In de vorige paragrafen heb je vergelijkingen op moeten lossen. Technieken hiervoor heb je eerder al geleerd. In deze paragraaf zetten we ze nog eens bij elkaar.

Lineaire vergelijkingen
Voorbeeld:

3 ( x + 4 )

=

40 2 x

haakjes wegwerken

3 x + 12

=

40 2 x

Plus 2 x , Min 12

5 x

=

28

Delen door 5

x

=

5,6

1

Los de volgende vergelijkingen op.

0,2 ( x + 5 ) = 0,4 ( 3 x + 8 )

5 6 x = 1 2 x 8

3 ( 5 x ) = 5 ( 3 + x )

34 ( x + 4 ) + 3 ( 5 2 x ) = 11

2

De trapformule
De aantrede van een trap noemen we x : dat is de lengte van het horizontale stuk van een trede (in cm). De optrede noemen we y : dat is de lengte van het verticale stuk (in cm). Zie plaatje. Als de aantrede x nogal groot is, kan y niet te groot zijn, en omgekeerd; anders is de trap niet meer goed te beklimmen. Bij welke waarden van x en y is een trap goed te beklimmen? Timmerlieden hanteren een merkwaardige formule: een trap is goed te beklimmen als 2 y + x = 63 (alles in cm).

a

Teken de grafiek van deze formule op de GR. Daarvoor moet je de formule eerst herschrijven in de vorm y = x .

Van een zekere trap zijn de optrede en aantrede gelijk.

b

Bereken hoe groot deze zijn volgens de formule.

c

Lees je antwoord ook af met behulp van de grafiek, bijvoorbeeld door er in het window de grafiek van y = x bij te tekenen.

3

Een leraar gaat duiven houden. Hij wil met twee soorten beginnen: Blauwe Amsterdamse duiven en Belgische witkuiven. Hij koopt x Blauwe Amsterdamse duiven en y Belgische witkuiven. Een Blauwe Amsterdamse duif kost 12 euro en een Belgische witkuif 8 euro. In totaal besteedt hij 200 euro.

a

Leid uit de gegevens een gelijkheid af van de vorm: x + y = .

b

Teken de grafiek van het verband op de GR.

De leraar koopt in totaal 21 duiven. Dus x + y = 21 .

c

Teken de grafiek van deze formule in hetzelfde window.

d

Lees af hoe groot x en y zijn. Controleer deze waarden door ze in de twee formules in te vullen.

e

Bereken - uitgaande van de twee formules - de waarden van x en y langs algebraïsche weg.

Op de GR heb je de mogelijkheid om het snijpunt van twee grafieken te vinden (intersect).
Zoek uit hoe dat bij jouw machine werkt.
Neem bijvoorbeeld de functies f en g , met f ( x ) = x 3 en g ( x ) = 4 x + 2 ; het snijpunt is ( 2,8 ) .

4

In de economie spelen isokostenlijnen een belangrijke rol. Om producten te maken heb je arbeid en kapitaal nodig. Voor arbeid kun je een aantal werknemers in dienst nemen, zeg x werknemers. Iedere werknemer kost € 1000 per week. Kapitaal gebruik je voor machines: afschrijvingen,onderhoud, enzovoort. Per machine kost dat € 700 per week. Zeg dat je y machines koopt. Er is per week in totaal € 18.500 beschikbaar voor arbeid en kapitaal samen.

a

Geef een formule voor het verband tussen x en y en teken de grafiek op de GR.

Elke machine wordt bediend door drie werknemers; andere werknemers zijn er niet.

b

Welke formule voor x en y volgt hieruit?
Teken de grafiek hiervan in hetzelfde window.

c

Bepaal het snijpunt van de twee grafieken, zowel met aflezen op de GR als langs algebraïsche weg.

d

Hoe verandert de eerste grafiek als er niet €  18.500 maar €  37.000 per week beschikbaar is?

