (in één decimaal) krijg je als je de BTW niet hoeft te betalen?

Als je $21$ % korting op de verkoopprijs krijgt, betaal je minder dan de prijs exclusief BTW.

Hoeveel procent minder (in één decimaal)?

Het Oekraïne-referendum
Op 6 april 2016 sprak de Nederlandse bevolking zich in een raadgevend referendum uit over het associatieverdrag tussen Oekraïne en de Europese Unie. De uitslag van een raadgevend referendum is geldig als minstens $30$ % van de stemgerechtigden opkomt.
In haar wekelijkse column in de Volkskrant schrijft Ionica Smeets op 2 april 2016: "Volgens De Telegraaf mogen komende woensdag maar liefst $12.838.934$ Nederlanders hun mening geven over het associatieverdrag tussen Oekraïne en de Europese Unie."

Hoeveel mensen moeten volgens bovenstaande gaan stemmen, wil het referendum geldig zijn?

Vervolgens schrijft Ionica:"Dat aantal stemgerechtigden klinkt aandoenlijk nauwkeurig, maar het blijft natuurlijk een schatting. Het kunnen ook $12.838.933$ stemgerechtigden zijn (dat is een priemgetal), of een paar duizend meer of minder."

Hoe komt Ionica daarbij?

De uitslag van de stemming was: Opkomst: $32,2$ %, voor: $38,1$ %, tegen $61,1$ %, blanco/ongeldig: $0,8$ %. Op nu.nl stond: "Ruime meerderheid tegen verdrag Oekraïne". Een lezer van de Limburger schreef: Een op de vijf is tegen het verdrag.

Hoezo?

Er waren mensen uit het Ja-kamp die thuisbleven, zogenaamde strategische stemmers.

Enig idee waarom?

In het volgende gaan we weer uit van $12.838.934$ stemgerechtigde Nederlanders.

Hoeveel voorstemmers hadden thuis moeten blijven om het referendum ongeldig te laten zijn?

Jan kreeg vorig jaar bij het kopen van een apparaat $13$ % korting op de winkelprijs. Jannie kreeg dit jaar bij het kopen van hetzelfde apparaat $25$ % korting op de nieuwe winkelprijs. Jan betaalde vorig jaar evenveel als Jannie dit jaar.

Met hoeveel procent is de winkelprijs van vorig jaar gestegen naar de nieuwe winkelprijs van dit jaar?

(hint)

Stel dat het apparaat vorig jaar

100

euro kostte.

Iemand zet $1000$ euro op de bank tegen $10$ % rente.
In de zeventiger jaren, met zijn hoge inflatie was dit haalbaar, in 2016 met de lage inflatie en de negatieve rente van de ECB niet meer.

Neem de tabel over en vul hem verder in, $K (t)$ is het kapitaal na $t$ jaar.

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$K (t)$	$1000$	$1100$

Hoeveel keer zo groot wordt het kapitaal in één jaar?

Hoeveel keer zo groot wordt het in drie jaar?

Geef een formule voor $K (t)$ en teken de grafiek op de GR.

Spreeuwen komen 's zomers in grote zwermen voor. De hemel ziet dan zwart van deze vogels. Zo’n zwerm kan veel overlast en schade aan de oogst veroorzaken.
Hoe groot is de aanwas van spreeuwen in een broedseizoen? In de literatuur tref je de volgende gegevens aan. Een spreeuwenpaar krijgt gemiddeld $4,3$ jongen in het eerste broedsel. $35$ % van de paren produceert hetzelfde jaar nog een tweede broedsel van gemiddeld $3,5$ jongen.

Laat zien dat een groep spreeuwen in een jaar tijd $3,76$ keer zo groot wordt.
Ga uit van $100$ paren, dus van $200$ vogels.

Spreeuwen kunnen vijftien jaar oud worden. De jongen van dit jaar zijn volgend jaar volwassen. We starten met een zwerm van $100$ spreeuwen die net volwassen zijn geworden. Veronderstel dat er geen spreeuwen vroegtijdig dood gaan. Ieder jaar wordt de groep $3,76$ keer zo groot.

Uit hoeveel spreeuwen bestaat de groep dan over $15$ jaar?

Dat is een schrikbarend groot aantal. Soms neemt het aantal spreeuwen in een streek inderdaad spectaculair toe, maar nooit tot zulke gigantische aantallen als je in b hebt berekend.

Hoe zou dat komen?

Een hoeveelheid $H$ groeit exponentieel in de tijd $t$ als $H$ gedurende elke tijdseenheid een vaste factor keer zo groot wordt: de groeifactor.

Als de beginhoeveelheid $A$ is en de groeifactor $g$ , dan:
$H = A \cdot g^{t}$ .

De functie $H = A \cdot g^{t}$ is de exponentiële functie met groeifactor $g$ en beginhoeveelheid $g$ en $A$ .

Werken onder hittebelasting
Een achturige werkdag bij hoge temperatuur is vooral bij zware spierarbeid te zeer belastend. Daarom is soms arbeidstijdverkorting verplicht. Bij een bedrijf gaat dat zo.

