De wereldbevolking
Het aantal mensen op aarde noemen we (in miljarden) en het aantal jaren na begin 2000 noemen we .
Begin 2000 was en 31 oktober 2011 schatte de VN op
miljard.
We nemen aan dat de wereldbevolking exponentieel groeit.
Bereken hieruit de groeifactor van de wereldbevolking per jaar in vier decimalen.
We werken in het vervolg met het model: .
Met hoeveel miljoen mensen neemt de wereldbevolking gemiddeld per jaar toe tussen begin 2000 en begin 2050?
Met hoeveel miljoen mensen neemt de bevolking toe gedurende het jaar 2000? En gedurende het jaar 2050?
Je ziet dat de bevolking steeds sneller groeit. Logisch,
want als er meer mensen zijn (en de omstandigheden blijven gelijk), zullen er ook
jaarlijks meer mensen bijkomen.
In het jaar 2050 zijn er keer zo veel mensen als in
het jaar 2000. In 2050 komen er dus ook meer mensen
bij dan in 2000.
Hoeveel keer zo veel?
Lawaai op de werkvloer
In het voorjaar van 1987 trad een wet voor lawaai
op arbeidsplaatsen in werking. Hier volgt een citaat uit de toelichting op de wet
uit 1987, afkomstig
van de minister van Sociale Zaken.
Volgens een internationale norm mag men niet langer
dan uur blootgesteld worden aan lawaai van decibel
(dB) of meer. In harder geluid mag minder lang gewerkt
worden. Het verband tussen de maximale werktijd (uur)
en het aantal decibel wordt gegeven door:
.
Met hoeveel uur neemt de maximale werktijd gemiddeld per decibel af, als toeneemt van tot ?
Met hoeveel uur neemt de maximale werktijd af, als toeneemt van tot ?
En als toeneemt van tot ?
Je ziet dat de snelheid waarmee de werktijd afneemt
steeds kleiner wordt.
Gas tanken
Een gaspomp werkt niet zo gelijkmatig als een benzinepomp.
Het aantal liter gas dat per seconde wordt geleverd, hangt af van de hoeveelheid gas
dat al in de tank zit.
Kun je dat verklaren?
Annekes auto rijdt op gas. De tank is helemaal leeg. Na seconden tanken zit er liter gas in de tank.
Hoeveel liter komt er gemiddeld per seconde bij gedurende de eerste seconden van het tanken?
Hoeveel liter komt er gedurende de eerste seconde bij?
En hoeveel liter komt er gedurende de elfde seconde
bij?
We zijn geïnteresseerd in de afgeleide van exponentiële functies. Daarvoor herhalen we eerst de beginselen van het differentiëren.
is een functie van .
Hoe snel gemiddeld per jaar groeit tussen en
kun je op twee manieren bepalen.
Meet de helling van de lijn die gaat door de bijbehorende punten van de grafiek.
Bereken met een rekenschema.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Meet de helling van de grafiek in het bijbehorende punt van de grafiek (raaklijn).
Bereken met een rekenschema.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
benadert de gevraagde groeisnelheid.
Kleinere waarden van geven preciezere benaderingen.
Een bacteriekolonie groeit met factor per uur; de hoeveelheid op tijdstip is mg. Er geldt: ; hierbij is het aantal mg bacteriën na uur.
Teken de grafiek op de GR.
Bepaal de helling in met een rekenschema.
Ga na hoe je op de GR de raaklijn aan de grafiek in het punt
kunt tekenen.
Hoe groot is de helling in dat punt?
De snelheid waarmee de kolonie op een moment groeit, hangt alleen af van het aantal bacteriën op dat moment. Je hebt berekend dat de groeisnelheid van de kolonie ongeveer mg/u is als er mg bacteriën is.
Kun je nu meteen zeggen (zonder veel rekenen) hoe
groot de groeisnelheid is als er mg bacteriën is?
Controleer je antwoord op de GR door de raaklijn te tekenen op tijdstip (dan is er mg bacteriën).
Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip ?
Op is de groeisnelheid van de bacteriekolonie van opgave 52 keer zo groot als de groeisnelheid op . Dat kun je ook met rekenschema's zien.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dus (ongeveer).
En:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dus (ongeveer).
Korter genoteerd:
Als , dan
;
Als , dan
.
Een bacteriekolonie groeit met factor per uur; de hoeveelheid op tijdstip is mg. Er geldt: ; hierbij is het aantal mg bacteriën na uur.
Bepaal de groeisnelheid met een rekenschema.
Kun je nu meteen zeggen hoe
groot de groeisnelheid is op tijdstip ?
En op tijdstip ?
Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip ?
Dat is .
Geef een formule voor .
Zie opgave 53. De groeisnelheid van de bacteriekolonie op is
keer de groeisnelheid op
.
Dat kun je ook als volgt inzien.
Als , dan
.
Als , dan
.
Een bacteriekolonie groeit met factor per uur. Het
aantal mg op tijdstip is ; het aantal mg na uur is
.
is de exponentiële functie met grondtal .
De snelheid waarmee de kolonie groeit op tijdstip
noemen we .
Dan geldt: .
is de exponentiële functie met grondtal : .
Bereken in twee decimalen de helling van de grafiek van in het punt met eerste coördinaat .
Geef met behulp van a een formule voor (ongeveer).
is de exponentiële functie met grondtal : .
Wat is het verband tussen en ?
Hoe vind je de grafiek van de functie uit die van ?