5

Bij bakker Van der Wijst kost een brood €  2,80 . Nu denk je misschien dat een half brood de helft, dus €  1,40 , kost. Maar dat is niet zo. Een half brood kost bij Van der Wijst namelijk €  1,60 .
Het aantal halve broden dat Van der Wijst verkocht noemen we x , het aantal hele broden noemen we y .

a

Als x = 20 en y = 36 , hoeveel broden heeft van der Wijst dan totaal verkocht?

Van der Wijst heeft vandaag 46 broden verkocht, sommige als heel brood, andere als twee halve broden. Een van de mogelijkheden is: x = 20 , y = 36 . Maar ook andere combinaties van x en y leveren in totaal 46 broden op.

b

Stel een formule op voor het verband tussen x en y .
Teken de bijbehorende grafiek op de GR.

In totaal brachten de broden vandaag € 134,40 in de kassa.

c

Welke formule voor x en y volgt hieruit?
Teken de grafiek van deze formule in het hetzelfde window.

d

Bepaal hoeveel hele broden en hoeveel halve broden Van der Wijst vandaag verkocht heeft met de GR en langs algebraïsche weg.

Kwadratische vergelijkingen

Er zijn drie methoden om kwadratische vergelijkingen op te lossen:

  • ontbinden in factoren,

  • kwadraatafsplitsen,

  • de wortel- of abc-formule.

Zie ook hoofdstuk 28 van klas 3: Vierkantsvergelijkingen.

De laatste methode werkt als volgt.
De vierkantsvergelijking a x 2 + b x + c = 0 heeft oplossingen x = b + b 2 4 a c 2 a en x = b b 2 4 a c 2 a ,
als a 0 en D 0 , hierbij is D = b 2 4 a c , de discriminant.

Met een voorbeeld laten we nog eens zien hoe de drie methodes werken.

Voorbeeld:

We lossen de vergelijking 2 x 2 + 4 x = 48 op drie manieren op.

  • Met ontbinden
    2 x 2 + 4 x = 48
    2 x 2 + 4 x 48 = 0
    x 2 + 2 x 24 = 0
    ( x + 6 ) ( x 4 ) = 0
    x = 6 of x = 4 .

  • Met kwadraatafsplitsen
    2 x 2 + 4 x = 48
    x 2 + 2 x = 24
    x 2 + 2 x + 1 = 25
    ( x + 1 ) 2 = 25
    x + 1 = 5 of x + 1 = 5 , dus
    x = 6 of x = 4 .

  • Met de wortelformule
    2 x 2 + 4 x = 48
    2 x 2 + 4 x 48 = 0
    We nemen in de wortelformule a = 2 , b = 4 en c = ‐48 .
    Dan D = 4 2 4 2 48 = 400 , dus x = 4 + 400 2 2 = 4 of x = 4 400 2 2 = 6 .

Opmerking:

De methode 'ontbinden' zul je niet in alle gevallen kunnen gebruiken.

6

Los de volgende vergelijking op.

x 2 = 6 x + 7

1 2 x 2 12 = x

x ( x + 1 ) = 5 ( x + 2 )

3 x 2 = 2 x + 1

7

Het maximale gewicht dat een bepaald type touw kan dragen, wordt gegeven door G = 400 d ( d + 2,5 ) , waarbij d de diameter van het touw is in cm, zie opgave 5.

a

Teken de grafiek van G als functie van d op de GR.

Welke diameter is nodig voor een gewicht van 5000 kg?

b

Bepaal het antwoord op deze vraag met de GR en langs algebraïsche weg.

