1

a

De groeifactor per jaar noemen we $g$ . Dan $g^{11 \frac{5}{6}} = \frac{7,2}{6,2} \Leftrightarrow$ $g = {1,16...}^{\frac{6}{71}} \approx 1,0127$ .

b

$\frac{B (50) - B (0)}{50} \approx 0,144$ , dus met ongveer $144$ miljoen

c

$B (1) - B (0) \approx 0,096$ , dus met ongeveer $96$ miljoen; $B (51) - B (50) \approx 0,207$ , dus met ongeveer $207$ miljoen

d

$2,16$ keer zoveel

2

a

Met $\frac{T (105) - T (90)}{15} \approx 0,52$ uur.

b

Met $8 \cdot (1 - 0,794) \approx 1,65$ uur.

c

$8 \cdot ({0,794}^{16} - {0,794}^{15}) \approx ‐ 0,05$ , dus met $0,05$ uur.

3

a

De tegendruk van het gas dat in de tank zit, wordt steeds groter.

b

$\frac{G (10) - G (0)}{10} \approx 1,6$

c

$G (1) - G (0) = 2$ liter

d

$G (11) - G (10) \approx 1,2$

4

a

-

b

$t = 0$	$\to$	$h = 1$
$\underline{t = 0,001}$	$\to$	$\underline{h = 1,000693387...}$
$Δ t = 0,001$	$\to$	$Δ h = 0,000693387...$

Dus $\frac{Δ h}{Δ t} = 0,69$ (ongeveer).

c

Ongeveer $0,7$

d

$4 \cdot 0,69 \approx 2,76$

e

Dan zijn er $2^{3} = 8$ mg bacteriën, dus $8 \cdot 0,69 \approx 5,52$ .

5

a

$t = 0$	$\to$	$h = 1$
$\underline{t = 0,001}$	$\to$	$\underline{h = 1,002305238...}$
$Δ t = 0,001$	$\to$	$Δ h = 0,002305238...$

Dus $\frac{Δ h}{Δ t} = 2,31$ (ongeveer).

b

Ongeveer $100 \cdot 2,31 = 231$ ; ongeveer $0,001 \cdot 2,31 = 0,00231$

c

Dan zijn er $10^{1,2} = 15,848...$ mg bacteriën, dus $15,848... \cdot 2,31 \approx 36,61$ .

d

$h^{'} (t) = 10^{t} \cdot 2,31$ (ongeveer)

6

a

Noem dat getal $c$ , dan $c \approx \frac{5^{Δ t} - 1}{Δ t}$ voor waarden van $Δ t$ dicht bij $0$ .
Als je $Δ t = 0,001$ , vind je $c = 1,61$ .

b

$f^{'} (t) = 1,61 \cdot 5^{t}$

c

$f (t) = g (‐ t)$

d

Spiegelen in de $y$ -as; $‐ 1,61$ .

e

$g^{'} (t) = ‐ 1,61 \cdot {(\frac{1}{5})}^{t}$

7

a

De minst steile bij grondtal $1 \frac{1}{2}$ en de steilste bij grondtal $4$ .

b

$g (x) = e^{x}$ , dan $g^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} = e^{x}$

c

$\frac{e^{0,001} - 1}{0,001}$ is een goede benadering van de helling in $(0,1)$ van de grafiek van de exponentiële functie met grondtal e.
$\frac{e^{0,001} - 1}{0,001} \approx 1 \Leftrightarrow e^{0,001} - 1 \approx 0,001 \Leftrightarrow e^{0,001} \approx 1,001 \Leftrightarrow e \approx {1,001}^{1000}$ .

8

Van links naar rechts

$\frac{d y}{d x} = ‐ 2 \cdot e^{‐ x}$
$\frac{d y}{d x} = e^{‐ x} - x \cdot e^{‐ x}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{‐ e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$
$\frac{d y}{d x} = 3 {(1 + e^{x})}^{2} \cdot e^{x}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + e^{x}) - 2 x \cdot e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$