Wat is dus de helling van de grafiek van in het punt met eerste coördinaat
?
Geef een formule voor (ongeveer).
Hiernaast zijn getekend de exponentiële functies met grondtal ,
, en .
Ze gaan alle door het punt .
Welke grafiek hoort bij de exponentiële functie met grondtal ? En welke bij de exponentiële functie met grondtal ?
De helling in van de
exponentiële functies met grondtal is ongeveer
en die van de exponentiële functies met grondtal is ongeveer
exponentiële functies met grondtal is ongeveer
. (Reken maar na.)
Er is een exponentiële functie die in de helling
heeft.
Het grondtal van deze exponentiële functie noemen we e.
In het volgende leiden we een benadering voor het getal e af.
Geef een formule voor de afgeleide van de exponentiële functie met grondtal e.
Voor het getal e geldt dus ongeveer: .
Waarom? Leid hieruit af dat .
Er is een getal dat we e noemen met de volgende eigenschap: de exponentiële functie
met grondtal e heeft in helling
.
Het gevolg is dat voor de functie met
geldt:
, ander genoteerd:
.
Een goede benadering van het getal e is: , een betere
, enzovoort.
Het getal e is ook op je rekenmachine te vinden. Het is geen rationaal getal (breuk).
Het symbool e is ingevoerd door de grote Zwitserse wiskundige Leonard Euler. Hij werkte aan de Academie in Sint Petersburg en aan de Pruisische Academie. Euler hield zich bezig met alle takken van de wiskunde die in de achttiende eeuw bekend waren en was daarin enorm productief; tijdens zijn leven verschenen 530 boeken en artikelen van zijn hand (na zijn dood is dit aantal zelfs verhoogd tot 886). Door het grote prestige van zijn boeken heeft hij een eind gemaakt aan veel verwarring. Zo is de huidige goniometrie wat inhoud en notatie betreft van Euler afkomstig en ook de functie .
In het verleden hebben we vaak of als grondtal van de exponentiële functie genomen. Vanwege de prettige eigenschap dat de exponentiële functie met grondtal e zijn eigen afgeleide is, gaat kiezen we in het vervolg bij voorkeur het getal e als grondtal.
Als , dan (productregel).
Als , dan (quotiëntregel).
De afgeleide van vind je met de kettingregel.
Het is de ketting , dus
.
Als , dan (combinatie van product- en kettingregel).
Differentieer de volgende functies.
|
|
|
|
|
|
De logaritmische functie met grondtal e noteren we met ln, dus .
Tegen
zeggen we wel: de natuurlijke logaritme van .
ln staat voor logarithmus naturalis.
Op de GR heb je twee knoppen voor de logaritme: die met grondtal : en
die met grondtal :
.
Los de volgende vergelijkingen in exact op.
|
|
|
|
|
|
|
|
Een bijzonder geval van de regel en is het volgende.
Er geldt: en .
Met behulp van bovenstaande regel kun je elk positief getal als een macht van e schrijven,
bijvoorbeeld:
, dus
, want
.
Nu kunnen we de afgeleide van de exponentiële functie met grondtal , differentiëren met de kettingregel.
is de ketting
, dus
Als , dan
De helling in van de exponentiële functie met grondtal is dus .
Dit komt overeen met de eerdere berekeningen in opgave 52, 53 en 54.
Daar heb je de hellingen in berekend van de exponentiële functies met
grondtal , ,
en .
De exacte waarden van die hellingen zijn: ,
,
en
.
Als , dan (productregel).
Als , dan (quotiëntregel).
De afgeleide van vind je met de kettingregel.
Het is de ketting , dus
.
Als , dan
(combinatie van
product- en kettingregel).
Differentieer de volgende functies.
|
|
|
|
|
|
Een radioactieve stof heeft een halveringstijd van dagen. Op tijdstip is de stralingsactiviteit becquerel per gram.
Geef een formule voor de stralingsactiviteit na dagen.
Bereken langs algebraïsche weg na hoeveel dagen de stralingsactiviteit becquerel per gram is. Geef je antwoord in één decimaal.
Met hoeveel becquerel per gram neemt de stralingsactiviteit dan per dag af?
De wekelijkse verkoop in de loop van het jaar van een bepaald product wordt gegeven door de formule , met . Hierbij is het aantal verkochte producten en de tijd in weken vanaf januari.
Wanneer is de verkoop het grootst?
Wanneer het kleinst?
Hoe groot zijn de maximale en de minimale verkoop?
Hoe snel stijgt de verkoop na dertien weken (in aantallen per week)?
Het aantal exemplaren van een bepaalde diersoort wordt gegeven door de formule . Hierbij is de tijd in jaren.
Hoeveel exemplaren telt de diersoort op tijdstip ?
Hoe groot is de groeisnelheid op tijdstip (in aantal dieren per jaar)?
Hoe kun je aan de formule zien dat het aantal dieren afneemt?
Omdat de diersoort met uitsterven bedreigd wordt, wordt
een aantal exemplaren in een reservaat uitgezet. De grootte van de populatie in het
reservaat wordt gegeven
door de formule: .
Op tijdstip zijn de exemplaren uitgezet.
Hoeveel?
Hoe groot is de groeisnelheid op ?
De groei van de diersoort wordt afgeremd door de beperkte ruimte in het reservaat.
Welk omvang zal de diersoort in het reservaat uiteindelijk bereiken? Licht je antwoord toe.