14.5  Vergelijkingen en meer >
1

Hieronder staat de grafiek van de functie f met
f ( x ) = 2 sin ( 1 10 π ( x 3 ) ) + 1 .

a

Bepaal de periode en de evenwichtswaarde.

Er zijn drie symmetrie-assen van de grafiek getekend.

b

Geef van elk een vergelijking.

c

Bereken exact de maximale waarde en de minimale waarde van f ( x ) .

d

Voor welke waarden van x tussen 100 en 130 is f ( x ) maximaal?

Op de grafiek van f zijn vier punten op gelijke hoogte getekend. Eén daarvan is P met eerste coördinaat 4 1 2 .

e

Bereken de eerste coördinaat van de andere drie punten met behulp van de symmetrie en de periodiciteit van de functie f .

Opmerking:

In de vorige opgave was sprake van de rij getallen:
, 32, 12, 8, 28, 48, , dus van de rij
, 8 2 20, 8 1 20, 8 + 1 20, 8 + 2 20, .
Die kun je ook kort noteren als 8 + k 20 , waarbij k alle gehele getallen doorloopt.
Merk op dat je die rij ook kunt schrijven als
28 + k 20 of als 12 + k 20 of als ... met k geheel.

2

Hieronder is een sinusoïde getekend. De evenwichtslijn gaat door de punten met x -coördinaat 8 en 14 .

Er zijn vier punten op de sinusoïde getekend met gelijke hoogte waarvan er een x -coördinaat 9 1 3 heeft.

a

Bereken de x -coördinaat van de andere drie punten.

Er zijn vier punten op de sinusoïde getekend met gelijke hoogte waarvan er een x -coördinaat 7 heeft.

b

Bereken de x -coördinaat van de andere drie punten.

Voorbeeld:

We zoeken de oplossingen (in drie decimalen) van de vergelijking sin ( x ) = 0,5 met π x 2 π .
Hieronder is de grafiek van de sinusfunctie getekend. De getallen die we zoeken zijn a 1 , a 2 , a 3 en a 4 in de figuur hieronder.

Eén oplossing vinden we met de GR: sin 1 ( 0,5 ) = 0,5235 . Dat moet het getal a 1 zijn.
Het getal a 2 vind je met behulp van symmetrie:
het gemiddelde van a 1 en a 2 is gelijk aan 1 2 π , dus:
1 2 ( a 1 + a 2 ) = 1 2 π , dus a 2 = π a 1 = 2,6179 .

Alle oplossingen van de vergelijking zijn van de vorm:
a 1 + k 2 π of a 2 + k 2 π met k geheel.
De gevraagde oplossingen zijn hier:
a 1 , a 1 + 2 π , en a 2 , a 2 + 2 π ,
dus (in drie decimalen): 0,236 ; 2,618 ; 6,807 en 8,901 .

De oplossingen (in drie decimalen) van de vergelijking
sin ( x ) = 0,75 met π x 2 π
zijn de getallen b 1 , b 2 , b 3 en b 4 in de figuur hierboven.

Eén vind je met de GR: sin 1 ( 0,75 ) = 0,8480 . Dat is b 2 .
b 1 vind je met behulp van symmetrie:
b 1 en b 2 liggen symmetrisch ten opzichte van de lijn x = 1 2 π , dus 1 2 ( b 1 + b 2 ) = 1 2 π , dus b 1 = π b 2 = π + 0,8480 = 2,2935 .

Alle oplossingen van de vergelijking sin ( x ) = 0,75 zijn van de vorm: b 1 + k 2 π of b 2 + k 2 π , met k geheel.
De hier gevraagde oplossingen zijn: 2,293 ; 0,848 ; 3,990 en 5,435 .

3

Bepaal langs algebraïsche weg in twee decimalen de oplossingen van de volgende vergelijkingen in x
met 2 π x 2 π .

sin ( x ) = 0,6

sin ( x ) = 0,9

sin ( x ) = 2,6

sin ( x ) = 1

4

We bekijken het rad van opgave 14 nog eens. De hoogte na t minuten is h ( t ) meter. De grafiek van h als functie van t is hieronder nog eens getekend (de punten geven de evenwichtswaarde aan).

Er geldt: h ( t ) = 6 + 5 sin ( 1 30 π t ) .
We berekenen de tijdstippen t met 0 t 120 waarvoor h ( t ) = 9 .
Dan geldt: sin ( 1 30 π t ) = 0,6 .

a

Ga dat na en bepaal met de GR een waarde van t waarvoor dit het geval is.

b

Bepaal met behulp van symmetrie en periodiciteit in twee decimalen ook de andere waarden van t tussen 0 en 120 waarvoor h ( t ) = 9 .

c

Bereken in één decimaal hoeveel minuten de gondel gedurende in de tijd tussen 0 en 120 boven de 9 meter is geweest.

d

Bereken in twee decimalen de tijdstippen t tussen 0 en 120 waarvoor h ( t ) = 2 .