9

Van links naar rechts

$e^{\ln (x)} = e^{{}^{e} log (x)} = x$ , dus $x = 2$
$\ln (e^{x}) = {}^{e} \log (e^{x}) = x$ , dus $x = 2$
$\frac{\ln (x)}{\ln (2)} = 5 \Leftrightarrow \ln (x) = 5 \ln (2) = \ln (2^{5})$ , dus $x = 32$
$e^{x \cdot \ln (2)} = 4$ $\Leftrightarrow {(e^{\ln (2)})}^{x} = 4$ , dus $2^{x} = 4$ , dus $x = 2$
$\ln (x) = ‐ 2$ , dus ${}^{e} \log (x) = ‐ 2$ , dus $x = \frac{1}{e^{2}}$
$x = \ln (2)$
$2 + \ln (2) = \ln (x) \Leftrightarrow \ln (e^{2}) + \ln (2) = \ln (x) \Leftrightarrow x = 2 \cdot e^{2}$
$\ln (2) + \ln (x) = 2 \Leftrightarrow \ln (2 x) = 2 \Leftrightarrow 2 x = e^{2}$ , dus $x = \frac{1}{2} e^{2}$ .

10

Van links naar rechts

$y^{'} = 3 \cdot \ln (2) \cdot 2^{3 x + 2}$
$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \ln (3) \cdot 3^{\sqrt{x}}$
$y^{'} = \frac{‐ \ln (3) \cdot 3^{x}}{{(2 + 3^{x})}^{2}}$
$y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + 3^{x}}} \cdot (1 + \ln (3) \cdot 3^{x})$
$y^{'} = 1 \cdot 4^{x} + (x + 1) \cdot \ln (4) \cdot 4^{x}$
$y^{'} = \frac{\ln (4) \cdot 4^{x} (x + 1) - 4^{x}}{{(x + 1)}^{2}}$

11

a

$A = 10^{5} \cdot {(0,5)}^{\frac{1}{60} t}$

b

$10^{5} \cdot {(0,5)}^{\frac{1}{60} t} = 100 \Leftrightarrow {(0,5)}^{\frac{1}{60} t} = 0,001 \Leftrightarrow \frac{1}{60} t = {}^{0,5} \log (0,001)$ , dus $t = 60 \cdot {}^{0,5} \log (0,001) \approx 597,9$ .

c

$A^{'} = 10^{5} \cdot \ln (0,5) \cdot {(0,5)}^{\frac{1}{60} t} \cdot \frac{1}{60}$ ; als je voor $t \approx 597,9$ invult, vind je $A^{'} \approx ‐ 1,154$ , dus afname met $1,154$ gram per dag.

12

a

Omdat de exponentiële functie met grondtal $0,99$ dalend is, is $V$ maximaal als ${(t - 26)}^{2}$ minimaal is. Dat is als $t = 26$ , dan $V = 1500$ .
$V$ is minimaal als ${(t - 26)}^{2}$ maximaal is, dat is als $t = 0$ of $t = 52$ , dan
$V = 1500 \cdot {0,99}^{26^{2}}$ , dus bijna $0$ .

b

$V^{'} (t) = 1500 \cdot 2 (t - 26) \cdot 1 \cdot \ln (0,99) \cdot {0,99}^{{(t - 26)}^{2}}$ , dus $V^{'} (t = 13) \approx 71,71$ , dus met $71$ exemplaren per week.

13

a

$2^{10} \approx 1000$

b

$A^{'} = ‐ 0,2 \cdot \ln (2) \cdot 2^{‐ 0,2 t + 10}$ , dus op $t = 0$ vind je: $‐ 0,2 \cdot \ln (2) \cdot 2^{10}$ $\approx ‐ 142$ , dus neemt af met $142$ dieren per jaar.

c

Als $t$ toeneemt, dan neemt $‐ 0,2 t + 10$ af, dus ook $2^{‐ 0,2 t + 10}$ .

d

$\frac{200}{1 + 9} = 20$ exemplaren

e

$R^{'} = \frac{200 \cdot 9 \cdot 0,3 \cdot \ln (2) \cdot 2^{‐ 0,3 t}}{{(1 + 9 \cdot 2^{‐ 0,3 t})}^{2}}$ , dus $R^{'} (0) = \frac{200 \cdot 9 \cdot 0,3 \cdot \ln (2)}{100} \approx 3,7$ dieren per jaar.

f

Als $t$ groter wordt, dan komt $9 \cdot 2^{‐ 0,3 t}$ dicht bij $0$ , dus $R$ komt dicht bij $\frac{200}{1} = 200$ .