1

a

De periode is $20$ en de evenwichtswaarde $1$ .

b

$x = 3 + \frac{1}{4} \cdot 20 = 8$ , $x = 8 + 10 = 18$ en $x = 8 - 10 = ‐ 2$ .

c

De evenwichtswaarde is $1$ en de amplitude $2$ .
De maximale waarde is $1 + 2 = 3$ en de minimale waarde $1 - 2 = ‐ 1$ .

d

$f (x)$ is maximaal voor $x = 3 + \frac{1}{4} \cdot 20 = 8$ . Dus de waarden van $x$ waarvoor $f (x)$ maximaal is, is de rij: $\dots, 8 - 2 \cdot 20, 8 - 1 \cdot 20, 8 + 1 \cdot 20, 8 + 2 \cdot 20, \dots$ .
Tussen $100$ en $130$ dus voor $x = 108$ en $x = 128$ .

e

Noem de gezochte getallen van links naar rechts: $a$ , $b$ en $c$ .
Dan ligt $8$ midden tussen $4 \frac{1}{2}$ en $b$ , dus $8 = \frac{1}{2} (4 \frac{1}{2} + b)$ , dus $b = 11 \frac{1}{2}$ .
$a = 11 \frac{1}{2} - 20 = ‐ 8 \frac{1}{2}$ en $c = 4 \frac{1}{2} + 20 = 24 \frac{1}{2}$ .

2

a

De periode van de functie is $2 \cdot (14 - 8) = 12$ .
Noem de gezochte getallen van links naar rechts $a$ , $b$ en $c$ .
Dan $9 \frac{1}{3} + b = 8 + 14$ , dus $b = 12 \frac{2}{3}$ . Verder $b = 12 \frac{2}{3} - 12 = \frac{2}{3}$ en $c = 9 \frac{1}{3} + 12 = 21 \frac{1}{3}$ .

b

Noem de gezochte getallen van links naar rechts $p$ , $q$ en $r$ .
Dan $7 + q = 8 + 14$ , dus $q = 15$ . Verder $p = 15 - 12 = 3$ en $r = 7 + 12 = 19$ .

3

Van links naar rechts (maak een schets):

Eén oplossing met de GR: $\sin^{‐ 1} (0,6) = 0,643 \dots$ .
De andere oplossing tussen $0$ en $2 π$ is $π - 0,643 \dots = 2,498 \dots$ .
De oplossingen tussen $‐ 2 π$ en $0$ zijn dan: $0,643 \dots - 2 π = ‐ 5,639 \dots$ en
$2,498 \dots - 2 π = ‐ 3,785 \dots$ .
De gevraagde oplossingen in twee decimalen zijn dus: $‐ 5,64$ ; $‐ 3,79$ ; $0,64$ ; $2,50$ .
Eén oplossing met de GR: $\sin^{‐ 1} (‐ 0,9) = ‐ 1,119 \dots$ .
De andere oplossing tussen $‐ 2 π$ en $0$ is $‐ π + 1,119 \dots = ‐ 2,021 \dots$ .
De oplossingen tussen $0$ en $2 π$ zijn dan: $‐ 1,119 \dots + 2 π = 5,163 \dots$ en
$‐ 2,021 \dots + 2 π = 4,261 \dots$ .
De gevraagde oplossingen in twee decimalen zijn dus: $‐ 2,02$ ; $‐ 1,12$ ; $5,16$ ; $4,26$ .
Voor alle $x$ geldt: $‐ 1 \leq \sin (x) \leq 1$ , deze vergelijking heeft dus geen oplossingen.
Dit kan zonder GR: $x = ‐ \frac{1}{2} π$ , $x = 1 \frac{1}{2} π$ . In twee decimalen: $‐ 1,57$ ; $4,71$

4

a

Dan $h (t) = 6 + 5 \cdot 0,6 = 9$ .
$\frac{1}{30} π t = \sin^{‐ 1} (0,6) = 0,643 \dots$ , dus $t = \frac{0,643}{\frac{1}{30} π} = 6,144 \dots$ , in twee decimalen: $6,14$ .

b

Uit symmetrie volgt ook dat $t = 30 - 6,144 \dots = 23,855 \dots$ voldoet, In twee decimalen zijn de oplossingen: $6,14$ ; $23,86$ , $6,14 + 60 = 66,14$ en $23,86 + 60 = 83,86$ .