8

Een fabrikant van accu's verkoopt ze voor de volgende prijzen. Als je 100 stuks afneemt, betaal je 10 euro per stuk. Voor elke accu die je meer koopt betaal je per stuk 0,01 euro minder; voor elke accu die je minder koopt, betaal je per stuk 0,01 euro meer.
Dus voor 110 stuks betaal je 10 10 0,01 = 9,90 euro per stuk en voor 90 stuks betaal je 10 + 10 0,01 = 10,10 euro per stuk. Het aantal stuks dat iemand koopt noemen we q en de prijs hij per stuk moet betalen p (in euro).

a

Maak de tabel af.

q

70

80

90

100

110

120

130

p

10,10

10,00

9,90

b

Druk p uit in q .

c

Druk het totaal te betalen bedrag b voor de gekochte accu's (in euro) uit in q .

d

Bereken hoeveel stuks iemand afgenomen heeft als hij 1678,11 euro moet afrekenen.

Het gaat er in deze paragraaf om dat je de algebra-technieken oefent om vergelijkingen op te lossen. In het vervolg zullen we daarom alleen maar naar de algebraïsche weg vragen. Uiteraard is het verstandig om ook de GR in te zetten, in elk geval om je antwoord te controleren.

Vergelijkingen met andere machten
9

Kimduiking
De kimduiking k (in graden) voor een waarnemer op hoogte k (meter) wordt gegeven door: k = 0,03 h , zie opgave 6.

Bereken exact bij welke hoogte de kimduiking 0,24 ° is.

10

Windenergie
De energie E (in watt) die een windmolen levert bij windsnelheid w (in m/s) wordt gegeven door: E = 0,3 w 3 .

Bereken in één decimaal langs algebraïsche weg bij welke windsnelheid de geleverde energie 500 watt is.

11

Gegeven zijn de functies f en g met f ( x ) = x 2 3 en g ( x ) = x 3 2 voor x > 0 .

a

Ga op de GR na hoe de grafieken liggen ten opzichte van de lijn y = x ; zorg voor een "vierkant" window.

Het punt ( 1000,100 ) ligt op de grafiek van f en het punt ( 100,1000 ) op de grafiek van g .

b

Laat dat met een exacte berekening zien.

Als ( a , b ) op de grafiek van f ligt, dan ligt ( b , a ) op de grafiek van g .

c

Leg dat uit.

De grafieken van de functies f en g met f ( x ) = x p q en g ( x ) = x q p zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn x = y .
Als f de invoer a omrekent naar de uitvoer b , dan doet g precies het omgekeerde: g rekent invoer b om naar uitvoer a .
Dus: f en g zijn elkaars inverse.
Een bijzonder geval hiervan is: de functies y = x n en y = x n zijn elkaars inverse. Hierbij is n positief geheel.

Voorbeeld:

We lossen de volgende twee vergelijkingen in x op langs algebraïsche weg.

  1. 10 x = 3

  2. 0,4 x x 3 = 100

10 x

=

3

deel door 10

x

=

0,3

kwadrateer

x

=

0,09


0,4 x x 3

=

100

met gebroken exponent schrijven

0,4 x 1 1 3

=

100

deel door 0,4

x 1 1 3

=

250

inverse van y = x 1 1 3 is y = x 3 4

x

=

250 3 4 62,87

12

Los de volgende vergelijkingen in x op langs algebraïsche weg.

x + 2 = 1,5

3 x + 2 = 6,8

4 x 5 = 30

1 2 x 0,2 = 1,5

x 3 4 = 10

x 2 x = 500

13

De huidoppervlakte H (in m2) van een mens met een gewicht van G kg en een lengte van L cm, wordt gegeven door:
H = 0,007 G 0,425 L 0,725 .
Iemand heeft een huidoppervlakte van 2 m2.

a

Bereken langs algebraïsche weg hoe lang die persoon is volgens de formule, als hij 80 kg weegt?

b

Bereken langs algebraïsche weg hoe zwaar die persoon is als hij 1,75 meter lang is.

Gebroken vergelijkingen
Voorbeeld:

We lossen de volgende twee vergelijkingen in x op langs algebraïsche weg.