Wat is de arbeidstijd bij de temperaturen $25$ °C, $28$ °C, $31$ °C en $34$ °C ?
Zet de bijbehorende vier punten uit in een stippengrafiek.

De grafiek kan worden uitgebreid voor de tussenliggende temperaturen. We bekijken twee manieren om dat te doen.

De arbeidstijd blijft telkens $3$ °C lang gelijk; dat is in het voordeel van de werkgever.
De grafiek wordt een vloeiende kromme lijn door de vier stippen.

Teken met kleur beide grafieken in de figuur bij a.

Bepaal in beide gevallen de arbeidstijd bij een temperatuur van $26,5$ °C.

Ga uit van een vloeiende grafiek. Het aantal toegestane arbeidsuren noemen we $A$ , het aantal graden dat de temperatuur hoger is dan $25$ °C noemen we $h$ (de overschrijdingstemperatuur).

Welke van de volgende formules is goed?
$A = 8 \cdot {0,5}^{h}$ , $A = 8 \cdot {0,5}^{3 h}$ , $A = 8 \cdot {0,5}^{\frac{1}{3} h}$ .

De temperatuur in °C noemen $T$ . Je vindt $h$ dus door $25$ van $T$ af te trekken

Geef een formule voor $A$ , uitgedrukt in $T$ .

Lees de tekst in de figuur.

Van zo’n zandmonster wordt een korrelgrootteverdeling gemaakt. Daarvoor gebruikt men een reeks zeven met verschillende maaswijdten. Die maaswijdten verschillen een constante factor.
Een bekende reeks is: $\frac{1}{256}$ , $\frac{1}{128}$ , ..... , $16$ mm (elke volgende term is $2$ keer zo groot als de vorige).

Uit hoeveel zeven bestaat de reeks en in hoeveel klassen worden de zandkorrels verdeeld?

De zeven worden genummerd; de fijnste zeef krijgt nummer $1$ , de op een na fijnste zeef krijgt nummer $2$ , enzovoort.

Geef een formule voor de maaswijdte van de zeef met nummer $n$ .

Voor het strandonderzoek nam men de exponentiële reeks:
... , $595$ , $500$ , $420$ , $353$ , ... (gemeten in μm), $1$ $μ$ m = $1$ micrometer = $0,001$ mm.

Vul de reeks naar links en naar rechts aan met twee waarden.

De stapel zeven wordt in een trilmachine gezet. Op bijvoorbeeld de $420$ -zeef blijft dat deel van het zand liggen dat wel door de $500$ -zeef past maar niet door de $420$ -zeef. Zodoende wordt het zand verdeeld in zeefklassen, die worden gewogen. Vervolgens wordt berekend hoeveel procent van het gehele monster in de verschillende klassen zit. Uit de zo bepaalde korrelgrootteverdeling kunnen conclusies getrokken worden over de vorming van het zandgebied. De zeefklassen zijn niet even breed.

Welke klassen zijn de smallere en welke de bredere?

Waarom heeft men niet gekozen voor even brede zeefklassen, denk je?

Hyperinflatie
Veel landen in de wereld hebben grote problemen met inflatie. Inflatie, ook wel geldontwaarding genoemd, betekent dat je voor dezelfde goederen steeds meer moet betalen. In Nederland is de inflatie nooit zo groot; meestal enkele procenten per jaar. In sommige ontwikkelingslanden is de inflatie soms meer dan $100$ %.

In de twintiger jaren kende Duitsland een geweldige hyperinflatie. Op gegeven moment werden er zelfs biljetten van honderdbiljoen mark gedrukt.
Uit Wikipedia: Hyperinflatie kan ontstaan wanneer de centrale bank van een land grote hoeveelheden geld creëert die niet in verhouding staan tot de daadwerkelijke economische groei van het betreffende land. De overheid van een land kan besluiten tot het creëren ("bijdrukken") van geld om bijvoorbeeld schulden af te lossen of om de salarissen van ambtenaren te kunnen betalen. Andere mogelijke oorzaken van hyperinflatie zijn bijvoorbeeld speculatie en het wegvallen van vertrouwen in een munt.

We bekijken de inflatie in Hongarije tussen 1990 en 1997. Die was ongeveer $20$ %. We nemen aan dat elk jaar de goederen $1,2$ keer zo duur worden. Begin 1990 kostte een brood nog ongeveer $50$ forint.

Hoeveel kostte dat brood begin 1997?

Stel een formule op voor $P$ (de prijs van een brood) uitgedrukt in $t$ , het aantal jaar na begin 1990.

Maak een tabel met de GR.
Zoek op die manier uit hoe lang het duurt voordat de prijs van een brood is opgelopen tot $100$ forint.
Bepaal met de GR in welke maand van welk jaar een brood $100$ forint kostte.

Wanneer is de prijs van een brood nog eens $2$ keer zo hoog, dus $200$ forint? En na hoeveel jaar $400$ forint?