c

$2 (23,84 - 6,14) = 34,0$ minuten.

d

$h (t) = 2 \Leftrightarrow \sin (\frac{1}{30} π t) = ‐ 0,8$ Een waarde van $t$ met $h (t) = 2$ vind je met de GR: $\frac{\sin^{‐ 1} (‐ 0,8)}{\frac{1}{30} π} = ‐ 8,855 \dots$ . Dus een tijdstip tussen $0$ en $60$ is $‐ 8,855 \dots + 60 = 51,144 \dots$ . Het andere is $30 + 8,855 \dots = 38,855$ .
De gevraagde waarden zijn: $38,86$ ; $51,14$ ; $38,86 + 60 = 98,86$ ; $51,14 + 60 = 111,14$ .

5

Voor de periode $p$ geldt: $\frac{2 π}{p} = \frac{1}{2}$ , dus $p = 4 π$ .
Eén oplossing vind je met de GR: $\frac{1}{2} x = \sin^{‐ 1} (‐ \frac{0,75}{2}) \Leftrightarrow x = ‐ 0,7587 \dots$ .
De grafiek van de functie $y = 2 \sin (\frac{1}{2} x)$ gaat bij $0$ door het evenwicht, dus de lijn $x = π$ is symmetrie-as van de grafiek. Een andere oplossing $a$ vind je met symmetrie:
$\frac{1}{2} (a - 0,7687 \dots) = π \Leftrightarrow a = 7,0519 \dots$ .
Alle oplossingen zijn van de vorm:
$‐ 0,7687 \dots + k \cdot 4 π$ of $a = 7,0519 \dots + k \cdot 4 π$ met $k$ geheel.
De gevraagde oplossingen zijn: $‐ 0,769$ en $7,0519 \dots - 4 π = ‐ 5,514$ .
Voor de periode $p$ van de functie $y = \sin (0,4 π (x - 3))$ geldt: $0,4 π = \frac{2 π}{p}$ , dus $p = 5$ .
Een oplossing van de vergelijking vind je met de GR:
$0,4 π (x - 3) = \sin^{‐ 1} (0,7) = 0,7753 \dots$ , dus $x = 3 + \frac{0,7753 \dots}{0,4 π} = 3,6170 \dots$ .
De grafiek gaat bij $x = 3$ door het evenwicht, dus $x = 3 + \frac{1}{4} \cdot p = 4 \frac{1}{4}$ is symmetrie-as.
Dus voor een andere oplossing $a$ geldt: $\frac{1}{2} (a + 3,6170 \dots) = 4 \frac{1}{4}$ ,
dus $a = 8 \frac{1}{2} - 3,6170 \dots = 4,8829$ .
Alle oplossingen van de vergelijking $\sin (0,4 π (x - 3)) = 0,7$ zijn dus:
$x = 3,617 + k \cdot 5$ of $x = 4,889 + k \cdot 5$ .
De gevraagde oplossingen zijn: $3,617$ ; $4,889$ ; $8,617$ en $9,889$ .

6

a

Als de periode $p$ is, dan $\frac{2 π}{p} = \frac{1}{6} π$ , dus $p = 12$ . De gemiddelde temperatuur is $10 °$ C, die wordt bereikt voor $t = 4$ en voor $t = 4 + \frac{1}{2} p = 10$ , dus eind april en eind oktober.

b

De grootste is $10 + 9 = 19 °$ , die wordt bereikt op $t = 4 + \frac{1}{4} p = 7$ , dus eind juli. De kleinste is $10 - 9 = 1 °$ , die wordt bereikt op $t = 4 - \frac{1}{4} p = 1$ , dus eind januari.

c

$T (11) - T (10) = 4,5 °$ C

d

Dan $\sin (\frac{1}{6} π (t - 4)) = \frac{2}{9}$ . Met de GR: $\frac{1}{6} π (t - 4) = \sin^{‐ 1} (\frac{2}{9}) = 0,224$ , dus een waarde voor $t = 4 + \frac{0,224}{\frac{1}{6} π} = 4,43$ .
De andere waarde voor $t = 10 - (4,43 - 4) = 9,57$ . De bijbehorende data zijn 13 mei en 17 oktober.
Opmerking: $t = 4$ komt overeen met 1 mei en $0,43 \cdot 31 = 13,3$ .