Voorbeeld:

Gegeven is de functie f met f ( x ) = 2 sin ( 1 10 π ( x 3 ) ) + 1 .
In opgave 39 hebben we de functie ook bekeken.
De periode p bereken je als volgt:
2 π p = 1 10 π , dus de periode is 20 .
De evenwichtswaarde is 1 en de functie gaat bij x = 3 stijgend door de evenwichtslijn.
Voor het gemak is de grafiek hieronder nog eens getekend.

We berekenen de oplossingen van de vergelijking f ( x ) = 0 .
Zie figuur: a 1 en a 2 zijn oplossingen van de vergelijking. Als we die berekend hebben kennen we alle oplossingen met behulp van periodiciteit.
2 sin ( 1 10 π ( x 3 ) ) + 1 = 0 sin ( 1 10 π ( x 3 ) ) = 1 2 .
Met de GR vind je: 1 10 π ( x 3 ) = sin 1 ( 1 2 ) = 0,5235 , dus x 3 = 0,5235 1 10 π = 1,6667 , dus x = 1,333 . Dat is a 1 .
Vanwege symmetrie volgt: a 2 = 13 + 1,6667 = 14,6667 .
De oplossingen zijn: 1,333 + k 20 en 14,6667 + k 20 met k geheel.

5

Los de volgende vergelijkingen in x op.

2 sin ( 1 2 x ) = 0,75 met 2 π x 2 π ,
sin ( 0,4 π ( x 3 ) ) = 0,7 met 0 x 10 .

6

Het groeiseizoen
De (gemiddelde) temperatuur in Nederland wordt bij benadering gegeven door: T = 10 + 9 sin ( 1 6 π ( t 4 ) ) . Hierin is T de temperatuur in graden Celsius en is t de tijd in maanden na 1 januari.

a

Hoe volgt uit de formule de periode van T ?
Wat is de gemiddelde temperatuur in Nederland? Wanneer in het jaar wordt die bereikt?

b

Wat is de grootste en wat is de kleinste waarde van de gemiddelde temperatuur? Wanneer wordt die bereikt?

Eind november is het kouder dan begin november.

c

Hoeveel graden Celsius daalt de gemiddelde temperatuur gedurende de maand november?
Geef je antwoord in één decimaal.

d

Bereken op welke data de gemiddelde temperatuur in Nederland 12 ° C is.

Voor de landbouw is het groeiseizoen van belang, de periode waarin de gemiddelde temperatuur hoger is dan 5 ° C.

e

Hoeveel weken duurt het groeiseizoen?

Opmerking:

Op de GR is het mogelijk snijpunten van de grafieken van twee functies te bepalen met intersect.
Probeer dit bijvoorbeeld met de functies y = x 2 en y = 2 x .
Hiervan zijn de snijpunten ( 0,0 ) en ( 2,0 ) .

7

De slinger
De slinger van een klok maakt een regelmatige beweging. We bekijken de uitwijking u als functie van de tijd t ( u in cm en t in sec). De maximale uitwijking is 5  cm, de slingertijd is 4  seconden (zo lang duurt één keer heen en weer). We rekenen de uitwijking naar rechts positief, naar links negatief. De tijd-uitwijking-grafiek is (nagenoeg) een sinusoïde.

a

Teken de grafiek en geef een formule van de sinusoïde. Neem aan dat de slinger op t = 0 door het laagste punt naar rechts gaat.

b

Bereken wanneer tijdens de eerste slingerbeweging de uitwijking 1  cm naar rechts is (gebruik intersect als je wilt).
Rond af op 3  decimalen.
En wanneer is dat tijdens de vijfde slingerbeweging?

Van een half zo lange slinger is de slingertijd 0,7  keer zo groot en is de maximale uitwijking 0,5  keer zo groot.

c

Teken in dezelfde figuur de grafiek van deze slinger en geef een formule.

8

De verende veer
Een veer is aan een balk opgehangen. Aan de veer hangt een gewicht, 2 meter boven de vloer. Iemand trekt het gewicht omlaag, tot 1,50 meter boven de vloer. Op tijdstip 0 laat hij het gewicht los: dan begint een harmonische beweging. Op de volgende bladzijde is de veer op zes opvolgende tijdstippen getekend, met tussenpozen van 0,5 seconde. De tijd-hoogte-grafiek kan goed benaderd worden door een sinusoïde.

a

Teken de grafiek en geef een formule voor de hoogte h (in m) boven de vloer als functie van de tijd t (in seconden). Vermeld de schaal bij de assen.

b

Bereken de verandering in hoogte Δ h tussen t = 1,39 en t = 1,41 .
Bereken hiermee de gemiddelde snelheid tussen deze twee tijdstippen.

c

Bereken algebraïsch, afgerond op 2  decimalen, op welke tijdstippen tussen 1 en 3 het gewicht 2,3 meter boven de vloer is.
Controleer je antwoorden met de GR met intersect.