  1. 4 + 3 x 1 = 9

  2. 2 + 2 x + 1 x 1 = 7

4 + 3 x 1

=

9

van beide kanten 4 aftrekken

3 x 1

=

5

beide kanten met x 1 vermenigvuldigen

3

=

5 ( x 1 )

verder oplossen

x

=

1,6

2 + 2 x + 1 x 1

=

7

van beide kanten 2 aftrekken

2 x + 1 x 1

=

5

beide kanten met x 1 vermenigvuldigen

2 x + 1

=

5 ( x 1 )

verder oplossen

x

=

2

14

Los de volgende vergelijkingen in x langs algebraïsche weg op.

10 3 x + 2 = 7

3 x + 2 = 2 5

3 x x + 2 = 5

8 x 2 1 = 4

15

Wegrijdend bestelbusje
Als het bestelbusje weg rijdt, zie ik het steeds kleiner op de ruit. Mijn oog heeft afstand 2 meter tot de ruit. De hoogte h (in cm) van de achterkant van de busje op de ruit, als het a meter weg is, wordt gegeven door de formule: h = 600 a + 2 .

a

Bereken langs algebraïsche weg hoe ver het busje weg is, als ik het 15 cm groot zie op de ruit.

b

Laat met gelijkvormigheid zien dat de formule juist is.

16

De lichtsterkte S (in lux) op een plek P op afstand x (meter) van de plek recht onder een lamp wordt gegeven door:
S = 100.000 ( 100 + x 2 ) 100 + x 2 .

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal op welke afstand x is de lichtsterkte 30 lux is.

Exponentiële vergelijkingen

Regel
a x = y is gelijkwaardig met x = a log ( y ) .
Hierbij is a > 0, a 1  en   x > 0 .
Bijvoorbeeld:
2 x = 3 is gelijkwaardig met x = 2 log ( 3 ) .

Voorbeeld:

5 2 x

=

2

deel door 5

2 x

=

0,4

bovenstaande regel toepassen

x

=

2 log ( 0,4 ) = log ( 0,4 ) log ( 2 ) 1,32

17

Los langs algebraïsche weg de volgende vergelijkingen in x op. Rond je antwoorden af op twee decimalen.

2 + 5 x = 10

2 + 3 x 1 = 10

2 ( 1 2 ) 2 x = 10

2 10 x + 4 = 10

18

Schuimkraag
Als je een pilsje goed tapt, krijg je een flinke schuimkraag. Die schuimkraag wordt steeds lager: hij verdwijnt vanzelf. Duitse "bierologen" hebben vastgesteld dat de hoogte h van de schuimkraag exponentieel in de tijd t afneemt: elke 10 seconden wordt de schuimkraag 20 % lager.
We beginnen met een schuimkraag van 6 cm.

a

Hoe hoog is de schuimkraag na 1 1 2 minuut?

b

Stel een formule op voor de hoogte h (in cm) van de schuimkraag als functie van de tijd t (in seconden).

c

Bereken langs algebraïsche weg hoe lang het duurt voordat de schuimkraag 1 2 cm is.

19

Stel dat de bevolking van een land elk jaar met 2 % groeit.

a

Bereken langs algebraïsche weg in één decimaal hoe lang het dan duurt voordat de bevolking verdubbeld is.

Stel dat van een ander land de bevolking in 14 jaar verdubbelt.

b

Bereken langs algebraïsche weg met hoeveel procent de bevolking van dat land jaarlijks groeit in één decimaal.

Opmerking:

Als 2 x = 3 , dan x = 2 log ( 3 ) .
Als x 3 = 2 , dan x = 2 1 3 .

20

De hoeveelheid H van een of andere stof groeit exponentieel in de tijd t volgens de formule: H = 4 g t .

a

Bereken H langs algebraïsche weg als g = 1 1 2 en t = 5 .

b

Bereken t langs algebraïsche weg als als g = 1 1 2 en H = 10 .

c

Bereken g langs algebraïsche weg als t = 5 en H = 10 .