e

Zie figuur. Dan $\sin (\frac{1}{6} π (t - 4)) = ‐ \frac{5}{9}$ . Met de GR: $\frac{1}{6} π (t - 4) = \sin^{‐ 1} (‐ \frac{5}{9}) = ‐ 0,589$ , dus $t = 4 - \frac{0,589}{\frac{1}{6} π} = 2,88$ .
De andere oplossing tussen $0$ en $12$ is: $10 + (4 - 2,88) = 11,12$ .
De lengte van het seizoen is $11,12 - 2,88 = 8,24$ maanden, dus $8,24 \times \frac{52}{12} \approx 35,7$ ofwel ruim 35 weken.

7

a

Formule: $u = 5 \sin (\frac{2π}{4} t) = 5 \sin (\frac{π}{2} t)$

b

Eerste slingering (algebraïsch of met intersect): $t = 0,128$ en $t = 1,872$ .
Vijfde slingering ( $4$ periodes later):
$t = 16,128$ en $t = 17,872$ .

c

Zie de grafiek van vraag a.
Periode = $0,7 \cdot 4 = 2,8$ , dus $c = \frac{2 π}{2,8} = \frac{5 π}{7}$ ;
Formule: $u = 2,5 \sin (\frac{5π}{7} t)$ .

8

a

Formule: $h = 2,0 + 0,5 \sin (π (t - 0,5))$ .

b

$Δ h = h (1,41) - h (1,39) = ‐ 0,03 \dots$ , dus $\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{‐ 0,03}{0,02} = ‐ 1,5$ m/s.

c

$2,0 + 0,5 \sin (π (t - 0,5)) = 2,3$
$\to$ $\sin (π (t - 0,5)) = 0,6$
$\to$ $π (t - 0,5) = 0,6435...$ of
$π (t - 0,5) = π - 0,6435... = 2,4980...$
$\to$ $t \approx 0,70$ of $t \approx 1,30$ ;
De periode is $2$ , dus de tijdstippen zijn $1,30$ en $2,70$ .

9

a

$h = 23 \frac{1}{2} + 23 \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{12} (t - 6))$

b

$h = 23 \frac{1}{2} + 23 \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{12} t)$

c

$\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{47}{12} \approx 3,9$ graad/uur

d

$\frac{Δ h}{Δ t} = \frac{3,07}{0,5} \approx 6,15$ graad/uur

e

Dan komt de zon niet boven de horizon.

10

a

De waarden van alle stippen optellen: $19.500$ geboortes.

b

De verticale as begint niet met $0$ , maar met $400$ .

c

De verhouding is $7 : 6$ .

d

$A = 815 + 165 \sin (\frac{π}{12} (t - 3))$

11

a

diepte = $0,1 \cdot x$

b

golflengte = $0,2 \cdot x$ ;
amplitude = $0,0025 \cdot x$

c

$h = 0,0025 x \cdot \sin (\frac{2π}{0,2 x} (x - 400)) = 0,0025 x \cdot \sin (\frac{10π}{x} (x - 400))$

12

Laat het sinusmodel van deze drempel $h = d + a \cdot \sin (b (x - c))$ zijn.
Hiervan is de periode $12$ m. Dus $b = \frac{2 π}{periode} = \frac{1}{6} π$ .
Uit de hoogte van $0,14$ m volgt $a = d = 0,07$ . Na een kwart van de periode gaat de sinusoïde door de evenwichtsstand, dus $c = 3$ .
We berekenen bij welke $x$ de hoogte van de drempel $10$ cm is, dus $0,1 = 0,07 + 0,07 \cdot \sin (\frac{1}{6} π (x - 3)) \Leftrightarrow \sin (\frac{1}{6} π (x - 3)) = \frac{3}{7}$ .
De GR geeft $\sin^{‐ 1} (\frac{3}{7}) \approx 0,4429$ ; $\frac{1}{6} π (x - 3) \approx 0,4429 \Leftrightarrow x \approx 3,8459$ ; de volgende keer dat de hoogte $10$ cm is, is bij $12 - 3,8459 \approx 8,1541$ meter. Het antwoord op de vraag is: $8,1541 - 3,8459 \approx 4,3082$ , dus $431$ cm.