Op de kermis staat een reuzenrad. Als het goed op gang is, draait het regelmatig één keer per minuut rond (linksom).
We volgen punt $A$ om de omtrek van het rad (zie figuur). De hoogte van $A$ boven de grond varieert van $1$ tot $11$ meter. Op een zeker ogenblik is $A$ $6$ meter hoog; dat is $t = 0$ . Het punt $A$ gaat dan omhoog. Zijn hoogte $t$ seconden later noemen we $H (t)$ .
We nemen $0 \leq t \leq 120$ .

Teken de cirkelvormige baan die het punt $A$ maakt op schaal $1 : 100$ .

Voor welke $t$ geldt: $H (t) = 1$ ?

Wat is de gemiddelde hoogte van $A$ ?
Op welke tijdstippen wordt die bereikt?

Maak een schets van de grafiek van $H$ .
Wat is de periode?

Met deze animatie kun je een nauwkeurige grafiek van $H$ bekijken. Vergelijk deze met je schets.

figuur 2

Het is mogelijk heel precies te berekenen hoe hoog $A$ is op een gegeven tijdstip. Hiervoor heb je wat goniometrie nodig, dat wil zeggen berekeningen met sinus, cosinus en/of tangens.
Hiernaast staat een rechthoekige driehoek met $A$ op de plaats als $t = 10$ , $M$ is het middelpunt van het rad.

Bereken hoek $α$ en vervolgens $h (10)$ in drie decimalen.
Bereken ook $h (35)$ in drie decimalen.

De grafiek van $H$ is een sinusoïde. De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde, het verschil tussen de maximale en gemiddelde hoogte noemen we de amplitude.

Geef de evenwichtswaarde en de amplitude van $H$ .

Hieronder is een regelmatige golf getekend. De gemiddelde hoogte van de golf noemen we de evenwichtswaarde of de evenwichtsstand; het verschil tussen de maximale hoogte en de evenwichtswaarde noemen we de amplitude van de golf.

Wat is de amplitude, de evenwichtsstand en de periode van de golf hiernaast?

De getijkrommen in de laatste opgave van de vorige paragraaf vertonen onregelmatigheden. In het volgende bekijken we hoe je zuiver regelmatige golven, zogenaamde sinusoïden, krijgt.

Een kogeltje draait in een cirkelvormige baan, als volgt:

de straal van de baan is $1$ cm;
het middelpunt is $(0,0)$ ;
het kogeltje draait in positieve richting (de 'tegenklokrichting', ofwel linksom);
de snelheid is $1$ cm/s: het kogeltje legt elke seconde een afstand van $1$ cm af langs de cirkel;
op tijdstip $0$ is het kogeltje in $(1,0)$ .

Deze beweging is de standaard cirkelbeweging. De bijbehorende baan is de eenheidscirkel.

Een kogeltje maakt de standaard cirkelbeweging. De straal van de cirkel is $1$ (cm). Op tijdstip $0$ is het op plaats $S$ .

Hoe lang doet het kogeltje over één omwenteling (exact)?

Geef op het werkblad de plaats aan van het kogeltje op de tijdstippen $\frac{1}{2} π$ , $π$ , $1 \frac{1}{2} π$ en $2 π$ .

Een kogeltje maakt de standaard-cirkelbeweging. De hoogte (ten opzichte van de $x$ -as) en de wijdte (ten opzichte van de $y$ -as) van de plaats van het kogeltje hangt af van $t$ . Deze noemen we $H (t)$ en $W (t)$ . We gaan de grafieken van $H$ en $W$ bekijken.

We verdelen de eenheidscirkel met behulp van de assen en acht verdeelpunten in twaalf even lange stukken.

Welke tijdstippen (tussen $0$ en $2 π$ ) horen bij de verdeelpunten? Vul die tijdstippen in op het werkblad.

Teken op het werkblad de punten van de grafiek van $H$ die corresponderen met de verdeelpunten. Teken vervolgens de grafiek van $H$ .

Teken op dezelfde manier de grafiek van $W$ .

Wat zijn de amplitude en de evenwichtswaarde van de functies $H$ en $W$ ?

De rekenmachine geeft de uitvoerwaarden van $H$ en $W$ heel nauwkeurig. Hoe, bekijken we in de volgende opgaven.