9

Midzomernachtszon

Ten noorden van de poolcirkel ( 66 1 2 °NB) gaat de zon hartje zomer niet onder. De ansichtkaart hierboven komt uit Noorwegen. Hij toont in een 360 °-panorama de zonnebaan van 21 juni 19.00 uur tot 22 juni 18.00 uur. De foto's zijn genomen op een eilandje voor de Noorse kust, juist boven de poolcirkel.
De laagste zonshoogte, om middernacht, is nagenoeg 0 °, de hoogste is 47 °. De baan kan goed benaderd worden door een sinusoïde.

a

Stel een formule op voor de zonshoogte h (in graden) als functie van de tijd t (in uren). Neem 21 juni middernacht als t = 0 .

b

Stel ook een formule op als je 22 juni 6.00 uur als t = 0 neemt.

c

Hoe snel klimt de zon gemiddeld aan de hemel tussen 0  uur en 12  uur op 22 juni (in graden/uur)?

d

Hoe snel klimt de zon aan de hemel tussen kwart voor 6 en kwart over 6 's ochtends op 22 juni (in graden/uur)?

e

Heb je enig idee hoe de zonnebaan er hartje winter op het eiland uitziet?

10

Geboorten
Er is ooit een onderzoek geweest naar het tijdstip op de dag waarop baby's worden geboren. In een krant stond hierover onderstaande grafiek en tekst.

In het onderzoek waarvan de grafiek het resultaat is, is geteld hoeveel geboortes er plaatsvonden omstreeks 0  uur, hoeveel omstreeks 1  uur, enzovoort. Die aantallen zijn aangegeven met stippen.

a

Hoeveel geboortes betrof het onderzoek in totaal?

Anneke denkt dat er voor de middag wel twee keer zo veel kinderen worden geboren als na de middag.

b

Hoe komt het dat Anneke zo misleid is?

c

Wat is de echte verhouding ongeveer tussen de aantallen geboortes voor en na de middag? (Voor de middag is voor 12 uur.)

Tussen de stippen door is er een lijn getrokken: een sinusoïde. We willen een formule voor die sinusoïde opstellen in de gedaante: A = a + b sin ( c ( t d ) ) . Hierin is t het tijdstip (in uren) en A het aantal geboortes.

d

Stel de formule op.

11

Golven in ondiep water
Wanneer golven die ontstaan in diep water, langzamerhand in ondiep water terechtkomen, veranderen hun eigenschappen zodra de waterdiepte minder is dan een halve golflengte. Een straffe noordwester bries op de Noordzee zou bijvoorbeeld golven kunnen veroorzaken van twee meter hoogte, tachtig meter lengte en met een periode van acht seconden. Het ondiep-watereffect wordt pas merkbaar als de zee minder dan 40  meter diep is. Dan worden de golven lager, korter en langzamer: de golf zal langzaam uitsterven.

We stellen een formule op voor de ideale uitstervende golf, zoals hierboven beschreven. We nemen het volgende aan.

  • De bodem van de zee glooit met een helling van 10 % .

  • De golflengte is 2  keer zo groot als de diepte.

  • De amplitude is 1 4 van de diepte.

  • Precies 400  meter voor de kust gaat de golf stijgend door de evenwichtsstand.

Het aantal meters uit de kust noemen we x , de hoogte van de golf h (ook in meters).

a

Hoe diep is de zee x  meter uit de kust?

b

Wat is x  meter uit de kust de golflengte en de amplitude?

c

Stel een formule op voor h als functie van x .

12

De verkeersdrempel in de figuur op de volgende bladzijde hoort bij een maximumsnelheid van 30 km/uur en beslaat precies één periode van een sinusoïde. Deze drempel is exact 4 meter lang en 12 cm hoog. Het bijbehorende sinusmodel is
h = 0,06 + 0,06 sin ( 1 2 π x 1 2 π ) ( x en h in meter).

Een verkeersdrempel die behoort bij een maximumsnelheid van 60 km/uur is exact 12 meter lang en 14 cm hoog.

Bereken algebraïsch in cm nauwkeurig over welke horizontale afstand deze verkeersdrempel meer dan 10 cm hoog is.