21

Sterilisatie
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden.
In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is 121 °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur hiernaast zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. Horizontaal staat aantal minuten verhitting bij 121 °C en verticaal het aantal levende bacteriën. De grafiek gaat door de punten ( 0,10 6 ) en ( 6,10 2 ) .
De figuur staat ook op het werkblad.
Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op 1 miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.

a

Waar op de verticale as vind je het aantal van 700 bacteriën?
Hoeveel levende bacteriën zijn er na 4 minuten verhitting?

Bij de grafiek in de figuur hoort een formule van de vorm: N t = 10 6 2 r t .
Hierin is N t het aantal bacteriën na t minuten en is r de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.
Met behulp van de figuur kun je berekenen dat de sterftefactor r van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan 2,2 .

b

Toon dat met een berekening aan.

De D -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot 10 % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de D -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
c

Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de D -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze D -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.

Men heeft ook van andere bacteriën de D -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze D -waarde gelijk aan 2,55 minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met 1 miljoen bacteriën.

d

Teken deze overlevingsgrafiek in de figuur op het werkblad. Licht je werkwijze toe.

Vergelijkingen met logaritmen
Voorbeeld:

2 + 3 log ( x )

=

4,5

aan beide kanten 2 aftrekken

3 log ( x )

=

2,5

definitie toepassen

x

=

3 2 1 2 15,59 (of exact: 9 3 )

22

Los de volgende vergelijkingen in x langs algebraïsche weg op.

5 2 log ( x ) = 1

3 + log ( x ) = 3,5

1 2 5 log ( x + 1 ) = 1

2 + 2 log ( 2 x + 2 ) = 0

23

Loopsnelheid
Een atleet loopt de 10.000 meter met een snelheid van 20 km/u. Een kortere afstand s meter zal hij afleggen met een grotere snelheid, zeg van v km/u.
Er geldt: v = 20 2 log ( s 10.000 ) .

a

Teken de grafiek van v als functie van s op de GR.

b

Bereken v langs algebraïsche weg als s = 400 .

c

Hoe kun je aan de formule zien dat bij een langere afstand een lagere gemiddelde snelheid hoort?

d

Bereken s langs algebraïsche weg als v = 25 .

24

Lichtsterkte van sterren
We bekijken de lichtsterkte van sterren aan de hemel, zoals wij die op aarde waarnemen. De lichtsterkte wordt vaak uitgedrukt in de zogenaamde magnitude m . Als van ster A de magnitude 1 groter is dan van ster B , dan is A 2,512 keer zo zwak als B . De lichtsterkte van een ster van magnitude 0 stellen we op duizend eenheden. Hieronder staat een tabel van de lichtsterkte van sterren van magnitude ‐1 t/m 7 .

m

‐1

0

1

2

3

4

5

6

7

L

2512

1000

398

158

63

25

10

3,98

1,58

De getallen L in de tabel zijn benaderingen; alleen de lichtsterkten bij m = 0 en m = 5 zijn precies.

a

Hoe vind je uit deze twee de factor 2,512 ?

b

Stel een formule op van L als functie van m .

Het sterrenbeeld Lier heeft magnitude 0,3 ; het sterrenbeeld Leeuw heeft magnitude 1,6 .

c

Hoeveel keer zo groot is de lichtsterkte van Lier als van Leeuw?

Hoe groter de magnitude (hoe zwakker de ster) des te meer sterren er van aan de hemel staan. Het totaal aantal sterren van magnitude kleiner dan m noemen we T ( m ) . Hieronder is de grafiek van de functie T weergegeven. Op de verticale as is een logaritmische schaal gebruikt.

d

Lees hieruit af hoeveel sterren aan de hemel staan met magnitude tussen 11 en 14 . Licht je antwoord toe.

Een formule voor de functie T is: T ( m ) = 10 2,5 m
Het aantal sterren met magnitude tussen m 1 en m noemen we A ( m ) .

e

Toon aan A ( m ) = 6 2,5 m .

f

Toon aan: log ( L ) = 3 0,2 m