We gaan $H (t)$ en $W (t)$ met het rekenapparaat benaderen voor $t = \frac{2}{5} π$ en voor $t = \frac{7}{10} π$ in drie decimalen. Het startpunt van de standaardcirkelbeweging noemen we $S$ , het punt waar het kogeltje is op $t = \frac{2}{5} π$ noemen we $P$ .

Hoe groot is hoek $S O P$ ?

Er geldt: $H (\frac{2}{5} π) = \sin (72 °)$ .

Ga dat na en benader $H (\frac{2}{5} π)$ in in drie decimalen.

Benader $W (\frac{2}{5} π)$ in drie decimalen.

Benader $H (\frac{7}{10} π)$ en $W (\frac{7}{10} π)$ in drie decimalen.

We gaan $H (1)$ en $W (1)$ benaderen. Het punt waar het kogeltje is op $t = 1$ noemen we $R$ .

Hoe groot is hoek $S O R$ in graden? Geef het antwoord in vijf decimalen.

Benader nu $H (1)$ en $W (1)$ in drie decimalen.

In opgave 17 hebben we de grafieken van twee nieuwe functies getekend: $H$ en $W$ ; deze noemen we in het vervolg sinus en cosinus.

De sinus-functie
Een kogeltje maakt de standaardcirkelbeweging. De hoogte van het kogeltje op tijdstip $t$ noemen we $\sin (t)$ .

Opmerking:

$\sin (t)$ spreek je uit als sinus $t$ .
De cosinus-functie komt verder niet aan bod.

De grafiek van de sinusfunctie staat hierboven. Je hebt hem in opgave 17 geschetst. Bekijk ook de applet sin en cos in de eenheidscirkel .
De sinus-functie is voor ons de standaard-sinusoïde. Elke sinusoïde ontstaat uit de sinusfunctie door (herhaald) schuiven en rekken. Hoe dat gaat, zien we in de volgende paragraaf.

Wat is de periode, de evenwichtswaarde en de amplitude van de sinusfunctie?

Omdat de functie $y = \sin (t)$ periodiek is, kun je hem ook wel tekenen als $99 π \leq t \leq 102 π$ .

Geef op het werkblad de stippen van de grafiek van de sinusfunctie aan bij de grootste, de kleinste en de gemiddelde uitvoerwaarden.
Teken de grafiek van $y = \sin (t)$ als $99 π \leq t \leq 102 π$ . Gebruik de GR alleen achteraf, ter controle.

Een kogeltje dat de standaard-cirkelbeweging maakt, bevindt zich op tijdstip $t$ dus in een punt waarvan de eerste coördinaat $\cos (t)$ is en de tweede $\sin (t)$ . In opgave 18 heb je $\cos (\frac{2}{5} π)$ en $\sin (\frac{2}{5} π)$ benaderd. Wat je daar met tussenstappen gedaan hebt kan ook in een keer. De MODE van de GR moet dan wel in de stand Radian staan. Door $\sin (\frac{2}{5} π)$ dan in te toetsen, vind je de waarde hiervan.

Een Engelsman geeft zijn lengte in inch, een Nederlander in centimeter. Een hoek kan ook in verschillende maten gemeten worden. De hoekmaat die we meestal gebruikt hebben is de graad. Als je hiermee werkt, zet je de GR in de stand Degree. Je gebruikt je geodriehoek om een hoek in graden te meten. Een andere maat voor de grootte van een hoek is de lengte van de boog die de benen van de hoek van de eenheidscirkel afsnijden als je het hoekpunt in het middelpunt legt. Deze booglengte geven is de hoek in radialen meten. De hoek in de figuur is $1$ radiaal.

Als we in het vervolg over $\sin (6)$ spreken, bedoelen we de hoogte van een kogeltje dat de standaard-cirkelbeweging maakt op tijdstip $6$ . Je vindt de waarde van $\sin (6)$ dus met de GR in stand Radian.

Om een hoek in radialen te meten moet je eigenlijk een meetlat langs de eenheidscirkel buigen. Zie de animatie lijn oprollen .

Een hoek van bijvoorbeeld $90 °$ snijdt een kwart van een totale cirkelboog af en komt dus overeen met een hoek van $\frac{1}{2} π$ radialen.