We bekijken opnieuw een bacteriekolonie die zich elk uur verdubbelt; op tijdstip is er mg bacteriën. Het aantal bacteriën op tijdstip noemen we ; in uren, in mg. Er geldt: . Meestal beschouwen we als functie van , maar nu draaien we de zaak om en bekijken als functie van : is het tijdstip waarop er mg bacteriën is.
Maak een tabel zoals hieronder en vul die in.
Geef een formule voor als functie van en teken de grafiek op de GR; op de horizontale as en op de verticale as.
Als groter wordt, neemt ook toe. We willen weten hoe snel groeit als functie van .
Als groter wordt, neemt de groeisnelheid van dan toe of juist af?
Bereken met een rekenschema hoe groot de groeisnelheid van ongeveer is als .
Teken op de GR de raaklijn aan de grafiek in het punt
met .
Hoe groot is de groeisnelheid van als ?
Bereken met een rekenschema de groeisnelheid van als .
Je antwoord op vraag opgave 62e was (hopelijk) en op vraag f . De groeisnelheid van bij half zo groot als bij . Allicht, want als je twee keer zo veel bacteriën hebt, groeit de kolonie twee keer zo snel en is er dus half zo veel tijd nodig.
Weet je nu ook wat de groeisnelheid van t is als
En als ? En als ?
Conclusie
De groeisnelheid van als functie van is .
Hierin is een benadering.
Gegeven zijn de punten en en de lijn met vergelijking . De spiegelbeelden van en in die lijn noemen we respectievelijk en .
Teken de lijn en de vier punten in een assenstelsel.
Wat is de helling van lijn ? En van lijn ?
Wat is in het algemeen het verband tussen de helling van een lijn en de helling van zijn spiegelbeeld in de lijn ?
Twee lijnen, niet evenwijdig aan de coördinaatassen, die elkaars spiegelbeeld zijn
in de lijn , hebben omgekeerde richtingscoëfficiënten.
Dus als de ene lijn richtingscoëfficiënt heeft, heeft de ander
richtingscoëfficiënt .
We bekijken de functies en
, met en
.
Als op de grafiek van ligt, dan
Schrijf dit verband tussen en zonder logaritmen.
Uit het antwoord van a volgt: als op de grafiek
van , dan op de grafiek van .
De functies en zijn elkaars inverse; de grafieken van en zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn
Hieronder zijn de grafieken getekend.
Geef een formule voor .
De helling van de grafiek van in is dus: .
Ga dat na.
Wat is dus de helling van de grafiek van in
?
We nemen een punt op de grafiek van . Het spiegelbeeld ligt dan op de grafiek van .
Wat is de helling van de grafiek van in ?
Uit het antwoord op de voorgaande vraag volgt:
Ga na dat deze waarde overeenkomt met de conclusie na opgave 63.
Wat hierboven met grondtal is gedaan, kun je natuurlijk voor elk grondtal doen.
Als , dan
,
anders genoteerd:
.
In het bijzonder: .
Als , dan
.
Als , dan
(productregel).
Als , dan
(kettingregel).
Differentieer.
|
|
|
|
|
|